高中数学涂色问题常用技巧.doc

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1、高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用方法是两个计数原理分类计数和分步计数原理；常用数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑问题是颜色是否要用完。 1 3 4 2例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种涂法，共有=24种涂法。 1 3 4 2例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？解析：颜色可供选择

2、，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，至少要用三色涂空，才能满足要求。法1：1） 恰用三色：=48种涂法；2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。共有24+48=72种涂法。法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。一、 区域涂色问题一、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。1 5 24 3例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？一、 间空涂色法；法1、用空分类选择1，311，3同色，那么1，3有种方法，

3、2有种方法，4不可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，那么4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有种方法。21，3不同色，那么1，3有种方法，2有种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，那么4有2种涂法，5有2种涂法，共有=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。法2：公式法共有35+3-15=240种方法。定理：用m种颜色可选择填圆形区域n个空，一空涂一色，邻空不同色涂法有种。1 n2 3 1 2 3 . n证明：如图，设有an种不同涂法。不妨把之剪开,化为矩形区域,共有种涂法,但区域1、n不能涂同色，把1、n捆

4、绑成一个空，有an-1种涂法，那么其中，设令，那么r=1，可知，这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题，不适用于“恰用色问题。例42003江苏四种不同颜色涂在如下图六个区域，且相邻两个区域不同色涂法共有 种。 62 5 13 4 6 2 5 1 3 4解析：依题意，四种颜色都要用上，属于恰用色，同时，填这六个空最少要4种颜色，属于保低色，可用公式。把左图等价转化为右图.先涂1：有4种方法；余下3色涂5个空圆形有3-15+(-1)53-1=30种涂法,由分步计数原理,共有120种涂法.假设用间空涂色,可这样考虑:1涂1,有4种方法，余下3种颜色；22、4同色，有种涂法；此时，3有2种涂

5、法；5与3同色时，6有1种涂法颜色要用完；5与3不同色时，5有1种涂法，此时6有1种涂法，共有种涂法；2、4不同色，有=6种涂法；此时3有1种涂法；假设5与3同色，6有1种涂法；5与3不同色，6有2种涂法与4，或3同色共有=18种涂法；综上所述，由分步计数原理，共有120种涂法评析：分类讨论，种类繁多，要做到不重不漏，必须小必应对，任何方法都不是万能，关键是要熟练掌握。 1 3 1 5 4变式：2003全国一个行政区分为5个区域，用4种颜色给地图涂色，要求邻居空不同色不同涂色方法有 种。二、点涂色问题用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题，是做题关键。 4 12 3 PA B C例5、用

6、4种颜色给四面体四个顶点涂色，要求邻点不同色涂法共有多少种？解析；一脚把点P踩到ABC平面，问题等价转化为给下列图涂色。共有种，即种涂法。变式 PA B C：用5种颜色给四面体四个顶点涂色，要求邻点不同色涂法共有多少种？答案：，或=120种三、线段涂色用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。 4 5 1 2 3 6 PA B C 1 2 3 4 5 6例5、 用6种颜色给四面体6条棱涂色，要求邻棱不同色涂法共有多少种？解析：把图转化为：1恰用3色，那么1、6；2、5；3、4分别同色，有种涂法；2恰用4色，那么1、6；2、5；3、4有两对分别同色，如1、6；2、5同色，3、4有种涂法，两同

7、色组有种涂法，共有种涂法3恰用5色，那么1、6；2、5；3、4有1对分别同色，如1、6；那么3、4，2、5有种涂法，共有种涂法4恰用6色，有种涂法；综上所述：共有4080种涂法。评析，假设你很难转化为区域问题，就不要转化，按线段相对性可做。四、面涂色问题同上面说过方法类似，能转那么转，否那么用面相对性求解。例7、用6种颜色可选择给正方体6个面涂色，要求邻不同色，有多少种不同涂法？ D C A B D C A B 6 5 4 1 2 3解析：图转化为1恰用3色，有=24种；2恰用4色，有=72种共有96种。五、恰用色与可选色联系设保底色为涂法数为am，恰用色涂法数为an，那么可选色涂法数Bn=am+am+1+an 1 3 4 5 2例8、用4种颜色给如下区域涂色，颜色必须用完，相邻区域不同色，有多少种涂法解析：按要求涂色，最少要3种颜色保底色，用3色涂之，1有3种；2有2种；3有1 种；4与1同色时，5有2种，4与2同色时，5有2种，共有种涂法；4色可选时，有种；那么，恰用四色有216-96=120种。法2：1、4或2、4同色，有种；1、4，2、4不同色，有种共有120种。总之，涂色问题比拟复杂，做题时，分类要清楚，可用空分类，也可用色分类，在做题上掌握斯技巧；注意等价转化，末两空捆绑等方法，；注意颜色用完与可选区别。