备战2023年高考数学二轮专题复习专题六　解析几何第1讲　直线与圆.docx

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1、第1讲直线与圆1.点到直线的距离(2020全国卷,T5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(B)A.55B.255C.355D.455解析:因为圆与两坐标轴都相切,且点(2,1)在该圆上,所以可设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为|21-1-3|22+(-1)2=255或|25-5-3|22+(-1)2=255.故选B.2.直线与圆相交(2021北京卷,T9)已知圆C:x2+y2=4,直线

2、l:y=kx+m,当k变化时,l截得圆C弦长的最小值为2,则m等于(C)A.2B.2C.3D.5解析:由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=|m|k2+1,则弦长为24-m2k2+1,当k=0时,弦长取得最小值为24-m2=2,解得m=3.故选C.3.直线与圆相切(2022新高考卷,T14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程.解析:法一如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两

3、圆外切,公切线有三种情况:易知公切线l1的方程为x=-1.另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称,易知过两圆圆心的直线l的方程为y=43x,由x=-1,y=43x得x=-1,y=-43,由对称性可知公切线l2过点(-1,-43),设公切线l2的方程为y+43=k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=|k-43|k2+1,解得k=724,所以公切线l2的方程为y+43=724(x+1),即7x-24y-25=0.还有一条公切线l3与直线l:y=43x垂直,设公切线l3的方程为y=-34x+t,易知t0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=|t|(-34) 2

4、+(-1)2,解得t=54或t=-54(舍去),所以公切线l3的方程为y=-34x+54,即3x+4y-5=0.综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.法二根据题意,精确作出两圆(需用到尺规),由图形可直观快速看出直线x=-1是两圆的一条公切线,经验证符合题意,故可填x=-1.答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一条作答即可)4.直线与圆的位置关系(2022新高考卷,T15)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是.解析:法一由题意知点A(-2,3)

5、关于直线y=a的对称点为A(-2,2a-3),所以kAB=3-a2,所以直线AB的方程为y=3-a2x+a,即(3-a)x-2y+2a=0.由题意知,直线AB与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,所以|-3(3-a)+(-2)(-2)+2a|(3-a)2+(-2)21,整理得6a2-11a+30,解得13a32,所以实数a的取值范围是13,32.法二易知(x+3)2+(y+2)2=1关于y轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,由题意知该对称圆与直线AB有公共点.直线AB的方程为y=a-32x+a,即(a-3)x-2y+2a=0,又对称圆的圆

6、心为(3,-2),半径为1,所以|3(a-3)+(-2)(-2)+2a|(a-3)2+(-2)21,整理得6a2-11a+30,解得13a32,所以实数a的取值范围是13,32.答案:13,32直线方程与圆的方程是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:(1)直线方程:主要考查利用两直线平行、垂直求参数,高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查,难度中等,有时不直接考查,作为研究解析几何的基本工具隐性考查.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.(2)圆的方程:主要考查圆的方程的求解,研究直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系,求弦长或切线;也常与圆锥曲线结

7、合命题,难度中等偏上.主要考查考生的逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.热点一直线的方程及应用1.已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),直线l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1l2A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C10;l1l2A1A2+B1B2=0.2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为零)的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2.3.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(A,B不同时为零)间的距离d=|C1-C2|A2+B2.典例1(1)(多选题)已知直线l1:(

8、a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则()A.l1恒过点(2,-2)B.若l1l2,则a2=12C.若l1l2,则a2=1D.当0a1时,l2不经过第三象限(2)(2022内蒙古赤峰模拟)已知直线l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差数列,则直线l恒过定点,若P(-1,0),N(2,1),过点P作直线l的垂线,垂足为M,则|MN|的最大值为.解析:(1)l1:(a+1)x+ay+2=0a(x+y)+x+2=0,令x+y=0,x+2=0,解得x=-2,y=2,即直线l1恒过点(-2,2),故A不正确;若l1l2,则有(a+1)(1-a)=a2,解得a2=12,故B正

9、确;若l1l2,则有a(a+1)+a(1-a)=0,解得a=0,故C不正确;若直线l2不经过第三象限,则当1-a0时,11-a0,-a1-a0,解得0a0,表示以(-D2,-E2)为圆心,D2+E2-4F2为半径的圆.典例2(1)(2022云南西双版纳模拟)已知圆O1:(x+3)2+y2=1,圆O2:(x-1)2+y2=1,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PA,PB(A,B为切点),使得|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为()A.x29+y25=1B.(x-5)2+y2=33C.x23-y2=1D.x2=4y(2)圆心在圆x2+y2=2上,与直线x+y-4=0相切,且面积最大的圆的方程

