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1、数列知识点总结数列知识点总结数列是高考试题中的重头戏,每年的全国及各地的考题中必有涉及.从内容上看主要考查等差(比)数列的定义、通项、前n项和公式、等差(比)数列的中项及数列的性质,占分值约 17 分.因此学好数列这块知识显得尤为重要.为了让学生更好地掌握数列,现将等差(比)数列的有关知识归纳总结如下.1.等差数列的定义与性质定义:an1an d(d为常数),an a1n1d等差中项:x,A,y成等差数列 2A x y前n项和Sna1ann na2nn1d12性质:an是等差数列(1)若mn pq,则am an ap aq;(2)数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列,Sn,S2nSn,S
2、3nS2n仍为等差数列,公差为n2d;(3)若三个成等差数列,可设为ad,a,ad(4)若an,bn是等差数列,且前n项和分别为Sn,Tn,则amS2m1bmT2m1(5)an为等差数列 Sn an2bn(a,b为常数,是关于n的常数项为 0 的二次函数)Sn的最值可求二次函数Sn an2bn的最值;或者求出an中的正、负分界项,an 0即:当a1 0,d 0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.a 0n1an 0当a1 0,d 0,由可得Sn达到最小值时的n值.an1 0(6)项数为偶数2n的等差数列an,有S2n n(a1 a2n)n(a2 a2n1)n(an an1)(an,an1为中
3、间两项)San偶 S奇 nd,S奇S偶a.n1(7)项数为奇数2n1的等差数列an,有S2n1(2n 1)an(an为中间项),S奇 S偶 ann,S奇S偶n1.2.等比数列的定义与性质定义:an1 q(q为常数,q 0),an1an a1qn.等比中项:x、G、y成等比数列 G2 xy,或G xy.na1(q前n项和:S1)na11qn(要注意!)1q(q 1)性质:an是等比数列(1)若mn pq,则aman apaq(2)Sn,S2nSn,S3nS2n仍为等比数列,公比为qn.注意注意:由Sn求an时应注意什么?n 1时,a1 S1;n 2时,an SnSn1.3求数列通项公式的常用方法
4、(1)求差(商)法如:数列a111n,2a122a22nan 2n5,求an解解n 1时,12a1 215,a114n 2时,12a11122a22n1an1 2n1514(n 1)1n1得:nan 2,an 2,ann122(n 2)5练习数列an满足SnSn1an1,a1 4,求an3注意到an1 Sn1Sn,代入得Sn1 4又S1 4,Sn是等比数列,Sn 4nSn;4n1n 2时,an Sn Sn1 3(2)叠乘法an如:数列an中,a1 3,n1,求anann1aaaa1 2n113解解23n ,n又a1 3,ana1a2an12 3na1nn.(3)等差型递推公式由anan1 f(
5、n),a1 a0,求an,用迭加法a3a2 f(3)n 2时,两边相加得ana1 f(2)f(3)f(n)anan1 f(n)an a0 f(2)f(3)f(n)练习数列an中,a11,an3(4)等比型递推公式an can1d(c、d为常数,c 0,c 1,d 0)n1a2a1 f(2)an1n 2,求an(an1n3 12)可转化为等比数列,设an x can1 x ancan1c1x令(c1)x d,x d dd,c为公比的等比数列,an是首项为a1c1c1c1anddn1dn1da1ca a c,n1c1c1c1c1(5)倒数法如:a11,an12an,求anan2由已知得:a 211
6、1111n,an12an2anan1an2 1 11111 n1,为等差数列,1,公差为,1n1an22a12anan2n14.求数列前 n 项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.如:an是公差为d的等差数列,求1a ak1kk1n解:由n111 11 d 0akak1akakddakak1n 111 11 1 11 11 1 a adaadaaaaaak1kk1k1k1223n1kn11 11 da1an1练习求和:111112123123n1an,Sn 2n1(2)错位相减法若an为等差数列,bn为等比数列,求数列anbn(差比数列)前n项和,
7、可由SnqSn,求Sn,其中q为bn的公比.如:Sn1 2x3x2 4x3 nxn1x Sn x2x23x34x4n1xn1nxn1xSn1 x x2 xn1nxn1 xnxnnx 1时,Sn1 x21 x,x 1时,Sn123n nn12(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.Sn a1a2an1an相加2Sna1ana2an1a1anSn anan1a2a1x2练习已知f(x),则21 x 1 f(1)f(2)f f(3)21f f(4)32 1f4 1x2x21x 1由 f(x)f12222x1 x1 x1 x 11x原式 f(1)f(2)1ff(3)21f f(4)3111f1113242(注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。可复制、编制,期待你的好评与关注)