上海市黄浦区2016届高三上学期期末调研测试-数学文.pdf

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1、上海市黄浦区上海市黄浦区 20162016 届高三上学届高三上学期期末调研测试期期末调研测试-数学文数学文黄浦区黄浦区 20152015 学年度第一学期高三年级期终调研测试学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷（文科）数学试卷（文科）20162016 年年 1 1 月月考生注意：考生注意：1 1 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；试卷、草稿纸上的解答一律无效；2 2答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等答卷前，考生务必将学

2、校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；相关信息填写清楚，并贴好条形码；3 3本试卷共本试卷共 2323 道试题，满分道试题，满分 150150 分；考试时间分；考试时间120120 分钟分钟一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 5656 分）本大题共有分）本大题共有 1414 题，题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得结果，每题填对得 4 4 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1 1不等式不等式|x1|1的解集用区间表示为的解集用区间表示为2 2函数函数y cosx3 3直线直线22(0,2)x sin2x的

3、最小正周期是的最小正周期是(2,1)y 31的一个方向向量可以是的一个方向向量可以是34 4若将两个半径为若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为球的半径为25 5若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为项的和，则其公比为122 23 3对得对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分1515已知复数已知复数z，“z z 0”是“”是“z为纯虚数”的为纯虚数”的 答答(B B )A A充分非必要条件充分非必要条件B B必要非充分条件必要非充分条件C C充要条件充要条件D D既非充分又非

4、必要条件既非充分又非必要条件1616 已知已知xR R，下列不等式中正确的是下列不等式中正确的是 答答 (C C )A A2131xxB Bx112 x1x2 x1222C Cx11x1 2D D2|1x|x111717已知已知P为直线为直线y kxb上一动点，若点上一动点，若点P与原点均在与原点均在直线直线x y 20的同侧，则的同侧，则k、b满足的条件分别为满足的条件分别为 答答(A )(A )A Ak 1，b 2B Bk 1，b 2C Ck 1，b 2D Dk 1，b 21818已知已知a，a，a，a是各项均为正数的等差数列，是各项均为正数的等差数列，其公差其公差d大于零大于零若线段若线

5、段l，l，l，l的长分别为的长分别为a，a，a，a，则，则 答答 (C C )A A对任意的对任意的d，均存在以，均存在以l，l，l为三边的三角为三边的三角形形B B对任意的对任意的d，均不存在以，均不存在以l，l，l为三边的三为三边的三1234123412341231234 4角形角形C C对任意的对任意的d，均存在以，均存在以l，l，l为三边的三角为三边的三角形形D D对任意的对任意的d，均不存在以，均不存在以l，l，l为三边的三为三边的三角形角形三、解答题（本大题满分三、解答题（本大题满分 7474 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，题，234234解答下列各题必须在答题卷的相应

6、编号规定区解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤域内写出必要的步骤1919（本题满分（本题满分 1212 分）本题共有分）本题共有2 2 个小题，第个小题，第1 1 小题小题满分满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分分已知三棱柱已知三棱柱ABC ABC的底面为直角三角形，两条的底面为直角三角形，两条直角边直角边AC和和BC的长分别为的长分别为 4 4 和和 3 3，侧棱，侧棱AA的长为的长为 1010（1 1）若侧棱）若侧棱AA垂直于底面，求该三棱柱的表面垂直于底面，求该三棱柱的表面AB积积CH（2 2）若侧棱）若侧棱AA与底面所成的角为与底面所成

7、的角为60，求该三棱，求该三棱C柱的体积柱的体积 解解（1 1）因为侧棱）因为侧棱AA底面底面ABC，所以三棱柱的高，所以三棱柱的高h等等于侧棱于侧棱AA的长，的长，而底面三角形而底面三角形ABC的面积的面积S 1（2 2 分）分）ACBC 6，2周长周长c 43512，（4 4 分）分）于是三棱柱的表面积于是三棱柱的表面积S ch 2S132（6 6 分）分）（2 2）如图，过）如图，过A作平面作平面ABC的垂线，垂足为的垂线，垂足为H，AH为为全ABCAB5 5三棱柱的高三棱柱的高（8 8 分）分）因为侧棱因为侧棱AA与底面所成的角为与底面所成的角为60，所以所以AAH 60，可计可计算得

