2021-2022学年湖南省长沙市明德中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 16 页 2021-2022 学年湖南省长沙市明德中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1已知集合21Axx，03Bxx，则AB（）A01xx B23xx C13xx D01xx【答案】B【分析】根据集合的并集计算即可.【详解】21Axx，03Bxx|23ABxx，故选：B 2若单位向量a，b的夹角为3，则ab=（）A2 B12 C32 D1【答案】B【分析】由向量的数量积的定义，代入可得选项.【详解】因为单位向量a，b的夹角为3，所以 1|coscos332a ba b 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于基础题.3某校高一高二高三的住校生人数分别为 120，1

2、80，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取 90 人进行问卷调查，则高一高二高三被抽到的住校生人数分别为（）A12，18，15 B20，40，30 C25，35，30 D24，36，30【答案】D【分析】由题意求出抽样比，根据抽样比求高一高二高三被抽到的住校生人数即可.【详解】三个年级的住校生一共有120180150450人，抽样比为9014505，故三个年级抽取的人数分别为1120245，1180365，1150305.故选：D.第 2 页 共 16 页 4设 1,01,01,0 xxf xxx，则 0ff等于（）A1 B0 C2 D-1【答案】C【分析】根

3、据函数解析式，先求 0f，再根据其值大小球 0ff即可.【详解】1,0()1,01,0 xxf xxx 故(0)1f，(0)(1)1 12f ff .故选：C.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，属简单题.5已知复数z满足i2iz，则z的虚部为（）A2 B2 C1 D1【答案】B【分析】根据复数除法的运算性质，结合复数虚部的定义进行求解即可.【详解】由222i2iii2i12iiizz ，所以z的虚部为2，故选：B 6椭圆221169xy的左、右焦点为1F、2F，一直线过1F交椭圆于A、B，则2ABF的周长为（）A32 B16 C8 D4【答案】B【分析】利用椭圆的定义可求得2ABF的周长.

4、【详解】在椭圆221169xy中，4a，则2ABF的周长为1212416AFAFBFBFa.故选：B.7在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上的动点.若AEACDO(,0)，则21的最小值为（）A2 B5 C92 D143【答案】C【分析】以点A为原点，以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正第 3 页 共 16 页 方形的边长为 1，求出已知点的坐标，然后设出点E的坐标，代入已知关系式，即可求出，的关系式，然后根据基本不等式即可求解【详解】如图所示，以点A为原点，以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，则(0,0)A，(1,0)B

5、，(1,1)C，(0,1)D，则根据中点坐标公式可得1 1(,)2 2O，设点E的坐标为(1,)m，则由AEACDO(,0)，可得(1，)(1m，111)(,)22，所以112，则21211159()()222222 ，当且仅当，即时取等号，此时21的最小值为92，故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键点，其一，是联想到利用坐标法分析求解，坐标法和基底法是解决向量问题常用的策略，要灵活选择；其二，是利用常量代换结合基本不等式求函数的最值.8 数列 nb为正项等比数列，且11b；等差数列 na的首项12a，且23ab，44ab；记nnnacb，数列 nc的前n项和为nS，*n N，,nk

6、St k t恒成立，则kt的最小值为（）A2 B4 C6 D8【答案】C【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，从而可得,nna b，再由数列的错位相减法求和，可得nS，求得nS的最大值和最小值，结合不等式成立思想可得所求kt的最小值【详解】设正项等比数列 nb的公比为,0q q，等差数列 na的公差为d，则由题意可得232,23dqdq，第 4 页 共 16 页 得32340qq，化为2(1)(2)0qq，解得2q或1q （舍去），则2d，所以122(1)2,2nnnann b，所以212nnnnacnb，所以1032111112(1)2222nnnSnn ，0121

7、1111112(1)22222nnnSnn 两式相减可得 321111112 122222nnnnSn 11111221212nnn，得218(2)2nnSn，由12,8nnSSS，可得28nS，因为数列 nc的前n项和为*,nkSt k tn N恒成立，所以可得8,2kt，所以k的最小值为 8，t的最大值为 2，kt的最小值为 6 故选：C 二、多选题 9 已知直线a，b 和平面，若a，ab，则直线 b 与平面的位置关系可能是（）A/b Bb 与相交 Cb Db【答案】AC【分析】画出图形，发现直线 b 与平面的位置关系有两种【详解】如图，直线 b与平面的位置关系有两种，即/b或b 第 5

