（浙江专用）2019高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第4讲 不等式学案.doc

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1、1第第 4 4 讲讲 不等式不等式考情考向分析 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大热点一 基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值 2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果px0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：

2、和定，积有最大值)1 4例 1 (1)(2018浙江省金丽衢十二校联考)设ab0，当取得最小值c时，函a2 22bab数f(x)|xa|xb|xc|的最小值为( )A3 B2 C5 D422答案 A解析 a2 22babbab222bab2b(ab)24，2bab2bab2bab当且仅当a2b2 时，上面不等式中两个等号同时成立，所以的最小值为 4，此时a2，b1，c4，a2 22bab则f(x)|x1|x2|x4|Error!所以当x2 时，函数f(x)取得最小值f(2)523，故选 A.(2)(2018诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(ab)(a2b)ab9，则3a4b的最小值

3、为_答案 612解析 由(ab)(a2b)ab9，得ab，则 3a4b2(ab)a2b9 a2b12(a2b1)12161，当且仅当18 a2b118 a2b1 a2b12a2b10 时，等号成立，所以 3a4b的最小值为 61.18 a2b12思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误跟踪演练 1 (1)设x0，y0，若xlg 2，lg，ylg 2 成等差数列，则 的最小值为( )21 x9 yA8 B9 C12 D16答案 D解

4、析 xlg 2，lg，ylg 2 成等差数列， 22lglg 2，2(xy)xy1， 10 1 x9 y(xy)(1 x9 y)y x9x y10210616，y x9x y当且仅当x ，y 时取等号，1 43 4故 的最小值为 16，故选 D.1 x9 y(2) 已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且(，)，设AB22|CE|x，|CF|y，若|，则xy的最大值为( )AFAEABA2 B4 C2 D422答案 C解析 |2，|，AB22AFAEAB又|2, AFAEEFx2y2x2y24，(xy)2x2y22xy2(x2y2)8，当且仅当xy时取等号，xy2，即xy的最大

5、值为 2，故选 C.22热点二 简单的线性规划问题3解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例 2 (1)(2018浙江)若x，y满足约束条件Error!则zx3y的最小值是_，最大值是_答案 2 8解析 由Error!，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)由Error!解得A(4，2)，由Error!解得B(2,2)，将目标函数yx平移可知，1 3当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax2328.(2)(2

6、018浙江省重点中学联考)若实数x，y满足Error!则x2y2的取值范围是( )A. B.1 2， 13)1 4，13)C. D.55， 13)1 5，13)答案 D解析 在平面直角坐标系内作出满足约束条件的平面区域，如图所示的阴影部分，其中不含边界线段NP，设zx2y2，求zx2y2的取值范围，即求图中阴影部分内的点到原点的距离的平方的取值范围由图可知，作OHMN于点H，4由N(0,1)，M，(1 2，0)得OH，OMON MN55zmin .1 5又OP2223213，但点P不在图中阴影部分内，zx2y2取不到 13，x2y2的取值范围是，故选 D.1 5，13)思维升华 (1)线性规划

7、问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得跟踪演练 2 (1)(2018浙江省名校协作体联考)若不等式组Error!表示的平面区域经过四个象限，则实数的取值范围是( )A(，2 B1,1C1,2) D(1，)答案 D解析 在平面直角坐标系内画出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示直线xy220 恒过定点(2，2)，由图易得不等式组Error!表示的平面区域为阴影部分在直线xy220 下方的部分，当1 时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；当 0)表示的平

8、面区域为，P(x，y)为上的点，当 2xy的最大值为 8 时，的面积为( )A12 B8 C4 D6答案 D解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m，m)，5(m,2m)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z2xy经过平面区域内的点(m,2m)时，z2xy取得最大值，所以 2m2m8，解得m2，则此时平面区域的面积为 2(42)6，故选 D.1 2热点三 绝对值不等式及其应用1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc；|axb|c(c0)axbc或axbc.(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意