10、为()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x+1)2+(y+1)2=18D.(x-1)2+(y-1)2=18解析:(1)由|PA|=2|PB|得|PA|2=2|PB|2,因为两圆的半径均为1,则|PO1|2-1=2(|PO2|2-1),设P(x,y),则(x+3)2+y2-1=2(x-1)2+y2-1,即(x-5)2+y2=33,所以点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=33.故选B.(2)如图,过圆x2+y2=2的圆心(原点)作直线x+y-4=0的垂线y=x,垂线与圆x2+y2=2的交点为A,B.易知当圆心在点B时,所求圆的半径最大,圆的面积也最大.联立y

11、=x和x2+y2=2,求得B(-1,-1),所以圆的半径最大时,圆心为B(-1,-1),又由点到直线的距离公式求得点B到直线x+y-4=0的距离为|-1-1-4|12+12=32,即所求圆的半径r=32,所以所求面积最大的圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=18.故选C.(1)直接法求圆的方程:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进

12、而求出D,E,F的值.热点训练2 (1)(2022山东菏泽一模)已知两条直线l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y-1)2-x2=65B.x2-(y-1)2=65C.y2-(x+1)2=65D.(x+1)2-y2=65(2)数学家欧拉1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线,已知ABC的顶点A(-2,0),B(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则ABC的外接圆方

13、程为.解析:(1)设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则点P到l1的距离d1=|2x-3y+2|13,点P到l2的距离d2=|3x-2y+3|13,因为l1,l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24,所以2r2-d12=26,2r2-d22=24,化简后得r2-d12=169,r2-d22=144,相减得d22-d12=25,将d1=|2x-3y+2|13,d2=|3x-2y+3|13代入后化简可得(x+1)2-y2=65.故选D.(2)直线AB的斜率为kAB=4-02+2=1,线段AB的中点为M(0,2),所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-1kAB=-1,则线段AB的垂直平分线

14、方程为y=-x+2,即x+y-2=0,联立x+y-2=0,x-y=0,解得x=1,y=1,即ABC的外心为D(1,1),所以ABC的外接圆的半径为r=|AD|=(-2-1)2+(0-1)2=10,因此,ABC的外接圆方程为(x-1)2+(y-1)2=10.答案:(1)D(2)(x-1)2+(y-1)2=10热点三直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切和相离.判断方法:点线距离法.判别式法:设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B20),联立方程组Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2,消去y,得到关于x的一元二次方程,

15、其根的判别式为,则直线与圆相离0.(2)与圆的切线有关的结论.过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A,B两点的直线方程为x0x+y0y=r2.过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长为|PT|=x02+y02+Dx0+Ey0+F.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点P(x0,y0)作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB所在直线的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)圆与圆的位置关系,即内含、内切、相交、外切、外离.考向1直线与圆的位

16、置关系典例3(1)(多选题)(2022湖北二模调研卷)设动直线l:mx-y-2m+3=0(mR)交圆C:(x-4)2+(y-5)2=12于A,B两点(点C为圆心),则下列说法正确的有()A.直线l过定点(2,3)B.当|AB|取得最小值时,m=1C.当ACB最小时,其余弦值为14D.ABAC的最大值为24(2)(多选题)(2022湖北模拟)已知直线l:kx-y-k+1=0,圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=16,则下列选项正确的是()A.直线l与圆一定相交B.当k=0时,直线l与圆C交于两点M,N,点E是圆C上的动点,则MNE面积的最大值为37C.当直线l与圆有两个交点M,N时,|MN|

17、的最小值为26D.若圆C与坐标轴分别交于A,B,C,D四个点,则四边形ABCD的面积为48解析:(1)对于A,由l:mx-y-2m+3=0(mR),整理得m(x-2)-y+3=0,当x-2=0,-y+3=0,即x=2,y=3时,不论m为何值,m(x-2)-y+3=0(mR)都成立,所以直线l过定点(2,3),故A正确;对于B,因为直线l过定点(2,3),将定点代入圆C:(2-4)2+(3-5)2=812,所以定点(2,3)在圆C的内部,当直线l过圆心(4,5)时,|AB|取得最大值,此时解得m=1,故B错误;对于C,设直线l过定点M(2,3),当CMAB时,ACB最小,而|CM|=(4-2)2