8、页 共 16 页 或 故选：AC 10下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（）A1yx B3yx Ctanyx D223,03,0 xx xyxx x【答案】BD【分析】根据各项函数的定义域，结合函数的奇偶性和单调性分别对选项进行判断即可 【详解】函数1yx 的定义域为,00,，而函数1yx 在其定义域内不具有单调性，故 A 不符合题意；函数3yx的定义域为,，由幂函数的性质，可知函数3yx在,上单调递增，且为奇函数，故 B 符合题意；由正切函数的性质可知，函数tanyx的定义域为,2x xkkZ，且函数tanyx在其定义域内不具有单调性，故 C 不符合题意；由二次函数的性质可知，

9、函数23yxx在0,上单调递增，函数23yxx 在,0上单调递增，又当0 x 时，22330 xxxx，所以函数223,03,0 xx xyxx x在其定义域上是增函数；令 223,03,0 xx xf xyxx x设任意的0,x，则,0 x ，所以 23fxxxf x ，所以函数223,03,0 xx xyxx x为奇函数，故 D 符合题意.故选：BD.11直线yxb与曲线21xy恰有一个交点，则实数 b 可取下列哪些值（）A2 B1 C1 D2【答案】AC 第 6 页 共 16 页【分析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数 b 的取值范围即可解题.【详解】解：曲线21xy，整理得221

10、xy，0 x，画出直线与曲线的图象，如图，直线yxb与曲线21xy恰有一个交点，则(1,12b 故选：AC.【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.12 设12,F F分别是双曲线222:1yC xb的左右焦点，过2F作x轴的垂线与 C交于,A B两点，若1ABF为正三角形，则（）A2b BC的焦距为2 3 CC的离心率为3 D1OBF的面积为2 3【答案】BC【分析】由题可得2124,33ccBFBF，根据双曲线定义可求出c，即可得出b，再依次判断即可.【详解】由题可得12122124|230,|,|33ccFFcBF FBFBF，由双曲线定义可得1242233ccBFBF

11、，解得3c，则213b，解得2b，故 A 错 B 对；3cea，C 对；1121|32OBFSOFBF，D 错.故选：BC.三、填空题 13若点12P ，在角的终边上，则tan_ 第 7 页 共 16 页【答案】2【分析】利用任意角三角函数定义求解即可.【详解】因为点12P ，在角的终边上，所以2tan21.故答案为：2.14在正方体1111ABCDABC D中，直线AC与1D B所成角的大小为_【答案】90212【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，用空间向量求解AC与1D B所成角.【详解】以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，1DD为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱

12、长为 a，则1,0,0,0,0,0,0,0A aCaDaB a a，则1,0,ACa aD Ba aa，221,0,0AC D Ba aa aaaa ，所以1ACDB，故直线AC与1D B所成角为 90.故答案为：90 15已知数列 na的前n项的和为nS，并且满足2210nSnn，则26a a的值为_.第 8 页 共 16 页【答案】48【解析】由2210nSnn，221aSS，665aSS，能求出26a a【详解】数列na的前n项的和为nS，且满足2210nSnn，221(24102)(210)4aSS，665(236106)(225105)12aSS，264 1248a a 故答案为：4

13、8 16 432661f xxxrxx在0 3,有且仅有三个零点，则实数r的取值范围是_【答案】9810,9【分析】令()0f x 有22116()()rxxxx，令12,)txx知：10(2,3t时，有两个x值对应；102(,)3t时，有一个x值对应；问题转化为2()62g tttr的零点必有一个在10(2,3，另一个在102(,)3，进而讨论零点分布求r的范围.【详解】令()0f x，则(0,3x上有22116()()rxxxx，令12,)txx，则222211()22xxtxx，226rtt：10(2,3t时，有两个x值对应；102(,)3t时，有一个x值对应；要使()f x由三个零点，

14、则2()620g tttr的零点分布如下：1、110(2,3t，22t：将22t 代入有10r，此时1104(2,3t，不合要求；2、由()g t对称轴1033t，若2103t 则1108106(2,333t、(10,3)，不合要求；3、110(2,3t，210(,)3t：有(2)1001098()039grgr，即98109r.综上，r98(10,)9.故答案为：98(10,)9.【点睛】关键点点睛：利用零点有22116()()rxxxx，换元法令12,)txx，将问题转化为2()62g tttr在2,)上零点分布情况分析.第 9 页 共 16 页 四、解答题 17在等比数列 na中，已知1

