(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题三数列与不等式第4讲不等式学案.pdf-得力文库

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1、推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料第 4 讲不等式考情考向分析 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、线性规划、绝对值不等式的应用问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主.2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围.3.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数或数列问题时常利用不等式进行求解，难度较大热点一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有

2、最大值14s2(简记为：和定，积有最大值)例 1(1)(2018 浙江省金丽衢十二校联考)设ab0，当a222b ab取得最小值c时，函数f(x)|xa|xb|xc|的最小值为()A3 B 22 C 5 D 42 答案A 解析a222b abbab222b ab2b(ab)2b ab22b ab2b ab4，当且仅当a 2b2 时，上面不等式中两个等号同时成立，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料所以a222b ab的最小值为4，此时a2，b1，c4，则f(x)|x1|x2|x4|73x，x1，5x，1x2，x1，24，所以当x2 时，函数f(x)取得最小值f(2)523，故选 A.(2)

3、(2018 诸暨市高考适应性考试)已知a，b为正实数，且(ab)(a2b)ab9，则 3a4b的最小值为 _答案621 解析由(ab)(a 2b)ab 9，得ab9a2b1，则3a 4b 2(ab)a 2b18a2b1(a2b1)1218a2b1a 2b1 1621，当且仅当18a2b1a2b10 时，等号成立，所以3a4b的最小值为621.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误跟踪演练1(1)设x0，y0，若xlg 2，lg2，yl

4、g 2 成等差数列，则1x9y的最小值为()A8 B 9 C 12 D 16 答案D 解析xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列，2lg2()xylg 2，xy 1，1x9y()xy1x9y10yx9xy10 2yx9xy10616，当且仅当x14，y34时取等号，故1x9y的最小值为16，故选 D.(2)已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且AB(2，2)，设|CE|x，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料|CF|y，若|AFAE|AB|，则xy的最大值为()A2 B 4 C 22 D 42 答案C 解析|AB|222，|AFAE|AB|，又|AFAE|EF|x2y2

5、2,x2y24，(xy)2x2y22xy2(x2y2)8，当且仅当xy时取等号，xy22，即xy的最大值为22，故选 C.热点二简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决例 2(1)(2018 浙江)若x，y满足约束条件xy0，2xy6，xy2，则zx3y的最小值是_，最大值是 _答案 2 8 解析由xy0，2xy6xy2，画出可行域如图阴影部分所示(含边界)由2xy6，xy2，解得A(4，2)，由xy0，2xy6，解得B(2,2)，推荐学习K12 资料

6、推荐学习K12 资料将目标函数y13x平移可知，当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax232 8.(2)(2018 浙江省重点中学联考)若实数x，y满足xy1 时，不等式组表示的平面区域经过四个象限；当231 时，不等式组表示的平面区域不经过第二象限；当0 23时，不等式组表示的平面区域不经过第一和第二象限；当 0)表示的平面区域为，P(x，y)为上的点，当 2xy的最大值为8 时，的面积为()A12 B 8 C 4 D 6 答案D 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(0,0)，(m，m)，(m,2m

7、)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图(图略)易得当目标函数z2xy经过平面区域内的点(m,2m)时，z2xy取得最大值，所以2m2m8，解得m2，则此时平面区域推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料的面积为122(4 2)6，故选 D.热点三绝对值不等式及其应用1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)?caxbc；|axb|c(c0)?axbc或axbc.(2)含绝对值的不等式的几种解法：公式法；零点分区间法；几何意义法；图象法2绝对值三角不等式(1)|ab|a|b|，当且仅当ab0 时等号成立(2)|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立例 3(1)(2018

