（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 理.doc

《（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线的综合问题学案 理.doc（21页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第第 3 3 讲讲 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题考情考向分析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大热点一 范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例 1 已知N为圆C1：(x2)2y224 上一动点，圆心C1关于y轴的对称点为C2，点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且0，2.MPC2NC2NC2P(1)求点

2、M的轨迹方程；(2)直线l：ykxm与点M的轨迹只有一个公共点P，且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l与圆x2y28 相交于A，B两点，求PAB面积的取值范围解 (1)连接MC2，因为2，C2NC2P所以P为C2N的中点，因为0，MPC2N所以，MPC2N所以点M在C2N的垂直平分线上，所以|MN|MC2|，2因为|MN|MC1|MC2|MC1|24，6所以点M在以C1，C2为焦点的椭圆上，因为a，c2，所以b22，6所以点M的轨迹方程为1.x2 6y2 2(2)由Error!得(3k21)x26kmx3m260，因为直线l：ykxm与椭圆相切于点P，所以(6km)24(3k21)

3、 (3m26)12(6k22m2)0，即m26k22，解得x，y，3km 3k21m 3k21即点P的坐标为，(3km 3k21，m 3k21)因为点P在第二象限，所以k0，m0，所以m，6k22所以点P的坐标为，(3 2k3k21，23k21)设直线l与l垂直交于点Q，则|PQ|是点P到直线l的距离，且直线l的方程为yx，1 k所以|PQ|1 k3 2k3k2123k21|1 k212 2k3k44k212 23k21 k24，2 242 32 23162当且仅当 3k2，即k2时，|PQ|有最大值，1 k23362所以SPAB 4|PQ|44，1 223即PAB面积的取值范围为.(0，4

4、34思维升华 解决范围问题的常用方法3(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，利用数形结合法求解(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域跟踪演练 1 (2018衡水金卷信息卷)已知椭圆C：1(ab0)的一条切线方程为y2 a2x2 b2y2x2，且离心率为.232(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两个不同的点，与y轴交于点M，且3，AMMB求实数m的取值范围解 (1)由题意知，离心率e ，32c aca，ba，1，321 2y2 a24x2 a

5、2将y2x2代入，得 8x28x8a20，22由12832(8a2)0，得a24，故椭圆C的标准方程为x21.y2 4(2)根据已知，得M(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由Error!得(k24)x22mkxm240，且4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2，2km k24m24 k24由3，得x13x2，即x13x2，AMMB3(x1x2)24x1x20，0，12k2m2k2424m24k24即m2k2m2k240，当m21 时，m2k2m2k240 不成立，k2，4m2 m21k2m240，4m240，即0，4m2 m21(4m2

6、)m2m2110，解得k0)的焦点 4F，与抛物线相交于A，B两点，且|AB|8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点(1)解 由题意可设直线AB的方程为yx ，p 2由Error!消去y整理得x23px0，p2 469p248p20，p2 4令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，由抛物线的定义得|AB|x1x2p4p8，p2.抛物线的方程为y24x.(2)证明 设直线l1，l2的倾斜角分别为，由题意知，. 2直线l1的斜率为k

7、，则ktan .直线l1与l2的倾斜角互余，tan tan( 2)sin(2)cos(2)，cos sin 1 sin cos 1 tan 直线l2的斜率为 .1 k直线CD的方程为y8k(x12)，即yk(x12)8.由Error!消去x整理得ky24y3248k0，设C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD ，4 kxCxD24，4 k216 k点M的坐标为.(122 k28 k，2 k)以 代替点M坐标中的k，1 k可得点N的坐标为(122k28k,2k)，7kMN.2(1kk)2(1 k2k2)8(1 kk)1 1 kk4直线MN的方程为y2kx(122k28k)，1 1 kk4即

8、yx10，(1 kk4)显然当x10 时，y0，故直线MN经过定点(10，0).热点三 探索性问题1解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在2反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法例 3 (2018河南名校联考)已知椭圆C：1(ab0)的上、下焦点分别为F1，F2，y2 a2x2 b2上焦点F1到直线 4x3y120

9、的距离为 3，椭圆C的离心率e .1 2(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆E：1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为 0 的直线交椭圆E于A，B两点，y2 a23x2 16b2试问y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，PM(PA|PA|PB|PB|)说明理由解 (1)由已知椭圆C的方程为1(ab0)，y2 a2x2 b2设椭圆的焦点F1(0，c)，由F1到直线 4x3y120 的距离为 3，得3，|3c12| 5又椭圆C的离心率e ，所以 ，1 2c a1 28又a2b2c2，求得a24，b23.椭圆C的方程为1.y2 4x2 3(2)存在理由如下：由(1)得椭圆E：1，x

10、2 16y2 4设直线AB的方程为ykx1(k0)，联立Error!消去y并整理得(4k21)x28kx120，(8k)24(4k21)12256k2480.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.8k 4k2112 4k21假设存在点P(0，t)满足条件，由于，PM(PA|PA|PB|PB|)所以PM平分APB.所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.即0，y1t x1y2t x2即x2(y1t)x1(y2t)0.(*)将y1kx11，y2kx21 代入(*)式，整理得 2kx1x2(1t)(x1x2)0，所以2k0，12 4k211t 8k4k21整理得