15、12a，44a 求：(1)数列 na的通项公式；(2)数列 2na的前 4 项和4S【答案】(1)22nna，N*n(2)425512S【分析】（1）求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式即可得解；（2）利用等比数列前n项和公式即可得出答案.【详解】(1)解：由题意，设等比数列na的公比为q，则3414812aqa，解得2q，故121222nnna，N*n；(2)解：由（1）知，22222211224?44nnnnna，故数列2na是以14为首项，4 为公比的等比数列，4 141425541 412S 18已知a、b、c分别为ABC内角A、B、C的边，sinsinsinsinbCaAbB

16、cC.(1)求A；(2)若7a，ABC的面积为3 32，求ABC的周长.【答案】(1)3A(2)75【分析】（1）由正弦定理得222bcabc，结合余弦定理即可求解；（2）利用面积公式得6bc，再根据余弦定理可得2213bc，从而求出周长【详解】(1)因为sinsinsinsinbCaAbBcC 由正弦定理得222bcabc，则222bcbca 由余弦定理得2221cos222bcabcAbcbc，又0,A，故3A；第 10 页 共 16 页(2)由ABC的面积为133 3sin242SbcAbc，所以6bc 由余弦定理2221cos22bcaAbc，因为7a，所以2213bc 所以22213

17、 125bcbcbc 故ABC的周长为75abc 19直三棱柱111ABCABC中，11AA B B为正方形，2ABBC，120ABC，M为棱1BB上任意一点，点 D、E分别为 AC、CM的中点 (1)求证：DE平面11AA B B；(2)当点 M 为1BB中点时，求三棱锥1MBCD的体积【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）取 BC中点为F，连接EF，DF，由面面平行的判断定理证明平面DEF平面11AA B B，从而即可证明DE平面11AA B B；（2）证明AC 平面1BB D，即AC 平面1MB D，从而有11MB CDC B MDVV，根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】(

18、1)证明：取 BC中点为F，连接EF，DF，因为点D、E分别为AC，CM的中点，所以EFBM，DFAB，因为EF 平面11AA B B，BM 平面11AA B B，所以EF平面11AA B B，同理可得DF平面11AA B B，又EFDFF，,EF DF平面DEF，所以平面DEF平面11AA B B，因为DE 平面DEF，所以DE平面11AA B B；第 11 页 共 16 页 (2)因为三棱柱111ABCABC为直三棱柱，所以1BB 平面ABC，所以11,BBAC BBBD，又11AA B B为正方形，2ABBC，120ABC，所以BDAC，且2 3AC，12B B，1BD，又1BDBBB，

19、所以AC 平面1BB D，即AC 平面1MB D，所以当点M为1BB中点时，三棱锥1MBCD的体积11111131 133326MB CDC B MDB MDVVSCD .20已知直线:0l kxyk恒过抛物线2:20C ypx p的焦点 F(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l与抛物线C交于 A，B两点，且16AFBFAB，求直线l的方程【答案】(1)24yx(2)10 xy 或10 xy 【分析】（1）把直线化为(1)yk x，得到抛物线C的焦点为1,0F，求得2p，即可求得抛物线C的方程；（2）联立方程组204kxykyx，得到12242xxk，121x x，结合16AFBFAB，列出方

20、程求得k的值，即可求得直线l的方程【详解】(1)解：将直线kxyk0化为(1)yk x，可得直线l恒过点1,0，即抛物线C的焦点为1,0F，所以12p，解得2p，所以抛物线C的方程为24yx(2)解：由题意显然0k,联立方程组204kxykyx，整理得224210 xxk，第 12 页 共 16 页 设11,A x y，22,B xy，则12242xxk，121x x，因为16AFBFAB，所以ABAFBFAFBFAFBF 1122121 221123xxxxxxx x 1224242 2416xxk，解得21k，所以1k 或1k ，所以直线l的方程为10 xy 或10 xy 21 学生考试中

21、答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分 12 分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：教师评分（满分 12 分）11 10 9 各分数所占比例 14 12 14 某次数学考试试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平

22、均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分（假设本次考试阅卷老师对满分为 12 分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）（1）本次数学考试中甲同学某题（满分 12 分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X的分布列及数学期望 E X；（2）本次数学考试