8、算得AH AAsin60 5 3（9 9 分）分）又又底底面面三三角角形形ABC的的面面积积S 6，故故三三棱棱柱柱的的体体积积V S AH 65 3 30 3（1212 分）分）2020（本题满分（本题满分 1212 分）本题共有分）本题共有2 2 个小题，第个小题，第1 1 小题小题满分满分 5 5 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 7 7 分分如图，已知点如图，已知点A是单位圆上一是单位圆上一且位于第一象限，且位于第一象限，以以x轴的正半轴为轴的正半轴为边、边、OA为终边的角设为为终边的角设为，将，将OA绕坐绕坐原点逆时针旋转原点逆时针旋转至至OB2（1 1）用）用表示表示A、B两

9、点的坐标；两点的坐标；（2 2）M为为x轴上异于轴上异于O的点，若的点，若MA MB，求点，求点M横横坐标的取值范围坐标的取值范围 解解（1 1）由题设，）由题设，A点坐标为点坐标为(cos,sin)，（2 2 分）分）其中其中2k 2k（kZ Z）（3 3 分）分）2因因为为AOB，所所以以B点点坐坐标标为为cos,sin，即即222yBAO点，点，始始标标1x（5 5 分）分）（2 2）设设M(m,0)（m 0），于是于是MA (cos m,sin)，MB (sin m,cos)，因为因为MA MB，所以所以MAMB 0，即即(cosm)(sinm)sincos 0，（8 8分）分）(si

10、n,cos)6 6整理得整理得m2m(cossin)0，由，由m 0，得，得m cossin2cos4，（1010 分）分）此时此时2k 2k，且，且，且，且 2k，于是，于是2k 2k24444 2k42（kZ Z）得）得22 cos242，且，且cos 04(0,1)因此，点因此，点M横坐标的取值范围为横坐标的取值范围为(1,0)满分满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分如图，某地要在矩形区域如图，某地要在矩形区域OABC建造三角形池塘建造三角形池塘OEF，E、F分别在分别在BCC（1212 分）分）2121（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共

11、有2 2 个小题，第个小题，第1 1 小题小题FBEA内内AB、边上边上OA5米，米，OC 4米，米，EOF，O4，AE y设设CF x（1 1）试用解析式将）试用解析式将y表示成表示成x的函数；的函数；（2 2）求三角形池塘）求三角形池塘OEF面积面积S的最小值及此时的最小值及此时x的的值值y 解解（1 1）直角三角形）直角三角形AOE中，中，tanAOE 5，直角三角形直角三角形COFx中，中，tanCOF 4正方形正方形OABC中，由中，由EOF，得，得AOE COF，于是，于是44，x)代入并整理得代入并整理得y 5(4（4 4 分）分）4 xtan(AOE COF)1 x)4因为因为

12、0 x5，0 y4，所以，所以05(4（6 64，从而，从而x44 x97 7分）分）x)4因此，因此，y 5(4（x4）4 x9（2 2）S SOABC11(SOAE SOCF SEBF)545y 4x(4 y)(5 x)(20 xy)22，（8 8分）分）5(x 16)5 32 x)S(x 4)8，将将y 5(4代入上式，得代入上式，得（1010 分）分）2(x 4)2x 44 x2324当当98 2，当且仅当，当且仅当x 4(x4时，时，x 4x 42 1)时，上式等时，上式等号成立号成立（1212 分）分）因此，三角形池塘因此，三角形池塘OEF面积的最小值为面积的最小值为20(2 1)

13、平方米，平方米，此时此时x 4(2 1)米米（1414 分）分）综上，综上，a，b满足的关系式为满足的关系式为a1b112222（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有3 3 个小题，第个小题，第1 1 小题小题22满分满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8分分已知已知a，a，a是由是由n（nN N）个整数）个整数1，2，*12nn按任意次序排列而成的数列，数列按任意次序排列而成的数列，数列b 满足满足bnk n1ak（k 1,2,n）nn2（1 1）当）当n 3时，写出数列时，写出数列a 和和b，使得，使得

