可逆矩阵专题知识专业知识讲座.ppt

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1、高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。回忆回忆高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。问题的提出：问题的提出：的线性方程组是否可以象一元一次代一样求解?数方程即:高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档

2、如有不当之处，请联系本人或网站删除。可逆矩阵可逆矩阵.定义：定义：可逆矩阵也叫做非奇异矩阵非奇异矩阵或非退化矩阵非退化矩阵注：可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶的方阵。可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。那么称一一.可逆矩阵的定义：可逆矩阵的定义：高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例如例如 矩阵A,B互为可逆矩阵高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件现在的问题是

3、：在什么条件下矩阵现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆是可逆的？的？如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A-1？为此先引入伴随为此先引入伴随矩阵的概念矩阵的概念.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。定理定理称为称为 A A 的的伴随矩阵.证明:若A可逆,有两边取行列式,得从而求逆矩阵方法一：伴随矩阵法求逆矩阵方法一：伴随矩阵法高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。注:1)此定理适用于低

4、阶(2或3阶)矩阵的求逆.2)此定理在理论推导中非常有用.3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。中元素中元素中元素中元素 a aij ij 的代数余子式，矩阵的代数余子式，矩阵的代数余子式，矩阵的代数余子式，矩阵伴随矩阵伴随矩阵定义定义 设设设设 A Aij ij 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例1:判断下列矩阵是否可逆,

5、若可逆,求其逆矩阵解:高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例2 求矩阵A的逆矩阵，其中解解高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。逆矩阵的性质逆矩阵的性质定理定理2.4.2若矩阵可逆，则若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.证明若证明若B、C都是都

6、是A的逆矩阵，则的逆矩阵，则于是于是 性质性质2若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且事实上，这由等式事实上，这由等式 ，可以直接推出，可以直接推出.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。矩阵求逆运算规律矩阵求逆运算规律性质性质1若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。性质性质2两个两个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A、B的乘积的乘积AB可逆且可逆且证明由于证明由于

7、故故ABAB可逆，且可逆，且一般地，高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。性质性质3 3可逆矩阵可逆矩阵A A的转置矩阵可逆，且的转置矩阵可逆，且 证证性质性质4性质性质5高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且：都是可逆的，且：可逆矩阵与初等矩阵的关系可逆矩阵与初等矩阵的关系高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文

8、档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。定理定理2.4.5 n阶方阵阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是A可可写成初等矩阵的乘积写成初等矩阵的乘积定理定理2.4.4 n阶方阵阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩阵的充要条件是A可以可以经过初等变换化为单位矩阵经过初等变换化为单位矩阵高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。求逆矩阵方法二：初等变换法求逆矩阵方法二：初等变换法高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信

9、息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。所以所以 A 可逆，且可逆，且 高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例试判断试判断A是否可逆，若可逆求是否可逆，若可逆求从而知，从而知，A不可逆。不可逆。高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，

10、请联系本人或网站删除。（1）判断矩阵）判断矩阵A是否可逆，可直接对是否可逆，可直接对作初等作初等行行变换，若变换过程中，与变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有等价的矩阵中有一行为一行为0，就能判断，就能判断A不与不与I 等价，从而知等价，从而知A不可逆。不可逆。注意注意：（2）若作）若作阶分块矩阵阶分块矩阵只对分块矩阵只对分块矩阵单位矩阵时，单位矩阵时，作初等作初等列列变换，当可逆矩阵变换，当可逆矩阵A化为化为子块子块 I 就化成了就化成了高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。解解例如例如求利

11、用逆矩阵求解线性方程组求利用逆矩阵求解线性方程组(解矩阵方程解矩阵方程)|高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。如果矩阵A和C分别是m阶和n阶可逆矩阵，矩阵B是mn 阶矩阵，则1）矩阵方程 AX=B的解为2）矩阵方程 XA=B的解为3）矩阵方程 AXC=B的解为一般地一般地高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，

12、请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。四、逆矩阵的性质四、逆矩阵的性质性质性质1若若A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且性质性质2两个两个n阶可逆矩阵阶可逆矩阵A、B的乘积的乘积AB可逆且可逆且性质性质3 3可逆矩阵可逆矩阵A A的转置矩阵可逆，且的转置矩阵可逆，且 性质性质4性质性质5高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。1、利用可逆的充要条件，设法证明、利用可逆的充要条件，设法证明2、利用矩阵可逆的定义，若能验证则A可逆，且3、利用可逆矩阵的性质证明.证明矩阵A可逆的方法高高高高

13、 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例若方阵A满足A3=0，证明：可逆，且证：例例6 若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.证证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例 设设 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵(n 2),证明证明|A*|=|A|n-1.证证 由于由于 AA*=A*A=|A|I,所以所以|A|A*|=|A|n (4)下面分三种情形讨论下面分三种情形讨论:(1

14、)|A|0,即即 A 可逆可逆,(4)式两端除以式两端除以|A|即即得得|A*|=|A|n-1.(2)|A|=0,且且 A=O,则则 A*=O,结论显然成结论显然成立立.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。(3)|A|=0,但但 A O,反设反设|A*|0,则则 A*可逆可逆,因而因而 A=(AA*)(A*)-1=(|A|I)(A*)-1=|A|(A*)-1=O,故故 A=O,与与 A O 矛盾矛盾,所以所以,|A*|=0=|A|n-1.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息

15、仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例例 设设 n 阶阶矩阵矩阵 A,B,A+B 均可逆均可逆,证明证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.证证 将将 A-1+B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1+B-1=A-1(I+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(B+A)B-1.由可逆矩阵的性质可知由可逆矩阵的性质可知(A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(B+A)-1A.同理可证另一个等式也成立同理可证另一个等式也成立.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提

16、供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。克拉默法则的另一证法克拉默法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法推导法.线性方程组线性方程组可以写成可以写成AX=B.(6)高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。如果如果|A|0，那么，那么 A 可逆可逆.用用X=A-1B代入代入(6)，得恒等式，得恒等式 A(A-1B)=B，这就是说，这就是说 A-1B 是一解是一解.如果如果X=C是是(6)的

17、一个解，那么由的一个解，那么由AC=B得得A-1(AC)=A-1B，即即 C=A-1B.这就是说，解这就是说，解 X=A-1B 是唯一的是唯一的.用用 A-1 的公式的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。授课题目授课题目 4.2 可逆矩阵可逆矩阵授课时数授课时数：2课时课时教学目标教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式阵的性质，求逆矩阵的公式

18、 可逆矩阵的判定可逆矩阵的判定.教学重点教学重点：可逆矩阵的判定，求逆矩阵的公式：可逆矩阵的判定，求逆矩阵的公式,可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质.教学难点教学难点：逆矩阵的定义，伴随矩阵与矩阵的关系：逆矩阵的定义，伴随矩阵与矩阵的关系高高高高 等等等等 代代代代 数数数数本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。http:/61.146.118.6:8080/solver/classView.do?classKey=5853http:/61.146.118.6:8080/solver/classView.do?classKey=5853868868