2019高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第1讲 直线与圆学案.doc

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1、1第第 1 1 讲讲 直线与圆直线与圆考情考向分析 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现热点一 直线的方程及应用1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：

2、AxByC10，l2：AxByC20 间的距离d(A2B20)|C1C2|A2B2(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0 的距离公式d(A2B20)|Ax0By0C|A2B2例 1 (1)已知直线l1：xsin y10，直线l2：x3ycos 10，若l1l2，则 sin 2等于( )A. B C D.2 33 53 53 5答案 D解析 因为l1l2，所以 sin 3cos 0，所以 tan 3，所以 sin 22sin cos 2sin cos sin2cos2 .2tan 1tan23 5(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20 与直线l2：xky20 相交于点P，则当

3、实数k变化时，点P到直线xy40 的距离的最大值为_2答案 32解析 由题意得，当k0 时，直线l1：kxy20 的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：xky20 的斜率为 ，且经过点B(2,0)，且直线l1l2，所以点P落在以AB为直1 k径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r，2由圆心到直线xy40 的距离为d2，|114|22所以点P到直线xy40 的最大距离为dr23.222当k0 时，l1l2，此时点P(2,2)点P到直线xy40 的距离d2.|224|22综上，点P到直线xy40 的距离的最大值为 3.2思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在

4、的情况(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究跟踪演练 1 (1)直线ax(a1)y10 与直线 4xay20 互相平行，则实数a_.答案 2解析 当a0 时， ，a 4a1 a1 2解得a2.当a0 时，两直线显然不平行故a2.(2)圆x2y22x4y30 的圆心到直线xay10 的距离为 2，则a等于( )A1 B0C1 D2答案 B解析 因为(x1)222，(y2)所以2，所以a0.|12a1|1a2热点二 圆的方程及应用1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y

5、2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，为半径(D 2，E 2)D2E24F23的圆例 2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x2y24x6y40 相外切，则C的方程为( )Ax2y24x20Bx2y24x20Cx2y24x0Dx2y24x0答案 D解析 圆x2y24x6y40，即(x2)2(y3)29，圆心为(2,3)，半径为 3.设圆C的半径为r.由两圆外切知，圆心距为53r，222032所以r2.故圆C的方程为(x2)2y24，展开得x2y24x0.(2)已知圆M与直线 3x4y0 及 3x4y100 都相切，圆心在直线yx4 上，则圆M的方程为( )A.2(y1)21(x3)B

6、.221(x3)(y1)C.221(x3)(y1)D.2(y1)21(x3)答案 C解析 到两直线 3x4y0 及 3x4y100 的距离都相等的直线方程为 3x4y50，联立方程组Error!解得Error!两平行线之间的距离为 2，所以半径为 1，从而圆M的方程为221.故选 C.(x3)(y1)思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数跟踪演练 2 (1)(2016浙江)已知aR R，方程a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是

7、_，半径是_答案 (2，4) 5解析 由已知方程表示圆，则a2a2，解得a2 或a1.4当a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当a1 时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以(2，4)为圆心，5 为半径的圆(2)(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_答案 x2y22x0解析 方法一 设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，Error!解得Error!圆的方程为x2y22x0.方法二 画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径

8、为 1，所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr直线与圆相离(2)判别式法：设圆C：(xa)2(yb)2r2，直线l：AxByC0(A2B20)，方程组Error!消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为，则直线与圆相离0.2圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离设圆C1：(xa1)2(yb1)2r，圆C2：(xa2)2(yb2)2r，两圆心之间的距离为2 12 2d，则圆与圆的五种位置关系

9、的判断方法如下：(1)dr1r2两圆外离(2)dr1r2两圆外切(3)|r1r2|11，22222故两圆外离(2)(2018湖州、衢州、丽水三地市模拟)若cR R，则“c4”是“直线 3x4yc0 与圆x2y22x2y10 相切”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 将圆的方程化为标准方程，得(x1)2(y1)21，若直线与圆相切，则有1，解得c4 或c6，所以“c4”是“直线 3x4yc0|1 31 4c|3242与圆x2y22x2y10 相切”的充分不必要条件，故选 A.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利

10、用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题跟踪演练 3 (1)已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20 交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为_答案 6解析 圆C化为(xa)2(y1)2a21，且圆心C(a,1)，半径R(a21)a21直线yax与圆C相交，且ABC为等边三角形，圆心C到直线axy0 的距离为Rsin 60，32a21即d.|a21|a213a212解得a27.

11、6圆C的面积为 R2(71)6.(2)如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是( )2A(3，1)(1,3)B(3,3)C1,1D3，11,3答案 D解析 圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r2，圆上的点到原点的距离为d.因为22圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为的点，则圆(xa)2(ya)28 与圆2x2y22 有公共点，r，所以rr|a|rr，即 1|a|3，解得221a3 或3a1，所以实数a的取值范围是3，11,3.真题体验1(2016山东改编)已知圆M：x2y22ay0(a0)截直线xy0 所得线段的长度是 2，则圆M与圆N：

