高中数学涂色问题常用技巧.pdf

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1、适用标准高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而风趣的问题，高考取时时出现，办理涂色问题常用的方法是两个计数原理分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价变换，即化归思想；常有问题有：地区涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色能否要用完。例 1、用四种颜色给以下地区涂色，要求一空涂一色，邻空不一样色，有多少种涂法？1324分析：按题意，颜色要用完，1有 4种涂法；2有 3种涂法；3有 2种涂法；涂 1，2，3 只用了三种颜色，4一定涂第四种颜色，有 1种涂法，共有A44=24种涂法。例 2、给以下地区涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不一样色，有多少种涂法？1

2、324分析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，文档分类办理，适用标准起码要用三色涂空，才能知足要求。法 1：1）恰用三色：C433 2 1 2=48 种涂法；2）恰用四色：同例 1，有 24种涂法。共有 24+48=72种涂法。法 2：1 有 4种涂法；2 有 3种涂法；3 有 2种涂法；4 有 3种涂法；共72 种涂法。评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时必定要划分。一、地区涂色问题（一）、圆形地区涂色：办理圆形地区涂色大概有三种方法：间空涂色法；公式法。例 3、用四种颜色给以下地区涂色，用四种颜色给以下地区涂色，要求一空涂一色，邻空不一样色，有多少种涂法？一、

3、间空涂色法；14352法 1、用空分类选择 1，31）1，3 同色，则 1，3 有C41种方法，2有C31种方法，4不可能与 1，3 同色，但可与2 同色，分两类：4与 2不一样色，则 4有 2同色，只用了两种颜色，5 有 2 种方法；4 与 2种方法，5有 2种涂法，此时，共有4 3(2 2 2)72种方法。不一样色，则 1，2）1，3 3有 A42种方法，2 有 C21种方法，4 与 1文档适用标准同色，5 有 3种方法；4 与 2不一样色，则 4有 2种涂法，5 有 2种涂法，共有 12 2(2 2 3)=168 种方法，综上所述，共有 72+168=240种涂法。法 2：公式法共有 3

4、+3（-1）5=240种方法。5定理：用 m 种颜色（可选择）填圆形地区的 n个空，一空涂一色，邻空不一样色的涂法有(m 1)n(1)n(m 1)种。证明：如图，设有an种不一样涂法。1n123.n231)n 1种涂法,但地区 1、n 不可不如把之剪开 化为矩形地区 共有 m(m,以涂同色，把 1、n 捆绑成一个空，有 an-1种涂法，则ananm(m1)n 1aan 1n 1m(m 1)n 1an(m1)n1an 1mmmm11a(m 1)nn 1m 1(m 1)n 1此中 a2 Am2m(m1)，设 bnanmn ,则 b2(m 1)m 1令 bn r1bnr，则 r=1，m1可知，数列b

5、n1是以 b2 11为首项，1为公比的等比数列。m1m 1文档适用标准bn1m 1m1n 21，1n 2an m 1n1m 11m111n m 1 m 1n这个公式合用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不合用于“恰用色”问题。例 4（2003 江苏）四种不一样颜色涂在以下图的六个地区，且相邻两个地区不一样色的涂法共有种。622133456514分析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要 4种颜色，属于保低色，可用公式。把左图等价转变为右图.先涂1：有 4种方法；余下 3色涂 5个空（圆形）有（3-1）+(-1)55（3-1）=30 种涂法,由分步计数原理,共有 12

6、0 种涂法.若用间空涂色,可这样考虑:1）涂 1,有 4种方法，余下3 种颜色；2）2、4 同色，有C1种涂法；此时，3有 2种涂法；5与 3同色时，3文档适用标准时 6 有 1 种涂法，共有3 2(1 1)12种涂法；2、4 不一样色，有A32=6种涂法；此时 3有 1种涂法；若 5与 3同色，6 有 1 种涂法；5 与 3 不一样色，6 有 2种涂法（与 4，或 3同色）共有6 1 (1 1 2）=18 种涂法；综上所述，由分步计数原理，共有120 种涂法评析：分类议论，种类众多，要做到不重不漏，一定小必应付，任何方法都不是全能的，重点是要娴熟掌握。变式：（2003 全国）一个行政划分为5

7、 个地区，用 4种颜色给地图涂色，要求街坊空不一样色的不一样涂色方法有种。13415二、点涂色问题用等价转变思想把点涂色问题转变为地区涂色问题，是做题的重点。例 5、用 4种颜色给四周体的四个极点涂色，要求邻点不一样色的涂法共有多少种？P412ACB3文档适用标准分析；一脚把点 P 踩到 ABC 平面，问题等价转变为给下列图涂色。共有 4(1)32(31)324种，即 A44种涂法。变式：用 5种颜色给四周体的四个极点涂色，要求邻点不一样色的涂法共有多少种？PACB答案：C54A44，或 C51(333)=120种三、线段涂色用等价转变思想把点涂色问题转变为地区涂色问题。例 5、用 6种颜色给

8、四周体的 6条棱涂色，要求邻棱不一样色的涂法共有多少种？P423451123A56BC6分析：把图转变为：1）恰用 3 色，则 1、6；2、5；3、4 分别同色，有C3A3120种涂法；6 32）恰用 4色，则 1、6；2、5；3、4 有两对分别同色，如1、6；2、文档适用标准涂法3）恰用 5色，则 1、6；2、5；3、4 有 1对分别同色，如 1、6；则3、4，2、5 有A44种涂法，共有C64C13A44种涂法4）恰用 6色，有A66种涂法；综上所述：共有 4080 种涂法。评析，若你很难转变为地区问题，就不要转变，按线段的相对性可做。四、面涂色问题同上边说过的方法近似，能转则转，不然用面

9、的相对性求解。例 7、用 6种颜色（可选择）给正方体的 6个面涂色，要求邻不一样色，有多少种不一样的涂法？DACB65412C3DAB分析：图转变为1）恰用 3色，有A43=24 种；2）恰用 4色，有C32A44=72 种共有 96种。文档适用标准五、恰用色与可选色的联系设保底色为涂法数为am，恰用色涂法数为 an，则可选色涂法数Bn=am+am+1+an例 8、用 4种颜色给以下地区涂色，颜色一定用完，相邻地区不一样色，有多少种涂法13452分析：按要求涂色，最少要3 种颜色（保底色），用 3色涂之，1有3 种；2 有 2 种；3 有 1种；4 与 1 同色时，5 有 2 种，4 与 2 同色时，5有 2种，共有C43(3 21 2 2)96种涂法；4 色可选时，有 4 3 2 3种；3216种。32 1248种；那么，恰用四色有216-96=120法 2：1、4 或 2、4 同色，有41、4，（2、4）不一样色，有4 3 2 1 372种共有 120 种。总之，涂色问题比较复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转变，末两空捆绑等方法，；注意颜色用完与可选的差别。文档