11、 3kk(1t)0，即k(4t)0，因为k0，所以t4.所以存在点P(0,4)，使得.PM(PA|PA|PB|PB|)思维升华 解决探索性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在9(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径跟踪演练 3 (2018山东、湖北部分重点中学模拟)已知长轴长为 4 的椭圆1(ab0)过点P，点F是椭圆的右焦点x2 a2y2 b2(1，3 2)(1)求椭圆方程；(2)在x轴上是否存在定

12、点D，使得过D的直线l交椭圆于A，B两点设点E为点B关于x轴的对称点，且A，F，E三点共线？若存在，求D点坐标；若不存在，说明理由解 (1) 2a4， a2，将点P代入1，得b23.(1，3 2)x2 a2y2 b2椭圆方程为1.x2 4y2 3(2)存在定点D满足条件设D(t,0)，直线l方程为xmyt(m0)，联立Error!消去x，得(3m24)y26mty3t2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，y2)，Error!且0.由A，F，E三点共线，可得(x21)y1(x11)y20，即 2my1y2(t1)(y1y2)0， 2m(t1)0，3t212 3m246mt

13、3m24解得t4，此时由0 得m24.存在定点D(4,0)满足条件，且m满足m24.真题体验1(2017全国改编)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值10为_答案 16解析 因为F为y24x的焦点，所以F(1,0)由题意知，直线l1，l2的斜率均存在且不为 0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为 ，故直1 k线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y (x1)1 k由Error!得k2x2(2k24)xk20，16k2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21

14、，2k24 k2所以|AB|x1x2|1k21k2x1x224x1x2.1k2(2k24 k2)2441k2k2同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)41k2k24(1 k211k2)8484216，(k21 k2)当且仅当k2，1 k2即k1 时，取得等号2(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦x2 a2y2 b222距为 2.(1)求椭圆E的方程；11(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率32为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为24|MC|，OS

15、，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解 (1)由题意知，e ，2c2，所以c1，c a22所以a，b1，2所以椭圆E的方程为y21.x2 2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程Error!消去y，得(4k2)x24k1x10.2 13由题意知，0，且x1x2，x1x2，2 3k12k2 11122k2 11所以|AB|x1x2|.1k2 121k2 1 18k2 112k2 1由题意可知，圆M的半径r为r |AB|.2 32 231k2 1 18k2 12k2 11由题设知k1k2，所以k2，2424k1因此直线OC的方程为yx

16、.24k1联立方程Error!得x2，y2，8k2 1 14k2 11 14k2 1因此|OC|.x2y218k2 1 14k2 1由题意可知，sin.SOT 2r r|OC|11|OC|r12而|OC| r18k2 1 14k2 12 231k2 1 18k2 112k2 1，3 2412k2 114k2 1 1k2 1令t12k，则t1， (0,1)，2 11 t因此 1，|OC| r3 2t2t2t13 2121t1 t23 21(1t1 2)29 4当且仅当 ，即t2 时等号成立，此时k1，1 t1 222所以 sin ，因此，SOT 21 2SOT 2 6所以SOT的最大值为. 3综

17、上所述，SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1. 32213押题预测已知椭圆C1：1(a0)与抛物线C2：y22ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点Fx2 a2y2 3重合(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k0)的直线l，使得2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由|PN| |MQ|押题依据 本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题，体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查关注知识交汇，突出综合应用是高考的特色解 (1)因为C1，C2的焦点重合，所以 ，a23a 2所以a24.又a0，所以a2.于是

18、椭圆C1的方程为1，x2 4y2 3抛物线C2的方程为y24x.(2)假设存在直线l使得2，|PN| |MQ|当lx轴时，|MQ|3，|PN|4，不符合题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)由Error!可得k2x2(2k24)xk20，则x1x4，x1x41，且16k2160，2k24 k2所以|PN|1k2x1x424x1x4.41k2k2由Error!可得(34k2)x28k2x4k2120，则x2x3，x2x3，8k2 34k24k212 34k2且144k21440，所以|MQ|.1k2x

19、2x324x2x3121k234k214若2，|PN| |MQ|则2，41k2k2121k234k2解得k.62故存在斜率为k的直线l，使得2.62|PN| |MQ|A 组 专题通关1已知椭圆1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线x2 a2y2 b233y24x的焦点重合(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，求|AC|BD|的最小值解 (1)抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，所以c1，又因为e ，所以a，c a1 a333所以b22，所以椭圆的标准方程为1.x2 3y2 2(2)当直线BD的斜

