2022年高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列专项之求和 -4 一等差等比数列前n 项求和na 1nn1d1 1 1、 等差数列求和公式：S nna 12an2na1na 1anqq2、等比数列求和公式：S na1 1qq1q1q二非等差等比数列前n 项求和错位相减法数列a n为等差数列,数列b n为等比数列,就数列a nb n的求和就要采纳此法.将数列a nb n的每一项分别乘以b n的公比,然后在错位相减,进而可得到数列a nb n的前 n 项和 . 此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 .例 23. 求和：Sn,1,3 x,25x27x32n1xn1 x0例 24.

2、 求数列2 2,46n,前 n 项的和 . 22232n裂项相消法一般地,当数列的通项a nanb 1cb2 , a b b 2,c为常数）时,往往可将a nan变成两项的差,采纳裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：an设a nanb 1anb 2,通分整理后与原式相比较,依据对应项系数相等得b 2cb 1,从而可得cb 1an1b 1an1b2.b 1cb2=anb 2常见的拆项公式有：名师归纳总结 111n11；2n1n11 2 211211;第 1 页,共 5 页n nn12nn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a1ba1bab;C n m1

3、Cm1C n m;nn n.n1.n.n n1n2 1n n11 n1n2 1 21 例 25.求数列112,21n3,2n1n1,1的前 n 项和 .21,求数列 bn的前 n例 26.在数列 a n 中,an1n1n,又bnan1na n项的和 . 分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,假设将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 式由通项公式确定如何分组 . 例 27. 求数列 nn+12n+1 的前 n 项和 . . 一般分两步：找通向项公例 28. 求数列的前 n 项和：1,114 ,17 ,a113n2aa2n倒序相加法假如

4、一个数列a n,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,就可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法；特点：名师归纳总结 a 1ana 2an1.22 n1 Cnn1 2n的值第 2 页,共 5 页例 29. 求证：C03C15C2nnnn例 30. 求sin21sin22sin3sin288sin289记住常见数列的前n 项和：12n1.123.nn n1;2135.2n1n2;2 12232.n21n n61n n1 23 12333n32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案详解名师归纳总结 例 23

5、. 解：由题可知, 2n1xn1 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比第 3 页,共 5 页数列 xn1 的通项之积；S n13x5x27x32 n1 xn1 .设xS n1 x3x25x37x42n1 xn .设制错位得1x S n12x2x22x32x42xn12n1xn错位相减 再利用等比数列的求和公式得： 1xS n12x11xn12n1xnxS n2 n1xn12 n1 xn1x1x 2例 24. 解：由题可知, 2n 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 1 的通 n 22n项之积；设S n2462 n 222232n1S n2462 n 设制错位22223242n1得 1

6、1S n222222n错位相减 222223242n2n122112nn2n1S n4nn221例 25. 解：设a nn1n1n1n裂项就Sn112213n1n1裂项求和21 32n1nn11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 26. 解： ann11n21nn1n2bnn218 1n1 1裂项1kn11裂项求和nn22数列 bn 的前 n 项和Sn8 11111122334n8 1n1 18nn1例 27. 解：设a kkk1 2k1 2k33k2kS nnkk1 2k1 n2k33k2k1k1将其每一项拆开再重新组合得名师归纳总结 Sn2nk3

7、3nk2nk分组 12n第 4 页,共 5 页k1k1k12n221 32 3n33 1 22n2n1 2nn1 2n1 nn1 分组求和222nn1 2 n2a113 n2 2例 28. 解：设Sn 11 1417aa2n将其每一项拆开再重新组合得2分组73nS n 111a11 14aa2n当 a1 时,Snn3n21 n3 n1 n分组求和2当a1时,S n113 n21 naa1 an3n1nn a1112a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 29. 证明：SnC03 C15 C22n1Cn nnnn把式右边倒转过来得S n2n1 Cn2n1 Cn13 C1C0反序nnnn又由CmCnm可得3Cn1Cn nn1 C02 n1 C1Sn2nnnnCn+得2 Sn2 n2C0 nC1 nn C n1n n2 n1 2n反序相加S nn1 2nsin22sin23sin288sin289 .例 30. 解：设Ssin21将式右边反序得Ssin289sin288sin23sin22sin21 . 反序2Ssin2又由于sinxcos 90x,sin2xcos 2x21cos28989 +得189反序相加sin1cos2sin22cos22 S 44.5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页