2019高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系学案 4.doc

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1、11.2.21.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)自 主 预 习探 新 知1平方关系(1)公式：sin2cos21.(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1.2商数关系(1)公式：tan_(k，kZ Z)sin cos 2(2)语言叙述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切思考：对任意的角，sin22cos221 是否成立？提示 成立平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关基础自测1思考辨析(1)对任意角，tan 都成

2、立( )sin 2cos 2 2(2)因为 sin2 cos2 1，所以 sin2cos21 成立，其中，为任意9 4 4角( )(3)对任意角，sin cos tan 都成立( )解析 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知不能取任意角，所以(1)错，(3)错答案 (1) (2) (3)2化简的结果是( )1sin235AcosBsin3 53 5CcosDsin3 53 5C C 因为是第二象限角，3 5所以 cos0，3 52所以cos.1sin235cos235|cos3 5|3 53若 cos ，且为第四象限角，则 tan _.3 5 因为为第四象限角，且 cos

3、，4 33 5所以 sin ，1cos21(35)24 5所以 tan .sin cos 4 3合 作 探 究攻 重 难直接应用同角三角函数关系求值(1)已知，tan 2，则 cos _.(，3 2)(2)已知 cos ，求 sin ，tan 的值. 【导学号：84352041】8 17思路探究 (1)根据 tan 2 和 sin2cos21 列方程组求 cos .(2)先由已知条件判断角是第几象限角，再分类讨论求 sin ，tan .(1 1) (1)由已知得Error!5 55 5由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21，所以 cos2 ，又，所以 cos 0，1 5(，3 2

4、)所以 cos .55(2)cos 0，8 17是第二或第三象限的角如果是第二象限角，那么sin ，1cos21(8 17)215 17tan .sin cos 15 178 1715 8如果是第三象限角，同理可得sin ，tan .1cos215 1715 83规律方法 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位

5、置的判断，确定所求值的符号跟踪训练1已知 sin 3cos 0，求 sin ，cos 的值解 sin 3cos 0，sin 3cos .又 sin2cos21，(3cos )2cos21，即 10cos21，cos .1010又由 sin 3cos ，可知 sin 与 cos 异号，角的终边在第二或第四象限当角的终边在第二象限时，cos ，sin ；10103 10 10当角的终边在第四象限时，cos ，sin .10103 10 10灵活应用同角三角函数关系式求值(1)已知 sin cos ，(0，)，则 tan _.7 13(2)已知2，计算下列各式的值sin cos sin cos ；3

6、sin cos 2sin 3cos sin22sin cos 1. 【导学号：84352042】思路探究 (1)法一求sin cos 求sin cos 求sin 和cos 求tan 法二求sin cos 弦化切构建关于tan 的方程求tan (2)求tan 换元或弦化切求值4(1 1) 法一：(构建方程组)1 12 2 5 5因为 sin cos ，7 13所以 sin2cos22sin cos ，49 169即 2sin cos .120 169因为(0，)，所以 sin 0，cos 0.所以 sin cos .sin cos 212sin cos 17 13由解得 sin ，cos ，12

7、 135 13所以 tan .sin cos 12 5法二：(弦化切)同法一求出 sin cos ，60 169sin cos sin2cos260 169tan tan2160 169整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 或 tan .5 1212 5由 sin cos 0 知|sin |cos |，故 tan .7 1312 5(2)由2，化简，sin cos sin cos 得 sin 3cos ，所以 tan 3.法一(换元)原式 .3 3cos cos 2 3cos 3cos 8cos 9cos 8 9法二(弦化切)原式 .3tan 1 2tan 33 31 2 3

8、38 9原式1sin22sin cos sin2cos211.tan22tan tan21322 3 32113 10母题探究：1.将本例(1)条件“(0，)”改为“(，0)”其他条件不变，结果又如何？解 由例(1)求出 2sin cos ，120 169因为(，0)，所以 sin 0，cos 0，5所以 sin cos sin cos 2.12sin cos 17 13与 sin cos 联立解得 sin ，cos ，7 135 1312 13所以 tan .sin cos 5 122将本例(1)的条件“sin cos ”改为“sin cos ”其他条件7 131 8不变，求 cos sin

9、 .解 因为 sin cos 0，所以，所以 cos sin 0，1 8( 2，)cos sin .12sin cos 12 (1 8)52规律方法 1.sin cos ，sin cos ，sin cos 三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二” ，它们之间的关系是：(sin cos )212sin cos .2已知 tan m，求关于 sin ，cos 的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于 sin ，cos 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为 cos 0，所以可除以 cos ，这样可将被求式化为关于tan 的表示式，然后代入 tan m的值

