【教育资料】2017-2018学年高中创新设计物理教科版必修2：第三章 学案3 万有引力定律的应用学习精品.pdf

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1、教育资源学案学案 3 3万有引力定律的应用万有引力定律的应用学习目标定位 1.了解重力等于万有引力的条件.2.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.3.会用万有引力定律计算天体的质量.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量一、预言彗星回归哈雷利用万有引力定律解释了1531 年、1607 年和 1682 年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，并预言彗星将于 1758 年再次出现 克雷洛计算了木星和土星对这颗彗星运动规律的影响，指出它将推迟于 1759 年 4 月份经过近日点，这个预言果然得到了证实二、预言未知星体1 英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文爱好

2、者勒维耶，根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星轨道外面“新”行星的轨道.1846 年 9 月 23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置发现了这颗行星海王星21930 年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载发现了冥王星三、计算天体质量1计算地球的质量：如果忽略地球自转的影响，地面上质量为 m 的物体受到的重力等MEmgR2于地球对物体的万有引力，即mgG2，由此得地球的质量表达式为：ME.RG2计算太阳的质量：太阳质量 mS，行星质量 m，轨道半径 r 行星与太阳的距离，行星mSm2242r3公转周期 T，则 G2m()r，太阳质量 mS2，与行星质量 m 无关rTG

3、T一、“称量”地球质量问题设计1卡文迪许在实验室测量出了引力常量 G 的值，从而“称量”出了地球的质量，你知道他是怎样“称量”地球质量的吗？答案若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m 的物体所受的重力 mg 等于地球GMEmgR2对物体的引力，即mg2，所以有 ME，只要测出 G，便可“称量”地球的质RG量2 设地面附近的重力加速度g9.8 m/s2，地球半径 R6.4106 m，引力常量 G6.671011 Nm2/kg2，试估算地球的质量教育资源教育资源6 2gR29.86.410 答案MEkg6.01024 kg11G6.6710要点提炼1地球质量的计算MEmgR2在地面上，忽略地球

4、自转的影响，由mgG2可以求得地球的质量：ME.RG2其他星球质量的计算若已知天体的半径 R 和天体表面的重力加速度 g，与地球质量的计算方法类似，即可计gR2算出此天体的质量 M.G二、计算天体质量问题设计1 我们知道行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，如果我们要“称量”出太阳的质量，应该知道哪些条件？GmSm4242r3答案由22mr 知 mS2，由此可知需要知道某行星的公转周期 T 和它与太rTGT阳的距离 r.2天体质量及半径求出后，如何得到天体的平均密度？MM3M答案知道天体的半径，则可由得到天体的密度.V434R3R3要点提炼1计算天体质量的方法分析围绕该

5、天体运动的行星(或卫星)，测出行星(或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有GMm4242r3引力提供向心力即可求中心天体的质量由2m2r，得 M2.rTGT2天体密度的计算方法M根据密度的公式，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度43R3GMm4(1)由天体表面的重力加速度g 和半径 R，求此天体的密度 由 mg2和 M R3，R3得 3g.4GR(2)若天体的某个行星(或卫星)的轨道半径为 r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则Mm42433r3由 G2mr2和 M R，得 23.rT3GT R注意R、r 的意义不同，一般地R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，若教育

6、资源教育资源3绕近地轨道运行，则有Rr，此时 2.GT三、天体运动的分析与计算1基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供2常用关系：v2Mm422(1)G2mamm rm2rrrTMm(2)忽略自转时，mgG2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：RgR2GM，该公式通常被称为“黄金代换式”3四个重要结论：设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为 r 的匀速圆周运动vMm(1)由 G2m得 vrrMm(2)由 G2m2r 得 r2GM，r 越大，v 越小rGM，r 越大，越小r3r3，r 越大，T 越大GMMm2(

7、3)由 G2m()2r 得 T2rTMmGM(4)由 G2ma向得 a向2，r 越大，a向越小rr一、天体质量和密度的计算例 1地球表面的平均重力加速度为 g，地球半径为 R，引力常量为 G，可估算地球的平均密度为()3g3gA.B.4RG4R2GggC.D.2RGRGMm解析忽略地球自转的影响，对处于地球表面的物体，有 mgG2，又地球质量 MVR43g R3，代入上式化简可得地球的平均密度.34RG答案A例 2假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星 若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常量为 G.(1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度