18、+(5-3)2=22,所以|AB|=212-8=4,所以在ABC中,由余弦定理计算可得cos ACB=13,故C错误;对于D,ABAC=|AB|AC|cosBAC,而|AB|cosBAC表示AB在AC方向上的投影,所以当AC,AB共线即A,C,B,M四点共线,且方向相同时,ABAC取得最大值,此时ABAC=|AB|AC|=2343=24,所以ABAC的最大值为24,故D正确.故选AD.(2)直线l:kx-y-k+1=0过定点P(1,1),则(1-2)2+(1+2)2=100)相切于点T,点P(x0,y0)是直线l上异于点T的一点,则切线长|PT|=(x0-a)2+(y0-b)2-r2.(2)直

19、线与圆相交问题的求法.弦长的求解方法.a.直线l与圆C相交于M,N两点,设d表示圆心C到l的距离,r表示半径,则弦长|MN|=2r2-d2;b.根据公式l=1+k2|x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率),一般不用;c.求出交点坐标,用两点间距离公式求解,一般不用.求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两个圆的方程相减即可,而在求两圆的公共弦长时,则应注意数形结合思想的灵活运用.热点训练3 (1)(多选题)(2022福建泉州模拟)已知点M在直线l:y-4=k(x-3)上,点N在圆O:x2+y2=9上,则下列说法正确的是()A.点N到直线l的最大

20、距离为8B.若直线l被圆O所截得的弦长最大,则k=43C.若直线l为圆O的切线,则k的取值范围为(0,724)D.若点M也在圆O上,则O到直线l的距离的最大值为3(2)(多选题)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,bR)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=3,则下列结论正确的是()A.MAMB是定值B.四边形OAMB的面积是定值C.a+b的最小值为-2D.ab的最大值为2解析:(1)直线l:y-4=k(x-3)恒过定点D(3,4),当ODl时,圆心O到直线l的距离最大,最大距离为(3-0)2+(4-0)2=5,故N到直线l的最大距离为5+3=8,故A正确;直线l被圆O

21、所截得的弦长最大时,l过圆O的圆心O,所以0-4=k(0-3),解得k=43,故B正确;若直线l为圆O的切线,则|-3k+4|k2+1=3,解得k=724,故C错误;若点M也在圆O上,则圆O与直线l有公共点,当直线l与圆相切时,圆心到直线的距离为圆的半径3,所以O到直线l的距离的最大值为3,故D正确.故选ABD.(2)因为圆M的半径为3,而|AB|=3,所以MAB是正三角形,MAMB=33cos 3=32,为定值,A正确;|AB|=3,圆O的半径r=1,所以点O到弦AB的距离为d=12-(32) 2=12,又点M到AB的距离为332=32,所以|OM|=12+32=2,而OMAB,OM是AB的

22、垂直平分线,所以S四边形OAMB=12|OM|AB|=1223=3,B正确;由已知得a2+b2=4,(a+b2)2a2+b22=2,-22a+b22,当a=b=-2时,a+b=-22,最小值是-22,C错误;aba2+b22=2,当且仅当a=b=2时,ab=2,所以ab的最大值是2,D正确.故选ABD.专题强化训练(十八)一、单项选择题1.已知点P(1,2),则当点P到直线2ax+y-4=0的距离最大时,a=(B)A.1B.-14C.14D.5解析:因为直线恒过定点A(0,4),则当PA与直线2ax+y-4=0垂直时,点P到该直线的距离最大,此时过点P,A的直线的斜率为-2,所以直线2ax+y

23、-4=0的斜率为12,即-2a=12,所以a=-14.故选B.2.(2022山东济南模拟)已知a0,b0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1l2,则1a+1+12b的最小值为(D)A.2B.4C.23D.45解析:已知a0,b0,直线l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1l2,所以12b+(a-4)1=0,即a+2b=4,则1a+1+12b=a+1+2b5(1a+1+12b)=15(1+2ba+1+a+12b+1)15(2+22ba+1a+12b)=45,当且仅当2b=a+1,即a=32,b=54时,取等号,故1a+1+12b的最小值