12、(x1)2(y1)21 的位置关系是_2答案 相交解析 圆M：x2(ya)2a2，圆心坐标为M(0，a)，半径r1a，圆心M到直线xy0 的距离d，|a|2由几何知识得2()2a2，解得a2.(|a|2)2M(0,2)，r12.又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r21，|MN|.1021222又r1r23，r1r21，r1r20，所以t1，所以mn32.mn22故mn有最小值 32，无最大值故选 B.23若圆x2y24 与圆x2y2ax2ay90(a0)相交，公共弦的长为 2，则2a_.押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路答案 102解析 联立两圆方程Err

13、or!可得公共弦所在直线方程为ax2ay50，故圆心(0,0)到直线ax2ay50 的距离为(a0)|5|a24a25a故 22，解得a2 ，22(5a)225 2因为a0，所以a.102A A 组组 专题通关专题通关1若0，直线过(0，sin )，(cos ，0)两点，因而直线不过第二象限2设直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意两点，点M为P，Q的中点，若|AM| |PQ|，则m的值为( )1 2A2 B2C3 D3答案 A解析 根据题意画出图形，如图所示直线l1：x2y10 与直线l2：mxy30 的交点为A，M 为PQ 的中点，若|AM|

14、 |PQ|，1 2则PAQA，即l1l2，1m(2)10，解得m2.3(2018浙江省温州六校协作体联考)直线xay20 与圆x2y21 相切，则a的值为( )A. B333C D333答案 D解析 因为直线xay20 与圆x2y21 相切，所以圆心(0,0)到直线xay20 的距离等于圆的半径，即1，解得a，故选 D.212a234与直线xy40 和圆x2y22x2y0 都相切的半径最小的圆的方程是( )A(x1)222(y1)B(x1)224(y1)10C(x1)222(y1)D(x1)224(y1)答案 C解析 圆x2y22x2y0 的圆心为(1,1)，半径为，过圆心(1,1)与直线2x

15、y40 垂直的直线方程为xy0，所求的圆心在此直线上，又圆心(1,1)到直线xy40 的距离为3，则所求圆的半径为，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线6222xy40 的左上方，则，且ab0，解得a1，b1(a3，b3|ab4|22不符合半径最小，舍去)，故所求圆的方程为(x1)222.(y1)5已知点P是直线l：xyb0 上的动点，由点P向圆O：x2y21 引切线，切点分别为M，N，且MPN90，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( )A2 B2 C. D22答案 B解析 由题意得PMOPNOMON90，|MO|ON|1，四边形PMON是正方形，|PO|，2满足以上条件的点P有且只

16、有一个，OP垂直于直线xyb0，b2.2|b|116(2018浙江省温州六校协作体联考)过点P(3,0)作直线 2ax(ab)y2b0(a，b不同时为零)的垂线，垂足为M，已知点N(2,3)，则当a，b变化时，|MN|的取值范围是( )A5，5 B5，5555C5,5 D0,555答案 A解析 直线 2ax(ab)y2b0 过定点D(1，2)，因为PMMD，所以点M在以PD为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(1，1)，半径为，又因为点N与圆心的距离为55，所以|MN|的取值范围为5，5，故选 A.122132557已知圆C1：x2y2kx2y0 与圆C2：x2y2ky40 的公共弦所在直线恒过

17、定点P(a，b)，且点P在直线mxny20 上，则mn的取值范围是( )A. B.(0，1 4)(0，1 4C. D.(，1 4)(，1 411答案 D解析 由x2y2kx2y0 与x2y2ky40，相减得公共弦所在直线方程为kxy40，(k2)即k(xy)0，(2y4)所以由Error!得x2，y2，即P，因此 2m2n20，(2，2)所以mn1，mn2 (当且仅当mn时取最大值)(mn 2)1 48直线xysin 30(R R)的倾斜角的取值范围是_答案 4，34解析 若 sin 0，则直线的倾斜角为； 2若 sin 0，则直线的斜率k，1 sin (，1 1，)设直线的倾斜角为，则 ta

18、n ，(，1 1，)故 ， 4，2)( 2，34综上可得直线的倾斜角的取值范围是. 4，349若过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10 相切，则实数m的取值范围是_答案 (1,1)解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x2y22x2ym10 相切，则点(2,0)在圆外，即 2222m10，解得m1；由方程x2y22x2ym10 表示圆，则(2)2224(m1)0，解得m0，解得a6，故选 D.|34a|51415为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，

19、且与C村相距 km 的地方已知B村在A村的正东方向，相距 3 km，C村在B村31的正北方向，相距 3 km，则垃圾处理站M与B村相距_ km.3答案 2 或 7解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)3由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5 为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆3心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2y225 和(x3)2(y3)231.313由Error!解得Error!或Error!垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，(5 2，5 32)|MB|2 或|MB|7，(5 23)2(5 32)

20、2即垃圾处理站M与B村相距 2 km 或 7 km.16点P(x，y)是直线 2xy40 上的动点，PA，PB是圆C：x2(y1)21 的两条切线，A，B是切点，则PAB面积的最小值为_答案 8 5解析 由圆的方程C：x2(y1)21，可得圆心C(0,1)，半径r1，则圆心到直线 2xy40 的距离为d，522125设|PC|m，则m，515则SPAB |PA|2sin 2APC1 2|PA|2sinAPCcosAPC|PA|2，1 |PC|PA| |PC|(m21)3m2令S，m，m213m25所以Sm21(3m22m22)m30，m21(m22)m3所以函数S在上单调递增，5，)所以SminS .(5)8 5即(SPAB)min .85