23、有 6 个解答题，每题满分 12 分，同学乙 6 个题的解答均为“B类解答”记乙同学 6 个题得分为12345ix xxxxx的题目个数为ia，516iia，计算事件第 13 页 共 16 页“233aa”的概率 同学丙的前四题均为满分，第 5 题为“B类解答”，第 6 题得 6 分以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的认识【答案】（1）分布列见解析；期望为32132；（2）516；答案见解析【分析】（1）根据题中规则：规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于 1 分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于 1 分时

24、，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分可得随机变量X的取值为 9，9.5，10，10.5，11，利用表格中的概率值，求出各种情况下的概率，即可得到分布列，以及数学期望；（2）事件A发生的次数16,2YB，“233aa”相当于事件A恰好发生 3 次，那么就可以求出其概率；分别求出乙，丙同学的均值，比较大小即可.【详解】（1）根据题意，随机变量X的取值为 9，9.5，10，10.5，11 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x，y，z，(9)(9,9)(9,

25、11,9)(11,9,9)P XP xyP xyzP xyz1 11 1 1324 44 4 432，1 11 11(9.5)(9,10)(10,9)4 24 24P XP xyP xy，11010,10,10.510,1111,104P XP xyP XP xyP xy1 11 1 15(11,9,10)(9,24 44 4 41611,10)P xyzP xyz，(11)(11,11)(9,11,11)(11,9,11)P XP xyP xyzP xyz1 11 1 1324 44 4 432，故X的分布列为 X 9 9.5 10 10.5 11 P 332 14 14 516 332 3

26、1153321()99.51010.5113244163232E X 第 14 页 共 16 页（2）方法一 事件“233aa”可分为20a，33a；21a，32a；22a，31a；23a，30a 四种情况，其概率为 232323230,31,22,13,0P aaP aaP aaP aa 333333333211236646561111111154242424216CC CC CC 方法二 记“9.5X 或10X”为事件A，6 次实验中，事件A发生的次数16,2YB，“233aa”相当于事件A恰好发生 3 次，故概率为：33323611532216P aaC 由题意可知：乙同学得分的均值为3

27、2119266()63232E X，丙同学得分的均值为：32120494 1263232 显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B类解答”的出现 22对于正实数()ab ab，有基本不等式：G a bA a b,，其中2abA a b,，为,a b的算术平均数，G a bab,，为,a b的几何平均数现定义,a b的对数平均数：,lnlnabL a bab(1)设1x，求证：11ln2xxx：(2)证明不等式：G a bL a b,：若不等式,k L a bG a bA a b,对于任意的正实数,()a b ab恒成立，求正实数k的最

28、大值【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析；2【分析】（1）构造函数11()ln()2f xxxx，利用导数判断出()f x在1，)上单调递减，由f（1）0，即可证明；（2）用分析法证明：转化为证明2lnaabbba，令,(1)attb，由（1）有11ln2ttt，即可证明；先把题意转化为1ln01tktt恒成立.令第 15 页 共 16 页 1ln1tg tktt，求出导函数，对 k 分类讨论：2k，不符合题意；当02k时，()g t在1，)上单调递减，恒有()g tg（1）0，符合题意即可求出正实数k的最大值【详解】(1)令11()ln()2f xxxx，则2222211121(1)()

29、2222xxxfxxxxx，()0fx，得()f x在1，)上单调递减，又f（1）0，故当1x 时，()0f x，因此，当1x 时，11ln2xxx；(2)（2）证明：要证(G a，)(bL a，)b，只要证lnlnababab，只要证lnbabaab，即证2lnaabbba，令,(1)attb，由（1）有11ln2ttt，即得12lnttt，因此，2lnaabbba；由(k L a，)(bG a，)(bA a，)b恒成立，得lnln2ababkabab恒成立，即得1112lnaaabkabbb恒成立，令,(1)attb，有221112ln2tkttt 恒成立，得1112ln2tktt恒成立，

30、1ln01tktt恒成立，令 1ln1tg tktt，有22222212(1)2(1)1()(1)(1)(1)ktttktg tktttttt，又g（1）0，当g（1）0，即2k 时，方程22(1)10tkt 有一根1t大于 1，一根2t小于 1，可得()g t在1，1)t上单调递增，故有 1g tg（1）0，不符合；当02k时，有222214110kttttt，0g t，从而()g t在1，)上单调递减，故当1t 时，恒有()g tg（1）0，符合 综上所述，正实数k的取值范围为02k，因此，正实数k的最大值为 2【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重第 16 页 共 16 页 要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用