20、率k存在且k0 时，直线BD的方程为yk(x1)，代入椭圆方程1，x2 3y2 2并化简得(3k22)x26k2x3k260.36k44(3k22)(3k26)48(k21)0 恒成立设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，6k2 3k223k26 3k22|BD|x1x2|1k2(1k2)x1x224x1x215.4 3(k21)3k22由题意知AC的斜率为 ，1 k所以|AC|.4 3(1 k21)3 1 k224 3(k21)2k23|AC|BD|43(k21)(1 3k221 2k23)20 3(k21)2(3k22)(2k23)20 3(k21)2(3k22)(2

21、k23)22.20 3(k21)225k212416 35当且仅当 3k222k23，即k1 时，上式取等号，故|AC|BD|的最小值为.16 35当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|BD|.10 3316 35综上，|AC|BD|的最小值为.16 352已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 ，点P在椭圆Cx2 a2y2 b21 3上，且PF1F2的面积的最大值为 2.2(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：ykx2(k0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|GN|，求点G的横坐标的取值范围解 (1)由已知得Error!解得a2

22、9，b28，c21，椭圆C的方程为1.x2 9y2 8(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)，点G(m，0)，使得|GM|GN|，则GEMN.由Error!得x236kx360，(89k2)由0，得kR R 且k0.16x1x2，36k 9k28x0，y0kx02.18k 9k2816 9k28GEMN，kGE ，1 k即 ，16 9k280 18k 9k28m1 km.2k 9k2829k8k当k0 时，9k 2128 k9 82，(当且仅当9k8 k，即k2 23时，取等号)m0)(1)证明：kb0)上(3，12)x2 a2y2 b2的一点，F1，F2是该

23、椭圆的左、右焦点，且|F1F2|2.3(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为18k1，k2，k，且k1k2k2.试探究|OA|2|OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解 (1)由题意知，F1(，0)，F2(，0)，33根据椭圆定义可知|MF1|MF2|2a，所以 2a 3 32(120)24， 3 32(120)2所以a24，b2a2c21，所以椭圆C：y21.x2 4(2)设直线AB：ykxm(km0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!消去y，得(14k2)x28kmx4m240，(8km)

24、216(m21)(4k21)0，x1x2，x1x2，8km 14k24m24 14k2因为k1k2k2，所以k2，kx1m x1kx2m x2即km(x1x2)m20(m0)，解得k2 .1 4|OA|2|OB|2xxyy2 12 22 12 2 (x1x2)22x1x25，5 4所以|OA|2|OB|25.B 组 能力提高5(2018衡水模拟)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，x2 a2y2 b2延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且

25、直线HA，HB分别与直线x3 交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由19解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)|DF2|3|F2E|，可得3，DF2F2E又(1，b)，(x1，y)，DF2F2EError!代入1，x2 a2y2 b2可得1，(4 3)2 a2(b 3)2 b2又a2b21，解得a22，b21，即椭圆C的标准方程为y21.x2 2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，H，M，( 2，0)(3，yM)N.(3，yN)由题意可设直线AB的方程为x

26、my1，联立Error!消去x，得(m22)y22my10，4m24(m22)0 恒成立Error!根据H，A，M三点共线，可得，yM3 2y1x1 2yM.y1(3 2)x1 2同理可得yN，y2(3 2)x2 2M，N的坐标分别为，(3，y1(3 2)x1 2) (3，y2(3 2)x2 2)k1k2yMyNyM0 31yN0 311 4 1 4y1(3 2)x1 2y2(3 2)x2 2y1y23 224(my11 2)(my21 2)y1y23 224m2y1y2(1 2)m(y1y2)(1 2)2.116 2m224m2 m222(1 2)m2m2232 2116 2m224 64

27、2m224 29820k1与k2之积为定值，且该定值是.4 2986(2018潍坊模拟)已知平面上动点P到点F的距离与到直线x的距离之比为(3，0)4 33，记动点P的轨迹为曲线E.32(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mxny1.设直线l与圆x2y21 交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；求与动直线l恒相切的定椭圆E的方程，并探究：若M(m，n)是曲线：Ax2By21(AB0)上的动点，是否存在与直线l：mxny1 恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由解 (1)设P(x，y)，由题意，得.(x 3)2y2|x4 33|3

28、2整理，得y21，x2 4曲线E的方程为y21.x2 4(2)圆心到直线l的距离d，1m2n2直线与圆有两个不同交点C，D，|CD|24.(11 m2n2)又n21(m0)，m2 4|CD|24.(14 3m24)|m|2，0m24，01 .4 3m243 4|CD|2(0，3，|CD|，(0， 3即|CD|的取值范围为.(0， 3当m0，n1 时，直线l的方程为y1；当m2，n0 时，直线l的方程为x .1 2根据椭圆对称性，猜想E的方程为 4x2y21.下面证明：直线mxny1(n0)与 4x2y21 相切，21其中n21，即m24n24.m2 4由Error!消去y得(m24n2)x22mx1n20，即 4x22mx1n20，4m21640 恒成立，从而直线mxny1 与椭圆(1n2)(m24n24)E：4x2y21 恒相切若点 M是曲线：Ax2By21上的动点，则直线 l：mxny1 与定曲线(m，n)(AB 0)：1恒相切x2Ay2B(AB 0)