9、义法；图象法2绝对值三角不等式(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0 时等号成立(2)|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立例 3 (1)(2018宁波期末)若函数f(x)在x|1|x|4，xR R上的最大值为|x|1x|M，最小值为m，则Mm等于( )A. B2 C. D.7 49 411 4答案 C解析 因为f(x)0，当x1 时，等号成立，所以m0.又因为f(x)|x|1x|，当x0，则的最小值为_a44b41 ab答案 4解析 a，bR R，ab0，4ab24，a44b41 ab4a2b21 ab1 ab4ab1 ab当且仅当Error!即Error!时取得等号

10、故的最小值为 4.a44b41 ab押题预测1已知x，y为正实数，且xy 5，则xy的最大值是( )1 x1 yA3 B.7 2C4 D.9 2押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不8等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合答案 C解析 由xy 5，得 5xy，1 x1 yxy xyx0，y0，5xyxy，xy(xy 2)24 xy当且仅当xy时取等号(xy)25(xy)40，解得 1xy4，xy的最大值是 4.2在 R R 上定义运算：adbc，若不等式1 对任意实数x恒成立，则|a b c d|x1 a2 a1 x|实数

11、a的最大值为( )A B C. D.1 23 21 23 2押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案 D解析 由定义知，不等式1 等价于x2x(a2a2)1，|x1 a2 a1 x|x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x12 ，(x1 2)3 43 4a2a ，解得 a ，3 41 23 2则实数a的最大值为 .3 23设变量x，y满足约束条件Error!则目标函数z4xy的最小值为( )A6 B6C7 D8押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是

12、近几年高考的热点答案 C解析 由x，y满足的约束条件Error!画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，9当直线z4xy过点C(1,3)时，z取得最小值且最小值为 437，故选 C.4若不等式x22x0 时取等a b16b aa b16b aa b16b a号)，所以x22xb0，且ab1，则下列不等式成立的是( )Aa b0，ab1，log2(ab)log2(2)1.aba12a，令f(a)a12a，b 2a1 a 2a又b ，ab0，1 aa ，解得a1.1 af(a)a22aa12aln 2a22a(1aln 2)ablog2(ab)，1 bb0，ab1，取a2，b ，1 2此时a 4，

13、，log2(ab)log2511.3，1 bb 2a1 80 的解集为，(1 a，1)q：a0 的解集为，得a0 的解集为”是“a0)，则xy的最小值为( )1 x4 yA5 B9 C4 D10326答案 B解析 由xy 8，得xy8 ，1 x4 y1 x4 y则(xy8)(xy)(xy)(1 x4 y)5 529，y x4x yy x4x y当且仅当 ，即y2x0 时，等号成立，y x4x y令txy，所以(t8)t9，解得t1 或t9，因为xy0，所以xy9，所以xy的最小值为 9，故选 B.8若实数a，b，c满足对任意实数x，y有 3x4y5axbyc3x4y5，则( )Aabc的最小值

14、为 2Babc的最小值为4Cabc的最大值为 4Dabc的最大值为 6答案 A解析 由题意可得5(a3)x(b4)yc5 恒成立，所以a3，b4，5c5，则 2abc12，即abc的最小值是 2，最大值是 12，A 正确，C 错误；6abc4，则abc的最小值是6，最大值是 4，B 错误，D 错误，故选 A.9若存在实数x使|xa|x1|3 成立，则实数a的取值范围是_答案 2,4解析 |xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.10已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_13答案 1 2，1解析 方法一 由xy1，得y1x.又x0，y0，所以 0x1，x2y2x2(1x)

15、22x22x122 .(x1 2)1 2由 0x1，得 02 ，(x1 2)1 4即 x2y21.所以x2y2.1 21 2，1方法二 x2y2(xy)22xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy.因为 1xy2，xy所以 0xy ，1 4所以 12xy1，1 2即x2y2.1 2，1方法三 依题意，x2y2可视为原点与线段xy10(x0，y0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2y2)min2 ，(x2y2)maxOA2OB21，(|1|2)1 2故x2y2.1 2，111(2018台州市联考)若实数x，y满足x24y24xy4x2y232，则x2y的最小值为_，(x2y)2xy