8、宁波期末)若函数f(x)|x|1x在x|1|x|4，xR 上的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A.74 B 2 C.94 D.114答案C 解析因为f(x)|x|1x0，当x1时，等号成立，所以m0.又因为f(x)|x|1x|x|1x|x|1|x|，当x0时等号成立设t|x|，g(t)t1t(1t4)，则g(t)12t1t232222tt,令g(t)32222tt0，得t34，所以函数g(x)在1，34 上单调递减，在(34，4 上单调递增，且g(1)2，g(4)94，所以g(t)在1,4上的最大值为94，所以当x 4时，f(x)|x|1x取得最大值M94，所以Mm94，故选 C.(2

9、)已知mR，要使函数f(x)|x24x92m|2m在区间 0,4上的最大值是9，则m的取值范围是 _答案，72解析不等式即为|x24x92m|2m9，x0,4，等价于|x24x92m|9 2m，x0,4，2m9x24x92m9 2m，x0,4，4m18x2 4x0，x0,4，结合函数的定义域可得(x24x)min 4，推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料据此可得4m18 4，m72，即m的取值范围是，72.思维升华(1)利用绝对值三角不等式求最值要注意等号成立的条件(2)绝对值不等式在某一区间上的最值可以进行分类讨论，也可以直接分析区间端点的取值，结合最值取到的条件灵活确定跟踪演练3(1)

10、对任意x，y R，|x 1|x|y1|y1|的最小值为()A1 B 2 C 3 D 4 答案C 解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y 1)(y1)|3，当且仅当0 x1，1y1时等号成立(2)(2018 杭州质检)设函数f(x)(xR)满足|f(x)x2|14，|f(x)1x2|34，则f(1)_.答案34解析由题意得|f(1)12|14，|f(1)112|34，由得34f(1)54，由得34f(1)34，所以f(1)34.真题体验1(2016上海)设xR，则不等式|x3|1 的解集为 _答案(2,4)解析由 1x 31，得 2x4，故解集为(2,4)2(2017浙江改编)若x，y满足

11、约束条件x0，xy30，x 2y0，则zx2y的取值范围是_推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案4，)解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示由题意可知，当直线y12xz2过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin 221 4.所以zx2y的取值范围是4，)3(2016浙江改编)已知实数a，b，c，则下列正确的是_(填序号)若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c2100；若|a2bc|a2bc|1，则a2b2c2100；若|abc2|abc2|1，则a2b2c2100；若|a2bc|ab2c|1，则a2b2c20，则a44b41ab的最小值为 _答案4 解析a，

12、bR，ab0，a44b41ab4a2b21ab4ab1ab24ab1ab4，当且仅当a22b2，4ab1ab，即a222，b224时取得等号故a44b41ab的最小值为4.押题预测1已知x，y为正实数，且xy1x1y5，则xy的最大值是()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料A3 B.72C4 D.92押题依据基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合答案C 解析由xy1x1y5，得 5xyxyxy，x0，y0，5xyxyxy22xy4xy，当且仅当xy时取等号(xy)25(xy)40，解得 1

13、xy4，xy的最大值是4.2在 R 上定义运算：abcdadbc，若不等式x1 a2a1 x1 对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为()A12 B 32 C.12 D.32押题依据不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式答案D 解析由定义知，不等式x1 a2a1 x1 等价于x2x(a2a2)1，x2x1a2a对任意实数x恒成立x2x1x1223434，a2a34，解得12a32，则实数a的最大值为32.3设变量x，y满足约束条件3xy60，xy20，y30，则目标函数z4xy的最小值为()A 6 B6 C7

14、 D8 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料押题依据线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点答案C 解析由x，y满足的约束条件3xy60，xy20，y30画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，当直线z4xy过点C(1,3)时，z取得最小值且最小值为437，故选 C.4若不等式x22xab16ba对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(4,2)B(，4)(2，)C(，2)(0，)D(2,0)押题依据“恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点答案A 解析不等式x22

