2022-2023学年安徽省六安市一中省示范高中高三上学期1月教学质量检测数学试题(解析版).pdf

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1、2022-2023 学年安徽省六安市一中省示范高中高三上学期 1 月教学质量 数学试题 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号等填写在答题卡和答题卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.全集33Uxx,集合2320Ax xx,则UA()A.1,2 B.1,2 C.3,12,3

2、 D.3,12,3 2.若复数z满足212 2iz zz ,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知ABC中,O 为 BC 的中点,且4BC,ABACABAC,6ACB,则向量AO在向量AB上的投影向量为()A.14AB B.13AB C.12AB D.AB 4.已知圆22:11Cxy,点P在直线:230lxy上,过点P作圆C的切线,切点分别为 A、B,则切线段PA的最小值为()A.1 B.2 C.5 D.3 5.2022 年诺贝尔物理学奖授予在量子领域做出贡献的法国、美国、奥地利科学家,我国于 2021 年成功研制出目前国际上超导量子

3、比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”,操控的超导量子比特为 66 个.已知 1 个超导量子比特共有“0,1”2 种叠加态,2 个超导量子比特共有“00,01,10,11”4 种叠加态,3 个超导量子比特共有“000,001,010,011,100,101,110,111”8 种叠加态,只要增加 1 个超导量子比特,其叠加态的种数就呈指数级增长.设 66 个超导量子比特共有N种叠加态,则N是一个()位的数.(参考数据:lg20.3010)A.19 B.20 C.66 D.67 6.已知函数 yf x的图象的一部分如图所示,则该函数解析式可能是()A.2sinf xxx B.2cosf xxx

4、 C.2cosln1f xxxx D.2cosln1f xxxx 7.已知ABC中,a、b、c 为角 A、B、C 的对边,coscossinaBbAcC,若BAC与ABC的内角平分线交于点 I,ABC的外接圆半径为2,则IAB面积的最大值为()A.2 22 B.4 24 C.21 D.22 8.已知111a,110b,11ln10c.则()A.abc B.bca C.cba D.cba 二、多选题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.下列说法不正确的是()A.已知命题

5、:3px,都有2230 xx,则:3px,使2230 xx B.数列 na前 n 项和为nS,则nS,2nnSS,32nnSS成等比数列是数列 na成等比数列的充要条件 C.1a 是直线1:10laxy 与直线2:10lxay 平行的充要条件 D.直线 l 的斜率为 k,则1,ak为直线 l 的方向向量 10.椭圆2222:10yxCabab的上下顶点分别 A、B,焦点为1F、2F,P为椭圆上异于 A、B 的一动点,离心率为 e,则()A.12PF F的周长为21ae B.离心率 e 越接近 1,则椭圆 C 越扁平 C.直线 PA、PB 的斜率之积为定值22ba D.存在点 P 使得12PFP

6、F,则2,12e 11.设函数 212sin06fxx,则下列结论正确的是()A.若函数 f x的最小正周期为2,则1 B.存在0,1,使得 f x的图象向右平移6个单位长度得到的函数图象关于原点对称 C.若12,当0,2x时,函数 f x的值域为13,22 D.若 f x在0,上有且仅有 4 个零点,则23 29,12 12 12.已知长方体1111ABCDABC D中,2ABBC,12 2AA,点P是四边形1111ABC D内(包含边界)的一动点,设二面角PADB的大小为,直线PB与平面ABCD所成的角为,若,则()A.点P的轨迹为一条抛物线 B.线段PB长的最小值为 3 C.直线1PA与

7、直线CD所成角的最大值为4 D.三棱锥11PABC体积的最大值为2 23 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.抛物线2yx的准线方程为_.14.已知等差数列 na的前 n 项和为nS,1717S,513SS,则数列 na的前 20 项和是_.15.正三棱锥PABC的侧棱长为 2,M 为 AB 的中点,且PMPC,则三梭锥PABC外接球的表面积为_.16.已知函数 lnf xxx,lng xx x,若 12lnf xt,22g xt,则2lntx的最大值为_.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.(本题满分 10

8、 分)在33 cossinbcAaC,sinsinsinsinACABbac这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题.在ABC中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足_.(1)求角C的大小:(2)若ABC的面积为3,点 D 在边 AB 上,且13ADAB,求 CD 的最小值.(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答记分.)18.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥PABCD中,2AB,3CD,ABCD,PD 平面ABCD,2BAD,M为线段PC上一点且2PMMC.(1)证明:BM 平面PAD;(2)若2AD,二面角MBDC的正弦值为33,求 PD 的长.19.(本

9、题满分 12 分)已知nS是数列 na的前 n 项和,且1*21nnSnN.(1)求数列 na的通项公式;(2)若11211nnnnbaa,nT是 nb的前n项和,证明:43nT.20.(本题满分 12 分)随六安市经济发展的需要,工业园区越来越受到重视,成为推动地方经济发展的重要工具,工业园区可以有效创造和聚集力量,共享资源,克服外部负面影响,带动相关产业发展,从而有效促进产业集群的形成.已知工业园区内某工厂要设计一个部件(如图阴影部分所示),要求从圆形铁片上进行裁剪,部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成.设矩形的两边长分别为ADy,CDx(单位:cm),要求312yx,部件的面积是23