24、为45.故选D.3.(2022浙江临海模拟预测)已知M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是(D)A.2B.2-2C.1D.2-1解析:由圆x2+y2+2x+4y+4=0,得(x+1)2+(y+2)2=1,可得圆心的坐标为(-1,-2),半径为1,圆心到直线x-y+1=0的距离d=|-1+2+1|2=2,而M为直线y=x+1上的动点,N为圆x2+y2+2x+4y+4=0上的动点,则|MN|的最小值是2-1.故选D.4.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则CPD最大时,四边形OCPD(O为坐标

25、原点)的面积是(B)A.3B.22C.23D.2解析:圆x2+y2=1的圆心为坐标原点O,建立平面直角坐标系,如图,则OPC=OPD,设OPC=OPD=,则CPD=2,OCPC,则sin =|OC|OP|=1|OP|,当|OP|取最小值时,OPl,此时|OP|=1532+42=3,因为|PC|=|PD|=|OP|2-12=22,|OC|=|OD|,|OP|=|OP|,故OPCOPD,此时S四边形OCPD=2SOPC=|OC|PC|=122=22.故选B.5.(2022安徽合肥二模)已知直线l1:mx-y=0(mR)过定点A,直线l2:x+my+4-2m=0过定点B,l1与l2的交点为C,则AB

26、C面积的最大值为(C)A.10B.25C.5D.10解析:直线l1:mx-y=0(mR)过定点A(0,0),直线l2:x+my+4-2m=0过定点B(-4,2),联立mx-y=0,x+my+4-2m=0,消去m得(x+2)2+(y-1)2=5,又A(0,0),B(-4,2)在圆(x+2)2+(y-1)2=5上,且线段AB为圆的直径,故|CA|2+|CB|2=202|CA|CB|,所以|CA|CB|10,当且仅当|CA|=|CB|=10时,取等号,ABC面积S=12|CA|CB|的最大值为5.故选C.6.(2022甘肃二模)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学

27、三巨匠,他研究发现:如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数(0,且1),那么点P的轨迹为圆,这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A(-1,0),B(1,0)的距离之比为3,则点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为(A)A.25-3B.5-3C.25 D.3解析:设C(x,y),则|CA|CB|=3,即(x+1)2+y2(x-1)2+y2=3,化简得(x-2)2+y2=3,所以点C的轨迹为以D(2,0)为圆心,r=3的圆,则圆心D到直线x-2y+8=0的距离d=|2-20+8|12+(-2)2=25,所以点C到直线x-2y+8=0的距离的最小值为25-3.故选A.7.(2022江西模拟预测)

28、设A(-2,0),B(2,0),O为坐标原点,点P满足|PA|2+|PB|216,若直线kx-y+6=0上存在点Q使得PQO=6,则实数k的取值范围为(C)A.-42,42B.(-,-4242,+)C.(-,-5252,+)D.-52,52解析:设P(x,y),因为|PA|2+|PB|216,所以(x+2)2+y2+(x-2)2+y216,即x2+y24,所以点P的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆面.若直线kx-y+6=0上存在点Q使得PQO=6,则PQ为圆x2+y2=4的切线时PQO最大,所以sinPQO=|OP|OQ|=2|OQ|12,即|OQ|4,所以圆心到直线kx-y+6=0的距离d=

29、61+k24,所以k-52或k52.故选C.8.(2022广东铁一中学高三期末)已知mR,过定点A的动直线mx+y=0和过定点B的动直线x-my-m+3=0交于点P,则|PA|+3|PB|的取值范围是(D)A.(10,210B.(10,30C.10,30)D.10,210解析:动直线mx+y=0过定点A(0,0),动直线x-my-m+3=0,即x+3-m(y+1)=0过定点B(-3,-1),且两条直线垂直,所以点P在以AB为直径的圆上,|AB|=12+32=10,设ABP=,则|PA|=10sin ,|PB|=10cos ,0,2,所以|PA|+3|PB|=10sin +30cos =210s

30、in(+3),因为0,2,所以+33,56,所以sin(+3)12,1,所以210sin(+3)10,210.故选D.二、多项选择题9.(2022山东淄博三模)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则(ABD)A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2解析:对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0