15、xab16ba对任意a，b(0，)恒成立，等价于不等式x22x0 时取等号)，所以x2 2x8，解得 4xb0，且ab1，则下列不等式成立的是()推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料Aa1bb2alog2(ab)B.b2alog2(ab)a1bCa1blog2(ab)b2aDlog2(ab)a1bb0，ab 1，log2(ab)log2(2ab)1.b2a1a2aa12 a，令f(a)a 12a，又b1a，ab0，a1a，解得a1.f(a)a22aa12aln 2a22a(1 aln 2)0，f(a)在(1，)上单调递减f(a)f(1)，即b2aablog2(ab)，b2alog2(ab)

16、b0，ab1，取a2，b12，此时a1b4，b2a18，log2(ab)log2511.3，b2alog2(ab)0 的解集为1a，1，q：a0 的解集为1a，1，得a0 且1a1，解得a0 的解集为1a，1”是“a12”的充分不必要条件，故选A.3(2018绍兴市柯桥区质检)若x，y满足约束条件x2，xy 1，2xy4，则z 2xy的取值范围是()A 4,0 B 4，1 C 1,0 D0,1 答案A 解析作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，平移直线y2xz，当其过点B(1,2)，C(2,0)时，目标函数z分别取到最大值0 和最小值 4，故选 A.4(2018诸暨模拟)已

18、 n49a22，mn 6，16(mn)2m12n16 2m2n2nm1216522 34，当且仅当m2n 4 时取等号故选 C.6(2018浙江省名校新高考研究联盟联考)若关于x的不等式|xt22|xt2 2t1|3t无解，则实数t的取值范围是()A15t1 B0t1Ct1 D1t5答案C 解析|xt22|xt22t1|(xt22)(xt22t1)|2t1|，则由关于x的不等式|xt22|xt2 2t1|0)，则xy的最小值为()A53 B 9 C 426 D 10 答案B 解析由xy1x4y8，得xy81x4y，则(xy8)(xy)1x4y(xy)5yx4xy5 2yx4xy9，当且仅当y

19、x4xy，即y2x0 时，等号成立，令txy，所以(t8)t9，解得t 1 或t9，因为xy0，所以xy9，所以xy的最小值为9，故选 B.8若实数a，b，c满足对任意实数x，y有 3x4y5axbyc3x4y5，则()Aabc的最小值为2 Babc的最小值为 4 Cabc的最大值为4 Dabc的最大值为6 答案A 解析由题意可得 5(a3)x(b 4)yc5 恒成立，所以a3，b4，5c5，则推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料2abc12，即abc的最小值是2，最大值是12，A正确，C错误；6abc4，则abc的最小值是 6，最大值是4，B错误，D错误，故选A.9若存在实数x使|xa|

20、x1|3 成立，则实数a的取值范围是_答案 2,4 解析|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得 2a4.10已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是 _答案12，1解析方法一由xy1，得y1x.又x0，y0，所以0 x1，x2y2x2(1x)22x22x12x12212.由 0 x1，得 0 x12214，即12x2y21.所以x2y212，1.方法二x2y2(xy)2 2xy，已知x0，y0，xy1，所以x2y212xy.因为 1xy2xy，所以 0 xy14，所以121 2xy1，即x2y212，1.方法三依题意，x2y2可视为原点与线段xy10(x0，y0)上的点的距离的

21、平方，如图所示，故(x2y2)min|1|2212，(x2y2)maxOA2OB21，故x2y212，1.11(2018台州市联考)若实数x，y满足x24y24xy 4x2y232，则x 2y的最小值为_，7(x 2y)2xy的最大值为 _答案 42 16 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料解析因为x24y24xy 4x2y232，所以(x 2y)24x2y232，则(x2y)232，42x 2y42，即x 2y的最小值为 42.由(x 2y)2 4x2y2 32，不妨设x2y42sin，2xy 42cos，则7(x2y)2xy42(7sin cos)16sin()，其中 t

