(精品word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解.pdf

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1、(精品 word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解数列专项之求和数列专项之求和4 4(一)等差等比数列前 n 项求和1、等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d22(q 1)na1n2、等比数列求和公式：Sna1(1 q)a1 anq(q 1)1 q1 q（二)非等差等比数列前 n 项求和错位相减法错位相减法数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anbn的求和就要采用此法.将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比,然后在错位相减，进而可得到数列anbn的前n项和.此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法。例例 2323。求和：Sn1 3x 5x2

2、7x3(2n 1)xn1(x 0)2462n例例 2424。求数列,2,3,n,前 n 项的和。2 222裂项相消法裂项相消法一般地，当数列的通项anc(a,b1,b2,c为常数）时，往往可将an变成两项的差，采用(anb1)(anb2)裂项相消法求和。可用待定系数法进行裂项：设ananb1an b2,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得c，从而可得b2b1cc11=().(anb1)(anb2)(b2b1)an b1an b2常见的拆项公式有：1111111；();n(n1)nn1(2n1)(2n1)2 2n12n111m1mm(a b);CnCn1Cn;a bab1111n(n 1

3、)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)nn!(n1)!n!.(精品 word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解例例 2525。求数列112,12 3,1n n 1,的前 n 项和.例例 26.26.在数列an中，an212n，又bn,求数列bn的前 n 项的和.anan1n1n1n1分组法求和分组法求和有一类数列,既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.例例 2727。求数列n(n+1)（2n+1）的前 n 项和.例例 2828。求数列的前 n

4、 项和:11,111 4,2 7,n13n 2aaa倒序相加法倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1an a2an1.012n 3Cn 5Cn(2n 1)Cn(n 1)2n例例 2929。求证：Cn例例 30.30.求sin21sin22sin23sin288sin289的值记住常见数列的前记住常见数列的前n项和：项和：n(n1)123.n;2135.(2n1)n2;122232.n21n(n1)(2n1).6113 23 33 n3 n(n 1)22答案详解答案

5、详解例例 23.23.解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1 的通项之积.Sn1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn1。设xSn1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn.（设制错位）(精品 word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解得(1 x)Sn1 2x 2x2 2x3 2x4 2xn1(2n 1)xn（错位相减)1 xn1(2n 1)xn再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn1 2x1 x(2n1)xn1(2n1)xn(1 x)Sn(1 x)22n1的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积。nn222462n设Sn23

6、n222212462nSn234n1（设制错位)222221222222n得(1)Sn234nn1（错位相减）222222212n 2n1n122n 2Sn 4n12例例 2424。解：由题可知，例例 25.25.解：设an1n n 11n 1n（裂项)1n n 1则Sn12 312(裂项求和）(2 1)(3 2)(n 1 n)n1112nnn 1n 1n 12211bn8()(裂项）n n1nn122例例 26.26.解：an数列bn的前 n 项和113418n8(1)n1n1Sn 8(1)()()(1212131n1)（裂项求和）n 1例例 27.27.解：设ak k(k 1)(2k 1)

7、2k3 3k2 k(精品 word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解Snk(k 1)(2k 1)(2k33k2k)k1k1nn将其每一项拆开再重新组合得Sn2k 3k k（分组）32k1k1k1nnn2(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)（分组求和）222n(n1)2(n2)2111例例 28.28.解：设Sn(11)(4)(2 7)(n13n 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得Sn(11112n1)(1 4 7 3n 2)（分组）aaa(3n 1)n(3n 1)n当 a1 时，Sn n（分组求和)2211naa1n(3n

8、1)n(3n1)na当a 1时，Sn1a1221a012n 3Cn 5Cn(2n 1)Cn例例 2929。证明：Sn Cn把式右边倒转过来得nn110Sn(2n 1)Cn(2n 1)Cn 3Cn Cn（反序）又由Cnm Cnnm可得01n1n(2n 1)Cn 3Cn CnSn(2n 1)Cn 01n1n Cn Cn Cn)2(n 1)2n（反序相加）+得2Sn(2n 2)(CnSn(n 1)2n(精品 word)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解例例 3030。解:设S sin21sin22sin23sin288sin289.将式右边反序得S sin289sin288sin23sin22sin21。（反序）又因为sin x cos(90 x),sin2xcos2x 1+得(反序相加）2S (sin21 cos21)(sin22 cos22)(sin289 cos289)89 S44。5