10、9cm.(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并求出定义域;(2)为了节省材料,请问 x 取何值时,所用到的圆形铁片面积最小,并求出最小值.21.(本题满分 12 分)已知函数 ln1f xmxx.(1)讨论函数 f x的单调性;(2)函数 2xxg xe,若 f xg x在0,上恒成立,求实数 m 的取值范围.22.(本题满分 12 分)已知两点1,0A、1,0B,动点 M 满足直线 MA 与直线 MB 的斜率之积为 3.,动点 M 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程;(2)过点2,0F作直线l交曲线 C 于 P、Q 两点,且两点均在 y 轴的右侧,直线 AP、BQ 的斜率分别为1k

11、、2k.证明:12kk为定值;若点 Q 关于 x 轴的对称点成点 H,探究:是否存在直线 l,使得PFH的面积为92,若存在,求出直线 l的方程,若不存在,请说明理由.数学试卷答案 1.C 【详解】12Axx,所以 3,12,3UA,故正确答案为 C.2.A 【详解】令izab,根据题意可得:2222 i12 2iabab.222122 2abab,12ab,则12iz ,所以复数z对应的点位于第一象限,故正确答案为 A.3.C 【详解】ABACABAC,2BAC,4BC,2AB 投影向量为1cos32ABAOABAB,故答案选 C.4.B 【详解】21PAPC,所以当PCl时,PA 的长最小

12、,C 到 l 的距离为2355d,所以min5 12PA,故答案选 B.5.B 【详解】根据题意,设n个超导量子比特共有2n种叠加态,所以当有 66 个超导量子比特共有662N 种叠加态。两边取以 10 为底的对数得,66lglg266lg266 0.301019.866N 所以19.8660.86619101010N,由于00.8661101010,故 N 是一个 20 位的数.故选:B 6.D 【详解】图像关于原点对称,所以 B 错误,0,1x,221ln1ln01xxxx ,所以排除 C 选项,A 选项函数图像与 x 轴的交点为xkkZ,交点间距离相等,不符合题意,所以正确答案为 D.7

13、.A 已知sinccC,2C,ABC为直角三角形且外接圆半径R为2 2 2c,2228abc,设内切圆半径为r,则12ABIScr.2 222abcabr,2212 22 2222 22222ABIababS(当且仅当ab时等号成立),故答案选 A 8.B 【详解】在0,1x时,1ln111xxxx,所以,当0.1x 时,1111ln110101x,故答案选 B.9.BC 【详解】A 选项根据命题的否定可知该命题为真命题.B 选项中当 n 为偶数,1q 时,0nS,20nnSS,320nnSS,等比数列的项不可为 0,所以该命题为假命题.C 选项中当1a 时,两条直线重合,所以该命题为假命题.

14、D 选项的命题为真命题,故答案选 BC.10.ABD 【详解】12PF F的周长为22ac,而cea,所以周长是21,aeA 选项正确.221cbeaa,当e越接近 1,ba的值越小,所以椭圆越扁平,B 选项正确.0,Aa,0,Ba,设00,P x y,则220002000PAPBya yayakkxxx,而2220021xyab代入可得:22,PAPBakkb C 选项错误.当 P 点在短轴端点时12FPF最大,若12PFPF,则122FPF,所以cb,有22cb,222cac,故2,12e,D 选项正确,故正确答案为 ABD.11.BD 【详解】由倍角公式降幕可得:cos 23fxx,22

15、2T,可知:12,所以 A 选项错误,将 f x图像向右平移6得到cos 233yx,该函数图像关于原点对称,则332kkZ,所以132k,当0k 时,12满足题意,B 选项正确.当12时,cos3fxx,所以,33 6x ,则 f x的值域为1,12,所以 C 选项错误,0,x,则2,2333x,因为函数有且仅有 4 个零点,所以792232,解得23 29,12 12,D 选项正确.故正确选项为 BD.12.BCD 【详解】过 P 点作 PQ 垂直与底面ABCD,垂足为 O,过 O 作OHAD,垂足为H,连接OB,PH,PB则PHO,PBO,所以OHOB,而 O 为 P 点在底面的投影,所

16、以 P到1AD的距离等于PB,而P是在底面上,所以P点的轨迹是抛物线的一部分,A 选项错误,当P点在11AB的中点时PB最短,此时3PB,所以 B 选项正确,1PA与CD所成的角即1PA与11C D所成的角,当1PA与该段抛物线相切时,角最大为4,所以 C 选项正确,111 1P A BCB PACVV,当P点在11AB的中点时,P点到11AC距离最大,三角形11PAC面积最大,三棱锥11PABC体积最大,1 1 11 11 122 22 22 23 223P A B CB PACVV,所以 D 选项正确.故正确答案为 BCD.13.14y 【详解】根据抛物线的定义可直接得出答案.14.202