31、,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比线段AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆O1的圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为|1+1|2=2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2,故D正确.故选ABD.10.(2022江苏通州高三期末)已知点A(4,3)在以原点O为圆心的圆上,B,C为该圆上的两点,满足BC=OA,则(ABD)A.直线BC的斜率为34B.AOC=60C.ABC的面积为253D.B,C两点在同一象限解析:BC=OA,则BC,OA平行且相等,kBC=kOA=34,A正确;因为|OB|=|OA|,所以四边形OACB是菱形,且A

32、OC,BOC都是正三角形,即AOC=60,B正确,|OA|=42+32=5,SABC=1252sin 120=2534,C错误,设BC所在直线方程为y=34x+b,即3x-4y+4b=0,因为|BC|=5,所以O到BC的距离为532,则|4b|32+42=532,解得b=2538,当b=25385时,由y=34x+2538,取y=0,可得x=-2536-5,则B,C均在第二象限;当b=-25385,则B,C均在第四象限.综上,B,C两点在同一象限,D正确.故选ABD.11.(2022湖北恩施高三期末)已知圆M:x2+(y-2)2=1,点P为x轴上的一个动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A

33、,B,直线AB与MP交于点C,则下列结论正确的是(ACD)A.四边形PAMB周长的最小值为2+23B.|AB|的最大值为2C.直线AB过定点D.存在点N使|CN|为定值解析:如图所示.设|MP|=t,则|AP|=|BP|=t2-1,所以四边形PAMB的周长为2t2-1+2,当点P位于原点时,t取最小值2,故当t取最小值2时,四边形PAMB的周长取最小值为23+2,故A正确;由S四边形PAMB=2SPAM可得12|MP|AB|=212|PA|1,则|AB|=2t2-1t=21-1t2,而t2,则3|AB|2,故B错误;设P(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则PA的方程为x1x+(

34、y1-2)(y-2)=1,PB的方程为x2x+(y2-2)(y-2)=1,而P(x0,0)在切线PA,PB上,故x1x0+(y1-2)(-2)=1,x2x0+(y2-2)(-2)=1,故AB的直线方程为xx0+(y-2)(-2)=1,当x=0时,y=32,即AB过定点(0,32),故C正确;由圆的切线性质可知MPAB,设AB过定点D(0,32),则点C位于以MD为直径的圆上,设MD的中点为N,则N(0,74),则|CN|为定值,故D正确.故选ACD.12.(2022山东临沂高三期末)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:x2+y2=4,P(x1,y1)在圆C1上,Q(x2,y2)在圆C2上,则(

35、ABD)A.|PQ|的取值范围是1,3B.直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线C.直线x1x+y1y=4与圆C2相交D.直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=14相切解析:圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径为1,圆C2:x2+y2=4的圆心为C2(0,0),半径为2,观察图象可得2-1|PQ|2+1,所以|PQ|的取值范围是1,3,A正确;因为x1x1+y1y1=1,所以点P(x1,y1)在直线x1x+y1y=1上,又C1(0,0)到直线x1x+y1y=1的距离d1=1x12+y12=1,又圆C1的半径为1,所以直线x1x+y1y=1是圆C1在点P处的切线,B正确;因为

36、点P(x1,y1)在圆C1上,所以x12+y12=1,所以C2(0,0)到直线x1x+y1y=4的距离d2=4x12+y12=4,又圆C2的半径为2,所以直线x1x+y1y=4与圆C2相离,C错误;圆x2+y2=14的圆心为(0,0),半径为12,点(0,0)到直线x2x+y2y=1的距离d3=1x22+y22=12,所以直线x2x+y2y=1与圆x2+y2=14相切,D正确.故选ABD.三、填空题13.过点P(2,2)的直线l1与圆(x-1)2+y2=1相切,则直线l1的方程为.解析:当过P(2,2)的直线l1斜率不存在时,方程为x=2,与圆(x-1)2+y2=1相切,满足题意;当过P(2,2)的直线l1斜率存在时,设方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,所以圆(x-1)2+y2=1的圆心(1,0)到l1的距离d=|k-0-2k+2|k2+1=1,解得k=34,所以l1:34x-y+12=0,即3x-4y+2=0,所以直线l1的方程为3x-4y+2=0或x=2.答案:3x-4y+2=0或x=214.平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,1),在ABC中,BC边上的高所在直线的斜率为12,AC边上的中线所在直线的方程为y=1,则直线BC的一般式方程为,以AC为直径的圆的标准方程为.解析:因为BC边上的高所在直线的斜率为12,所以直线BC的斜率为-