14、a（k 1,2,n 3b2k（2 2）证明：当）证明：当n为正偶数时，不存在满足为正偶数时，不存在满足a）的数列）的数列a n12nbk（3 3）若）若c，c，c是是1，2，n按从大到小按从大到小的顺序排列而成的数列，写出的顺序排列而成的数列，写出c（k 1,2,k,n），并用含，并用含n8 8的式子表示的式子表示c 2c（参考：（参考：1 2 12 ncn）23221 n2n(n1)(2n1)6231 解解（1 1）a 2，a 3，a 1；b 2，b 1，b 3（2 2 分）分）（4 4 分）分）a 1，a 3，a 2；b 3，b 1，b 21 证明证明（2 2）若若a b（k 1,2,n）

15、，则有则有a n1a，于是于是a n2（6 61123123kkkkk分）分）1当当n为正偶数时，为正偶数时，n1为大于为大于 1 1 的正奇数，故的正奇数，故n2不为正不为正整数整数因为因为a，a，a均为正整数，所以不存在满足均为正整数，所以不存在满足a b（k 1,2,n）的数列）的数列a （1010 分）分）解解（3 3）c n(k 1)（k 1,2,n）（1212 分）分）因为因为c (n 1)k，于是，于是c 2c nc (n 1)1 2(n1)2 n(n1)n（1414 分）分）(1 2 n)(n1)(1 2 n)（1616 分）分）111（1818 分）分）n(n1)n(n1)(

16、2n1)n(n1)(n2)26612nkknkk12n22222323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有3 3 个小题，第个小题，第1 1 小题小题满分满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8分分x已知椭圆已知椭圆：al1222y221b（a b 0），过原点的两条直线，过原点的两条直线和和l分别与分别与交于点交于点A、得到平行四边形得到平行四边形ACBDB和和C、D，（1 1）若）若a 4，b 3，且，且ACBD为正方形，求该正方形为正方形，求该正方形9 9的面积的面积S（2 2）若直线若直线l的方程为

17、的方程为bx ay 0，l和和l关于关于y轴对称，轴对称，121上任意一点上任意一点P到到l和和l的距离分别为的距离分别为d和和d，证明：，证明：2a bd d a b121222212222（3 3）当）当ACBD为菱形，且圆为菱形，且圆x2 y21内切于菱形内切于菱形ACBD时，求时，求a，b满足的关系式满足的关系式 解解（1 1）因为）因为ACBD为正方形，所以直线为正方形，所以直线l和和l的方程为的方程为（1 1 分）分）y x和和y x12点点A、B的坐标的坐标(x,y)、(x,y)为方程组为方程组1122y x,2xy21169的实数解，的实数解，将将y x代入椭圆方程，解得代入椭

18、圆方程，解得x212 x21442521根据对称性，可得正方形根据对称性，可得正方形ACBD的面积的面积S 4x257625（4 4 分）分）证明证明（2 2）由题设，直线）由题设，直线l的方程为的方程为bx ay 0，（6 6 分）分）于是于是d|bx ay|，d|bx ay|，（8 8 分）分）b2 a2b2 a2(bxay)2(bx ay)22(b2x2 a2y2)2a2b222d1 d2222b a2b a2b2 a2a b22212（1010 分）分）00 解解（3 3）设）设AC与圆与圆x y 1相切的切点坐标为相切的切点坐标为(x,y)，于，于是切线是切线AC的方程为的方程为x

19、x y y 100点点A、C的坐标的坐标(x,y)、(x,y)为方程组为方程组1122x0 x y0y 12xy2221ba的实数解的实数解 当当x 0或或y 0时，时，ACBD均为正方形，椭圆均过点均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有于是有a1b11（1111分）分）0022 当当x0 0且且y0 0时，将时，将1y(1 x0 x)y01010代入代入x2y21a2b2，整理得整理得(b y220 a x)x 2x0a x a(1b y)0220222220，于是，于是2a2(1b2y0)x1x2222b y0 a2x0，（1313分）分）同理可得同理可得y y122b2(1a2x0)222b y0 a2x0（1515 分）分）1212因为因为ACBD为菱形，所以为菱形，所以AO CO，得，得AOCO 0，即，即x x y y 0，（1616 分）分）于是于是a2(1b2y2)2220b(1a x0)0，整理得整理得a222222b2y2 a2x22222b a b(0000b y0 a xx y)，0得得a2b2 a2b2，即，即11a2b21（1818 分）分）综上，综上，a，b满足的关系式为满足的关系式为1a21b211111由由x2 y2001，