最新2019学年高一数学上学期期中试题（含解析）.doc

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1、- 1 -20192019 学年高一数学上学期期中试题（含解析）学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，共小题，共 4040 分）分）1已知集合，或，则（） 24Axx3Bx x5x AB AB或CD或 25xx4x x 5x 23xx2x x 5x 【答案】C【解析】集合，集合或， 24Axx3Bx x5x 集合 23ABxx故选C2函数的定义域是（）.21( )lg1xf xx+A或BCD1x x 1 2x1 2x x112xx 1x x 【答案】A【解析】要使函数有意义，则，即，解得或，2101x x+(21)(1)0xx+1x 1 2x 函数的定

2、义域是或( )f x1x x 1 2x故选A3下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（） ABCD1 2x y1yx3yx 3log ()yx【答案】C【解析】项，是非奇非偶函数，故错误；A1 2x yA项，是奇函数，在和是减函数，但在定义域内不是减函数，故错误；B1yx(,0)(0,)+B项，是奇函数，且在定义域内是减函数，故正确；C3yx C项，是非奇非偶函数，故错误D3log ()yxD故选C- 2 -4设集合,，则（） 0,1,2,3,4,5U 1,2A2540BxxxZ+()UAB ABCD0,1,2,351,2,40,4,5【答案】D【解析】集合，2540142,3Bxxxx

3、xZZ+,1,2,3AB ()0,4,5UAB 故选D5函数与的图象交点为，则所在区间是（） 2log1yx22xy00(,)xy0xABCD(0,1)(1,2)(2,3)(3,4)【答案】C【解析】设函数，2 2( )(log1)2xf xx则，0(2)1 1210f 222213(3)(log 3 1)log 3log 3log 2 2022f函数在区间内有零点，即函数与的图象交点为时，( )f x(2,3)2log1yx22xy00(,)xy所在区间是0x(2,3) 故选C6已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则R( )f x(8,)+(8)yf x+（） ABCD(6)(7

4、)ff(6)(9)ff(7)(9)ff(7)(10)ff【答案】D【解析】是偶函数，(8)yf x+，即关于直线对称，(8)(8)f xfx+( )yf x8x ，(6)(10)ff(7)(9)ff又在为减函数，( )f x(8,)+在上为增函数，( )f x(,8)，即(6)(7)ff(10)(7)ff故选D- 3 -7已知函数，若，则取值范围是（） 23 ,0( )ln(1),0xx xf xxx + +|( )|f xaxaABCD(,0(,1 3,0 3.1【答案】C【解析】当时，根据恒成立，则此时，0x ln(1)0x+0a当时，根据的取值为，0x23xx+(,02|( )|3f x

5、xxax当时，不等式恒成立，0x 当时，有，即0x 3ax3a综上可得，的取值范围是a 3,0故选C8若定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得R( )f x() R对任意的实数都成立，则称是一个“特征函数”则下列结论中()( )0f xf x+x( )f x:正确的个数为（） 是常数函数中唯一的“特征函数” ；( )0f x :不是“特征函数” ；( )21f xx+:“特征函数”至少有一个零点；1 3:是一个“特征函数” ；( )exf x :ABCD1234【答案】C【解析】对于设是一个“特征函数” ，则，当时，可以取实( )f xC:(1)0C+1 数集，因此不是唯一一个常数

6、“特征函数” ，故错误；( )0f x :对于，即，( )21f xx+()( )2() 1(21)0f xf xxx+ +1(1)2x +当时，；时，有唯一解，1 ()( )20f xf x +1 ()( )0f xf x+不存在常数使得对任意实数都成立，() R()( )0f xf x+x不是“特征函数” ，故正确；( )21f xx+:对于，令得，所以，0x 11(0)033ff+11(0)33ff 若，显然有实数根；若，(0)0f( )0f x ( )0f x 211(0) (0)033fff - 4 -又的函数图象是连续不断的，在上必有实数根，( )f x( )f x10,3因此任意

7、的“特征函数”必有根，即任意“特征函数”至少有一个零点，故正确；:1 3:对于，假设是一个“特征函数” ，则对任意实数成立，则有( )exf x :ee0xx+x，而此式有解，所以是“特征函数” ，故正确e0x+( )exf x :综上所述，结论正确的是，共 个3故选C二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，共小题，共 3030 分）分）9已知集合，且，则实数的取值范围_1Ax xBx xaAB Ra【答案】(,1【解析】1a用数轴表示集合，若，则，即实数的取值范围是ABAB R1aa(,110已知函数，分别由下表给出：( )f x( )g xx123( )f x211x123( )g x

