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1、1( (四四) )函数与导数函数与导数(2)(2)1(2018成都模拟)已知f(x)ln xax1(aR R)(1)讨论函数的单调性;(2)证明:当a2,且x1 时,f(x)ex12 恒成立(1)解 f(x)ln xax1,aR R,f(x) a,1 xax1 x当a0 时,f(x)的增区间为(0,),无减区间,当a0 时,增区间为,减区间为.(0,1 a)(1 a,)(2)证明 当x1,)时,由(1)可知当a2 时,f(x)在1,)上单调递减,f(x)f(1)1,再令G(x)ex12,在x1,)上,G(x)ex10,G(x)单调递增,所以G(x)G(1)1,所以G(x)f(x)恒成立,当x1
2、 时取等号,所以原不等式恒成立2(2018合肥模拟)已知函数f(x)xln x,g(x)(x21)(为常数)(1)若函数yf(x)与函数yg(x)在x1 处有相同的切线,求实数的值;(2)当x1 时,f(x)g(x),求实数的取值范围解 (1)由题意得f(x)ln x1,g(x)2x,又f(1)g(1)0,且函数yf(x)与yg(x)在x1 处有相同的切线,f(1)g(1),则 21,即 .1 2(2)设h(x)xln x(x21),则h(x)0 对x1,)恒成立h(x)1ln x2x,且h(1)0,h(1)0,即 120, .1 22另一方面,当 时,记(x)h(x),1 2则(x) 2.1
3、 x12x x当x1,)时,(x)0,(x)在1,)内为减函数,当x1,)时,(x)(1)120,即h(x)0,h(x)在1,)内为减函数,当x1,)时,h(x)h(1)0 恒成立,符合题意当0,则 1(1)120,(1,1 2)即h(x)0,h(x)在内为增函数,(1,1 2)当x时,h(x)h(1)0,不符合题意,(1,1 2)综上所述,的取值范围是.1 2,)3(2018山东省名校联盟模拟)已知f(x)xexa(x1)2 .1 e(1)若函数f(x)在x1 处取得极值,求a的值;(2)当x2 时,f(x)0,求a的取值范围解 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a),3
4、若函数f(x)在x1 处取得极值,则f(1)0,所以a ,e 2经检验,当a 时,函数f(x)在x1 处取得极值e 2(2)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a),a0 时,当21 时,f(x)0,f(x)为增函数;又f(1)0,当x2 时,f(x)0 成立a1,即aln(2a)时,f(x)0;当11 时,f(x)0,f(x)在(2,)上单调递增,又f(1)0,当x(2,1)时,f(x)1 时,f(x)0,当 ln(2a)1 时,f(x)0,当20 时,xexeln xx3x2.1 2(1)解 由题意可知,g(x) f(x)xaaex,则g(x)1aex,当a0 时,g(x)0,
5、g(x)在(,)上单调递增;当a0 时,当x0,当xln a时,g(x)0 时,g(x)的单调递增区间为(,ln a),单调递减区间为(ln a,)(2)解 由(1)可知,a0,且g(x)在xln a处取得最大值,g(ln a)ln aaae1lnaaln a1,即aln a10,观察可得当a1 时,方程成立,令h(a)aln a1(a0),h(a)1 ,1 aa1 a5当a(0,1)时,h(a)0,h(a)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,h(a)h(1)0,当且仅当a1 时,aln a10,f(x)x2xex,1 2由题意可知f(x)g(x)0,f(x)在0,)上单调递减,f(
6、x)在x0 处取得最大值f(0)1.(3)证明 由(2)知,若a1,当x0 时,f(x)0;当xe 时,F(x)0 时,xexeln xx3x2.1 25(2018四省名校大联考)已知函数f(x)a(x1)2ex(aR R)(1)当a 时,判断函数f(x)的单调性;1 2(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x10,得x0,g(x)即f(x)在区间(,0)上单调递增,在区间(0,)上单调递减f(x)maxf(0)0.对xR R,f(x)0,f(x)在 R R 上单调递减(2)解 f(x)有两个极值点,关于x的方程f(x)2a(x1)ex0 有两个根x1,x2,设(x)2a(x1)ex,则(x)2aex,当a0 时,(x)2aex0 时,由(x)0,得xln 2a,(x)即f(x)在区间(,ln 2a)上单调递增,在区间(ln 2a,)上单调递减且当x时,f(x),当x时,f(x),要使f(x)0 有两个不同的根,必有f(x)maxf(ln 2a)2a(ln 2a1)2a2aln 2a0,解得a ,1 2实数a的取值范围是.(1 2,)证明 f(1) 0,1 e1 ,f(1) ,1 21 e f(x1) .121e