17、 【详解】由1791717Sa得91a 又513 SS,6712130aaaa,即9100aa 101a,公差2d .99192naandn 17192182nnSnnn na的前 n 项和为 12910191020naaaaaaaaa 920216240202SS.15.12 【详解】正三棱锥中对边相互垂直,所以PCAB,而PMPC,所以PC 平面PAB,故PCPA,所以三条侧棱互相垂直,该三棱锥是一个正方体的一个角,所以外接球与正方体相同,所以3R,表面积为12.16.12e 【详解】由211lnlnxxt可知11ln2xxet,且由222lnxxt可知12ln1222lnlnxxx ex

18、xx e 所以12lnxx,所以21222lnlnlnlntttx xxxt.令 2ln0th ttt,则 312lnth tt,所以 h t在120,e12,e,所以 12max12h th ee.17.(1)方案一:选条件.由33 cossinbcAaC,可得3cossin3bcAaC,由正弦定理得3sinsin cossin sin3BCAAC,2 分 因为BA C,所以sinsinBA C,所以3sin coscos sinsin cossin sin3ACACCAAC,故3sin cossin sin3ACAC,又sin0A,于是sin3cosCC,即tan3C,4 分 因为0,C,

19、所以3C.5 分 方案二:选条件.sinsinsinsinACABbac,由正弦定理得acabbac,2 分 即222acabb,222abcab,由余弦定理得2221cos22abcCab.4 分 又0,C,所以3C.5 分(2)1sin32SCA CBC,4CA CB,又13ADAB,6 分 11213333CDCAADCAABCACBCACACB 7 分 22222414412999999CDCACBCA CBCACBCA CB 9 分 42289933CA CBCA CBCA CB 当且仅当2133CACB时,等号成立 CD 的最小值为2 63.10 分 18.(1)过点M作MGPD交

20、 DC 于点 G,连接 BG,2PMMC BGAD,BGMGG,平面MGB平面PAD 又BM 平面BGM,BM 平面PAD.5 分(2)以 DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴建立空间直角坐标系,令PDb,则0,3,0C,0,0,Pb,2,2,0B 2,2,0DB,0,3,PCb,20,2,33bDMDPPC 7 分 设平面MBD的法向量为,nx y z 00n DBn DM,220203xybyz,令1x,则61,1,nb,易知平面CBD的法向量为0,0,1m 9 分 266sincos,33611 1bm nb,可得3b 3PD 12 分 19(1)1n 时,211213a

21、s 2n 时 1121212nnnnnnass 2 分 经验证1n 时1132a *3,1,2,2nnnannN且 5 分(2)1n 时12433T 6 分 2n 时,11121121212121nnnnnnb 8 分 2334112111111424232121212121213213nnnnT,11 分 43nT.12 分 20.(1)22133sin6033924Sxyxxyx,故223394 13434 3xxyxx.3 分 312yx,即24 133124 3xxx,解得2 13x.故24 134 3xyx,02 13x 6 分(2)如图所示:作OFCD交CD于F,交AB于E,连接O

22、C.故133326OExx,故22222222233264312xxxROCCFOFyxyxy 2221313131331332483648 3666xx,10 分 当221313483xx,即2x 时等号成立.故当2x 时,面积最小值21313cm6.12 分 21.(1)函数 f x的定义域为0,,11mxfxmxx 1 分 当0m时,0fx,所以 f x在上0,为单调递减函数 3 分 当0m 时,10,xm时,0fx;1,xm时,0fx,所以 f x在10,m上为单调递减函数,在1,m为单调递增函数.5 分(2)由 f xg x得,2ln1xxmxxe ln1xxxmxe,7 分 令 l

23、n1xxxF xxe,2ln1xxxFxxe 8 分 当0,1x时 0F x,1,x时,0Fx 所以 F x在0,1单调递增,在1,单调递减,10 分 max111F xFe 故11me.12 分 22.(1)令,M x y,根据题意可知:311yyxx,化简,可得:22103yxy 3 分(范围还可以是:1x 无范围扣 1 分)(2)设11,P x y,22,Q x y,可设直线:2l xmy,联立方程 22213xmyyx可得:22311290mymy,则122122012319031myymyym ,5 分 故213m 且121234myyyy 112112112224122211331

24、yy mykmy yyxykymymy yyx 1211212212313144433933444yyyyyyyyyy.7 分 QHx轴,22,H xy,由两点式方程可得PH的直线方程为:122212yyyyxxxx,12122112xxyx yx yyyx,将112xmy,222xmy代入可得:1212121222m yyymy yyyyyx,8 分 将121234myyyy 代入上式,得到:12121212m yyyyyyyx,所以直线PH过定点1,02 10 分 1212213331292244 312PHFmSyyyym 219m 或21m(舍)所以存在直线 l,使得PFH的面积为92,直线 l 的方程为:360 xy或360 xy.12 分

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