8、321则当时，_ ( )2f g xx 【答案】3【解析】由表格可知：(1)2f， ( )2f g x( )1g x 由表格知，故(3)1g3x 11函数（且）恒过点_( )log (1) 1af xx+0a 1a - 5 -【答案】(2,1)【解析】由得，故函数恒过定点1 1x 2x ( )log (1) 1af xx+(2,1)12已知幂函数的图象过点，则_( )yf x(2,2 2)(9)f【答案】3 3【解析】设幂函数为，由于图象过点，得，( )af xx(2,2 2)22 2a3 2a 3 2(9)9273 3f13已知函数在上恒小于零，则实数的取值范围为2( )223f xaxx+

9、 1,1x a_【答案】1,2【解析】由题意，在上恒成立22230axx+ 1,1x 当时，不等式为恒成立0x 30 当时，0x 23 111 236ax，当时，取得最小值，1(, 11,)x +1x 23 111 236x1 21 2a 综上所述，实数的取值范围是a1,214设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：1,2,. nPn*nN( )f nA；若，则；若，则nAPxA2xA nPxA2 nPxA则（ ）_；1(4)f（）的解析式（用表示）_2( )f nn( )f n 【答案】 （ ）；（）【注意有文字】14221 22 ,( )2,nnnf nn 为偶数为奇数+【解析】 （ ）

10、当时，符合条件的集合为：14n 41,2,3,4P A，21,42,31,3,4- 6 -故(4)4f（）任取偶数，将除以，若商仍为偶数，再除以，经过次后，商必为奇数，2nxPx22k此时记商为，于是，其中，为奇数，m2kxmm*kN由条件可知，若，则，为偶数，若，则为奇数，于是是mAxAkmAxAkx否属于，由是否属于确立，设是中所有的奇数的集合，因此等于的子集AmAnQnP( )f nnQ个数，当为偶数时（或奇数时） ，中奇数的个数是（或） nnP1 2n1 2n+【注意有文字】 21 22 ,( )2,nnnf nn 为偶数为奇数+三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题；共小题；共

11、8080 分）分）15若集合，24Axx 0Bx xm（ ）若，全集，试求13m UAB()UAB （）若，求实数的取值范围2ABAm【答案】【解析】 （ ）当时，由，得，13m 0xm3x ，3Bx x，4ABx x则， 34UBxx() 34UABxx（），224Axx 0Bx xmx xm由得，ABAAB，即实数的取值范围是4mm4,)+16已知设函数( )log (1 2 )log (12 )(0,1)aaf xxx aa+（ ）求的定义域1( )f x（）判断的奇偶性并予以证明2( )f x（ ）求使的的取值范围3( )0f x x【答案】【解析】 （ ）要使函数（且）有意义，1(

12、)log (1 2 )log (12 )aaf xxx+0a 1a - 7 -则，解得1 20 120x x +11 22x故函数的定义域为( )f x11 22xx（）由（ ）可知的定义域为，关于原点对称，21( )f x11 22xx又，()log (12 )log (1 2 )( )aafxxxf x +为奇函数( )f x（ ），即，3( )0f x log (1 2 )log (12 )0log (1 2 )log (12 )aaaaxxxx+当时，原不等式等价为，解得1a 1 212xx +0x 当，原不等式等价为，记得01a1 212xx +0x 又的定义域为，( )f x1 1

13、,2 2当时，使的的取值范围是1a ( )0f x x10,2当时，使的的取值范围是01a( )0f x x1,0217定义在上的奇函数，已知当时， 4,4( )f x 4,0x 1( )()43xxaf xaR+（ ）求在上的解析式1( )f x0,4（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围2 2, 1x 11( )23xxmf xm【答案】【解析】 （ ）是定义在上的奇函数，1( )f x 4,4，得(0)10fa+1a 又当时， 4,0x 111( )4343xxxxaf x +当时，0,4x 4,0x 11()4343xx xxfx又是奇函数，( )f x( )()34xxf xfx