10、，从而完成被求式的求值提醒：求 sin cos 或 sin cos 的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.应用同角三角函数关系式化简(1)化简_.2sin21 12cos2(2)化简.(其中是第三象限角)sin 1cos tan sin tan sin 思路探究 (1)将 cos21sin2代入即可化简(2)首先将 tan 化为，然后化简根式，最后约分sin cos (1 1)1 1 (1)原式1.2sin21 121sin22sin21 2sin21(2)原式sin 1cos sin cos sin sin cos sin 6sin 1cos 1cos 1cos sin

11、 1cos 1cos 2 1cos2.sin 1cos 1cos |sin |又因为是第三象限角，所以 sin 0.所以原式1.sin 1cos 1cos sin 规律方法 三角函数式化简的常用方法1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.跟踪训练2化简 tan ，其中是第二象限角1

12、 sin21解 因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0.故 tan tan tan 1 sin211sin2 sin21.cos2 sin2sin cos |cos sin |sin cos cos sin 应用同角三角函数关系式证明探究问题1证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左(2)从左证到右(3)证明左右归一(4)变更命题法如：欲证明 ，则可证MQNP，或证 等M NP QQ NP M2在证明sin cos 时如何巧用“1”的1sin cos 2sin cos 1sin cos 7代换提示：在求证sin cos 时，观察等式左1sin cos 2sin cos 1si

13、n cos 边有 2sin cos ，它和 1 相加应该想到“1”的代换，即 1sin2cos2，所以等式左边sin2cos22sin cos sin cos 1sin cos sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos sin cos 1 sin cos 1sin cos 右边求证：. tan sin tan sin tan sin tan sin 【导学号：84352043】思路探究 解答本题可由关系式 tan 将两边“切”化“弦”来证明，也sin cos 可由右至左或由左至右直接证明证明 法一：(切化弦)左边，sin2 sin sin cos sin 1cos 右

14、边.sin sin cos sin21cos sin 因为 sin21cos2(1cos )(1cos )，所以，所以左边右边sin 1cos 1cos sin 所以原等式成立法二：(由右至左)因为右边tan2sin2 tan sin tan sin tan2tan2cos2 tan sin tan sin tan21cos2 tan sin tan sin tan2sin2 tan sin tan sin tan sin tan sin 左边，所以原等式成立规律方法 1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左8右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(

15、作差，作比法)2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)提醒：解决此类问题要有整体代换思想跟踪训练3求证：(1)；sin cos 1 sin cos 11sin cos (2)2(sin6 cos6 )3(sin4 cos4 )10.证明 (1)左边sin cos 1sin cos 1 sin cos 1sin cos 1sin 12cos2 sin cos 21sin2 2sin 11sin2 sin2 cos2 2sin cos 12sin2 2sin 12sin cos 1右边，2sin sin 1 2sin cos

16、1sin cos 原等式成立(2)左边2(sin2 )3(cos2 )33(sin4 cos4 )12(sin2 cos2 )(sin4 sin2 cos2 cos4 )3(sin4 cos4 )1(2sin4 2sin2 cos2 2cos4 )(3sin4 3cos4 )1(sin4 2sin2 cos2 cos4 )1(sin2 cos2 )21110右边，原等式成立当 堂 达 标固 双 基1如果是第二象限的角，下列各式中成立的是( )Atan sin cos Bcos 1sin2 Csin 1cos2 Dtan cos sin 9B B 由商数关系可知 A，D 均不正确当为第二象限角时

17、，cos 0，sin 0，故 B 正确2sin ，则 sin22cos2的值为( )55【导学号：84352044】A B3 57 5C D3 57 5B B 因为 sin ，所以 cos21sin2 ，554 5所以 sin22cos2 2 .1 54 57 53已知 tan ，则的值是( )1 22sin cos sin2cos2A B3 4 3C D34 3A A 因为 tan ，1 2所以 .2sin cos sin2cos22tan tan212 (1 2)(1 2)214 34已知是第二象限角，tan ，则 cos _.1 2 因为 ，且 sin2cos21，又因为是第二象限角，所以2 2 5 55 5sin cos 1 2cos 0，所以 cos .2 555(1)化简，其中是第二象限角sin2sin4(2)求证：1tan2. 1 cos2【导学号：84352045】解 (1)因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以 sin cos 0，所以sin2sin4sin21sin2sin cos .sin2cos210(2)证明：1tan21.sin2cos2cos2sin2cos21cos2