8、为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？教育资源教育资源Mm42解析(1)设卫星的质量为 m，天体的质量为 M，卫星贴近天体表面运动时有G2m2RT142R3R，MGT214根据数学知识可知天体的体积为V R33M42R33故该天体的密度为 2.V43GT1GT21 R3(2)卫星距天体表面距离为h 时，忽略自转有42Gm2(Rh)2T2RhMm42Rh3MGT22M4 Rh3Rh23VGT2R243GT2 R33Rh33答案(1)2(2)3GT1GT22R二、天体运动的分析与计算例 3质量为 m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动已知月球质

9、量为 M，月球半径为 R，月球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑月球自转的影响，则航天器的()A线速度 vGMB角速度 gRRRGmD向心加速度 a2gR233C运行周期 T2Mm解析探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有 G2maRv242GM2mm Rm2R，可得 a2，vRTRGM，RGM，T2R3R3，所以GMMmA 正确，D 错误；又由于不考虑月球自转的影响，则G2mg，即 GMgR2，所以 Rg，T2RR，所以 B 错误，C 正确g答案AC例 4据报道，天文学家近日发现了一颗距地球 40 光年的“超级地球”，名为“55教育资源教育资源Cancri e

10、”该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的1，母星480的体积约为太阳的 60 倍假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的()360A轨道半径之比约为480B轨道半径之比约为36048023360480260480C向心加速度之比约为D向心加速度之比约为3GMT2Mm22解析由公式 G2m()r，可得通式 r，设“55 Cancri e”的轨道半径为rT4223M1T1360r1Mmr1，地球轨道半径为r2，则 22，从而判断A 错，B 对；再由G2r2M2T2480r3M1T43Ma1M1r222ma 得

11、通式 aG2，则24604804，所以 C、D 皆错ra2M2r1M2T1答案B1(天体质量的计算)“嫦娥三号”探月卫星于2019 年 12 月 2 日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为 r1、周期为 T1，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为 T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以()A求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B求出月球的质量r3r312C得出22T1T2D求出地球的密度答案BGM地m月42解析研究月球绕地球的圆周运动根据万有引力提供向心力有m月2r1，解得r2T1142r31M地2，因为地球的半

12、径未知，不能得出地球的密度，故D 错误；同理，研究“嫦GT142r32娥三号”绕月球的圆周运动可得月球的质量M月2，但无法得出“嫦娥三号”的质GT2r3量，故 A 错误，B 正确；开普勒第三定律中2是一个常量是指不同天体绕同一中心天体T教育资源教育资源3r3r21运动时的规律，月球和“嫦娥三号”绕不同的中心天体运动，则22，故 C 错误T1T22(天体运动的分析与计算)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km 和 100 km，运行速度分别为v1和 v2，那么，v1和 v2的比值为(月球半径取 1 700 km)()19A.B.18答案CvMm解

13、析由 G2m，得 vrr故选项 C 正确3(天体运动的分析与计算)一行星绕恒星做圆周运动由天文观测可得，其运行周期为T，速度为 v，引力常量为 G，则()v3TA恒星的质量为2G42v3B行星的质量为GT2vTC行星运动的轨道半径为22vD行星运动的向心加速度为T答案ACDvvvTv2v2rv3TGMm解析r，C 对；由2m得 M，A 对；无法计算行星的质22rrG2GT2v量，B 错；a2rvv，D 对.T题组一天体质量和密度的计算1一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行 认为该行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量()A飞船的轨道半径B飞船的运行速度C飞船的运行周期D行星

14、的质量答案C22Mm42R3M解析飞船在行星表面附近飞行，则 G2mTR，M行星的密度为 2，RGTV219C.181818D.1919v1GM，则rv2r2r11 700 km100 km1 700 km200 km18，19教育资源教育资源42R3GT2M32，即只要知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度故选项C 正4343GTRR33确2 有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的()1A.倍B4 倍C16 倍D64 倍4答案DMmgR2解析由 G2mg 得 M，RGgR2GM3gV434GRR3所以 R3gRg