14、综上，当时，0,4x( )34xxf x （），恒成立，即在恒成立，2 2, 1x 11( )23xxmf x1111 4323xxxxm 2, 1x - 8 -在时恒成立12 432xxxm+ 2, 1x ，20x12223xx m+在上单调递减，12( )223xx g x+R时，的最大值为， 2, 1x 12( )223xx g x+221217( 2)2232g+17 2m即实数的取值范围是m17,2+18某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散设表示学生

15、注意力指标( )f t该小组发现随时间 （分钟）的变化规律（越大，表明学生的注意力越集中）如下：( )f tt( )f t（且） 1010060(010) ( )340(1020) 15640(2040)t at f tt tt +0a 1a 若上课后第分钟时的注意力指标为，回答下列问题：5140（ ）求的值1a（）上课后第分钟和下课前分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由255（ ）在一节课中，学生的注意力指标至少达到的时间能保持多长？3140【答案】【解析】 （ ）由题意得，当时，即，15t ( )140f t 10 510060140a解得4a （），2(5)140f(35)15

16、35640115f +，(5)(35)ff故上课后第分钟时比下课前分钟时注意力更集中55（ ）当时，由（ ）知，解得；3010t 14 10( )100 460140f t 510t当时，恒成立；1020t ( )340140f t - 9 -当时，解得20140t ( )15640140f tt +100203t 综上所述，10053t故学生的注意力指标至少达到的时间能保持分钟1401008553319设，函数aR2( ) |f xxax+（ ）若在上单调递增，求的取值范围1( )f x0,1a（）即为在上的最大值，求的最小值2( )M a( )f x0,1( )M a【答案】【解析】 （

17、）考虑函数的图象，可知1( )f x当时，在上，显然在上单调递增；0a0,12( )f xxax+( )f x0,1当时，在上，0a 0,)+，22(),0,( ),)xax xaf xxax xa +在上单调递增的充要条件是，( )f x0,112a2a综上所述，若在上单调递增，则或( )f x0,12a0a（）若时，对称轴为，站在上递增，20a2( )f xxax+2ax ( )f x0,1；( )1M aa +若，则在递增，在递减，在递增；0a ( )f x0,2a,2aa(,)a+若，即时，在上递增，此时；12a2a( )f x0,1( )1M aa 若，即时，的最大值为；12122a

18、a+222 2a ( )f x2 ( )4aM a 若，即，的最大值，1212a +22 2a ( )f x( )1M aa +即有，21,22 2( )1,2, 222 24a aM aaaaa +当时，；22 2a ( )32 2M a - 10 -当时，；2a( )1M a 当，222 2a 21( )(22 2)32 24M a综上可得的最小值为( )M a32 220已知：集合，其中12( ,),0,1,1,2, niniX Xx xxxxin 3n，称为的第 个坐标分量若，且满足如下两条性质：12( ,)innXx xxxixXinS 中元素个数不少于个S4，存在，使得，的第个坐标

19、分量都是 则称XYZS1,2, mnXYZm1为的一个好子集Sn（ ）若为的一个好子集，且，写出，1, , ,SX Y Z W3(1,1,0)X (1,0,1)Y ZW（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过2SnS12n（ ）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个3SnS12n，使得中所有元素的第个坐标分量都是 1,2, knSk1 【答案】【解析】 （ ），1(1,0,0)Z (1,1,1)W （）对于，考虑元素；2nx 121,1,1,1)inXxxxx显然，对于任意的，不可能都为 ，nXXYX1,2, inixiy1ix1可得，不可能都是好子集中XXS又因为取定，

20、则一定存在且唯一，而且，XXXX由的定义知道，,xXY XYXY这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的Snn个数为，所以中元素个数不超过2nS12n（ ），定义元素，的乘积为312 ,inXx xxx12 ,innYy yyyXY，显然1122,iinnXYx y x yx yx ynXY 我们证明“对任意的，都有 ”12 ,inXx xxxS 12 ,inYy yyySXYS假设存在，使得，则由（）知，XYSXYS21122()(1,1,1,1)iinnXYx yx yx yx yS此时，对于任意的，不可能同时为 ，矛盾，所以1,2,knkxky1kkx y1XYS- 11 -因为中只有个元素，我们记为中所有元素的成绩，根据上面的结论，S12n12 ,nZz zzS我们知道，12( ,)nZz zzS显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，01kZ 根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为 ZXSk1下面再证明的唯一性：k若还有，即中所有元素的 坐标分量都为 1tZ St1所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾S22n所以结论成立