22、an 77，所以当sin()1 时，7(x2y)2xy取得最大值16.12(2018浙江省衢州二中模拟)已知实数x，y满足x1，y0，且x4y1x11y 11，则1x11y的最大值为 _答案9 解析由x 4y1x11y11 得1x11y10(x1)4y，则1x11y21x11y10 (x1)4y 101x 11y 54yx1x1y101x 11y 524yx1x1y101x 11y9，当且仅当4yx1x1y，即 2yx10 时，等号成立，令t1x11y，则有t210t9，解得 1t9，所以1x11y的最大值为9.B组能力提高13(2018台州市联考)设实数x，y满足条件xy10，x2y20，x

23、2y20，若z 2x2y2，则()Az的最小值为258Bz的最小值为 3 Cz的最大值为33 Dz的最大值为6 推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案A 解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，由图易得当目标函数z2x2y2 与平面区域内的边界xy10(x0)相切时，z2x2y2 取得最小值，联立z2x2y2，xy 10，消去y化简得2x2x3z0，因为曲线z2x2y 2与xy10(x0)相切，所以关于x的一元二次方程2x2x3z0 有两个相等的正实数根，则(1)242(3z)0，解得z258，满足题意，即目标函数z2x2y 2的最小值为25

24、8，由于不等式组所表示的平面区域右侧为开放区域，所以目标函数无最大值，故选A.14(2018浙江省杭州第二中学等五校联考)已知ABC的三边长分别为a，b，c，有以下四个命题：以a，b，c为边长的三角形一定存在；以 2a,2b,2c为边长的三角形一定存在；以a3，b3，c3为边长的三角形一定存在；以|ab|c，|bc|a，|ca|b为边长的三角形一定存在其中正确命题的个数为()A1 B 2 C 3 D 4 答案B 解析由题意不妨设abc，则bca.对于，(bc)2(a)2bc2bca0，所以以a，b，c为边长的三角形一定存在，正确；对于，令a 5，bc 3，此时a，b，c可以构成三角形，而2a3

25、2,2b2c8，则 2a,2b,2c不能构成三角形，错误；对于，取a3，bc2，此时a，b，c可以构成三角形，而a327，b3c38，则a3，b3，c3不能构成三角形，错误；对于，因为|ab|cacb，|bc|a|ca|babc，且abcacb，所以|bc|a|ca|b|ab|c，所以以|ab|c，|bc|a，|ca|b为边长的三角形一定存在，正确综上所述，正确命题的个数为2，故选B.15(2018浙江省台州中学统练)设m，k为整数，方程mx2kx 20 在(0,1)内有两个不同的根，则当mk取到最小值时，m _，k_.推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料答案6 7 解析设f(x)mx2k

26、x 2，则方程mx2kx20 在(0,1)内有两个不同的根等价于函数f(x)mx2kx2 在(0,1)内有两个不同的零点，又因为f(0)20，所以有m0，f1 mk20，0k2m0，化简得m0，mk20，2mk0，k28m0，以m为横坐标，k为纵坐标建立平面直角坐标系，画出不等式组m0，mk20，2mk0，k2 8m0所表示的平面区域如图中阴影部分(不包括边界)所示，又因为m，k为整数，则由图易得当目标函数zmk经过平面区域内的点(6,7)时，zmk取得最小值zmin6713，此时m 6，k7.16已知ab，二次三项式ax2 2xb0 对于一切实数x恒成立，又存在x0R，使ax202x0b0

27、成立，则a2b2ab的最小值为 _答案22 解析由题意，得ab，二次三项式ax22xb0 对于一切实数x恒成立，所以a0，且 44ab0，所以ab1.由存在x0R，使ax202x0b0 成立，可得0，所以ab1，所以a1，所以a2b2aba21a2a1aa41a3a0，所以a41a3a2a8 12a4a6a22a4a41a42a21a22推荐学习K12 资料推荐学习K12 资料a21a22a21a22a21a2224a21a2 4a21a22，令a21a2t2，则a41a3a2t224t2 4t2(t 2)4t 24 2t 2 4t24448，当且仅当t 4时取等号，所以a41a3a2的最小值为8，所以a2b2ab的最小值为22.

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