15、，则44GR地g地4R地264g地R2地gR24g地根据 M64M地，所以 D 项正确GGG3火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5 倍根据以上数据，下列说法中正确的是()A火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大答案ABMmM2解析由 G2mg 得 gG2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A 对；RR5Mm2由 G2m()2r 得 T2rT小(或由 vr3，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线速度GMGMM判断轨道半径大的线

16、速度小)，C 错；公转向心加速度aG2，轨道rr半径大的向心加速度小，D 错故选 A、B.4 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为()教育资源教育资源mv2mv4Nv2Nv4A.B.C.D.GNGNGmGm答案B解析设卫星的质量为 mMmv2由万有引力提供向心力，得G2mRRv2mmgR由已知条件：m 的重力为 N 得NmgmvN由得 g，代入得：RmNmv4代入得 M，故 A、C、D 三项均错误，B 项正确GN题组二天体运动的分析与

17、计算5 科学家们推测，太阳系除八大行星之外的另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”由以上信息可以确定()A这颗行星的公转周期与地球相等B这颗行星的半径等于地球的半径C这颗行星的密度等于地球的密度D这颗行星的质量答案A解析因为只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等vMm由 G2m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其质量及密度rr6把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星()A周期越小B线速度越小C角速度越小D加速度越小答案BCDMm解析行星绕太阳做匀速

18、圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由 G2rv2m得 vr教育资源GMMm，可知 r 越大，线速度越小，B 正确 由 G2m2r 得 rrGM，r322教育资源2Mm可知 r 越大，角速度越小，C 正确又由 T知，越小，周期 T 越大，A 错由 G2rGMma 得 a2，可知 r 越大，a 越小，D 正确r7 若地球绕太阳公转周期及其公转轨道半径分别为T 和 R，月球绕地球公转周期和公转M日半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比为()M地R3t2R3T2A.32B.3 2r Tr tR3t2R2T3C.23D.2 3r Tr t答案AGMm42r3解析无论地球绕太阳公转还

19、是月球绕地球公转，统一表示为2m2r，即 M2，rTTM日R3t2所以32，选项 A 正确M地r T8土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系，则下列判断正确的是()A若 v2R 则该层是土星的卫星群B若 vR 则该层是土星的一部分1C若 v 则该层是土星的一部分R1D若 v2 则该层是土星的卫星群R答案BD解析若外层的环为土星的一部分，则它们各部分转动的角速度 相等，由 vR 知v2GMm1vR，A 错误，B 正确；若是土星的卫星群，则由2m，得v2，故C 错误，DRRR正确题组三综合应用92019 年 4

20、 月 26 日 12 时 13 分我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星设“高分一号”轨道的离地高度为 h，地球半径为 R，地面重力加速度为 g，求“高分一号”在时间t 内，绕地球运转多少圈？教育资源教育资源t答案2GMm解析忽略地球自转，在地球表面有mg2R42在轨道上有m(Rh)2TRh2GMm所以 T2tt故 n T2Rh32GMgR2RhRh3gR2gR2Rh3310假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该

21、星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m 的砝码受到的重力为 F，引力常量 G 为已知量，试根据以上数据求得该行星的质量F3T4答案164Gm3解析当宇宙飞船在该行星表面空间做匀速圆周运动时，它的向心力由万有引力提供，设行星质量、飞船质量分别为M、m1，则Mm142G2m1R2RTMm质量为 m 的砝码的重力等于万有引力，即FG2RF3T4联立，解得 M43.16 Gm11我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面宇航员从距该星球表面高度为 h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为 L，已知该星球的半径为R，引力常量为 G.求：(1)该星球表面的重力加速度；(2)该星球的平均密度2hv23hv2答案(1)2(2)L2GRL2教育资源教育资源1解析(1)小球在星球表面做平抛运动，有Lvt，h gt222hv2解得 g2LGMm(2)在星球表面满足2mgR3hv243又 M R，解得.32GRL2教育资源