16、的最大值为_7答案 4 162解析 因为x24y24xy4x2y232，所以(x2y)24x2y232，则(x2y)232，4x2y4，即x2y的最小值为4.由(x2y)24x2y232，不妨设222Error!则(x2y)2xy4(sin cos )16sin()，其中 tan ，72777所以当 sin()1 时，(x2y)2xy取得最大值 16.712(2018浙江省衢州二中模拟)已知实数x，y满足x1，y0，且x4y 11，1 x11 y14则 的最大值为_1 x11 y答案 9解析 由x4y 11 得1 x11 y 10(x1)4y，1 x11 y则210(x1)4y(1 x11 y

17、)(1 x11 y)10(1 x11 y) (54y x1x1 y)10(1 x11 y)(524y x1x1 y)109，(1 x11 y)当且仅当，即 2yx10 时，等号成立，4y x1x1 y令t ，则有t210t9，1 x11 y解得 1t9，所以 的最大值为 9.1 x11 yB B 组组 能力提高能力提高13(2018台州市联考)设实数x，y满足条件Error!若z2x2y2，则( )Az的最小值为 Bz的最小值为325 8Cz的最大值为 33 Dz的最大值为 6答案 A解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z2

18、x2y2 与平面区域内的边界xy10(x0)相切时，z2x2y2 取得最小值，联立Error!消去y化简得 2x2x3z0，因为曲线z2x2y2 与xy10(x0)相切，所以关于x的一元二次方程 2x2x3z0 有两个相等的正实数根，则(1)242(3z)0，解得z，满足题意，即目标25 8函数z2x2y2 的最小值为，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所25 8以目标函数无最大值，故选 A.1514(2018浙江省杭州第二中学等五校联考)已知ABC的三边长分别为a，b，c，有以下四个命题：以， ，为边长的三角形一定存在；abc以 2a,2b,2c为边长的三角形一定存在；以a3，b3

19、，c3为边长的三角形一定存在；以|ab|c，|bc|a，|ca|b为边长的三角形一定存在其中正确命题的个数为( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 由题意不妨设abc，则bca.对于，()2()2bc2a0，bcabc所以以， ，为边长的三角形一定存在，正确；对于，令a5，bc3，此时abca，b，c可以构成三角形，而 2a32,2b2c8，则 2a,2b,2c不能构成三角形，错误；对于，取a3，bc2，此时a，b，c可以构成三角形，而a327，b3c38，则a3，b3，c3不能构成三角形，错误；对于，因为|ab|cacb，|bc|a|ca|babc，且abcacb，所以|bc|a|ca|b

20、|ab|c，所以以|ab|c，|bc|a，|ca|b为边长的三角形一定存在，正确综上所述，正确命题的个数为 2，故选 B.15(2018浙江省台州中学统练)设m，k为整数，方程mx2kx20 在(0,1)内有两个不同的根，则当mk取到最小值时，m_，k_.答案 6 7解析 设f(x)mx2kx2，则方程mx2kx20 在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f(x)mx2kx2 在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f(0)20，所以有Error!化简得Error!以m为横坐标，k为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为m，k为

21、整数，则由图易得当目标函数zmk经过平面区域内的点(6,7)时，zmk取得最小值zmin6713，此时m6，k7.1616已知ab，二次三项式ax22xb0 对于一切实数x恒成立，又存在x0R R，使ax2x0b0 成立，则的最小值为_2 0a2b2 ab答案 22解析 由题意，得ab，二次三项式ax22xb0 对于一切实数x恒成立，所以a0，且44ab0，所以ab1.由存在x0R R，使ax2x0b0 成立，可得0，所以2 0ab1，所以a1，所以0，a2b2 aba21 a2a1aa41 a3a所以2(a41 a3a)a812a4 a6a22a4a41 a42a21 a22，(a21 a2)2(a21 a2)2(a21 a22)24(a21 a2)4(a21 a2)2令a2t2，1 a2则2(t2)4(a41 a3a)t224t24t24 t224448，t24 t2当且仅当t4 时取等号，所以2的最小值为 8，(a41 a3a)所以的最小值为 2.a2b2ab2