2019高中数学 第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算2 向量的数乘学案 苏教版必修1.doc

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1、1向量的数乘向量的数乘一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数乘1. 掌握向量数乘的运算及其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理；3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义选择题填空题1. 向量的数乘要注意向量的“形”的应用；2. 向量的共线定理是很重要的一维空间定理，要重点掌握二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：向量数乘的运算及其几何意义。难点：难点：两向量共线的含义及共线定理。一、向量的数乘的定义一、向量的数乘的定义一般地，实数与向量a a的积是一个向量，记作a a，它的长度和方向规定如下：（1）|a a|a a|；（2）当0 时，a a与a a的方向相

2、同；当0 时，a a与a a的方向相反；当a a0时，a a0；当0 时，a a0。实数与向量a a相乘，叫做向量的数乘。【要点诠释要点诠释】向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量它的几何意义就是将表示向量a a的有向线段伸长的有向线段伸长或压缩或压缩。当|1 时，表示a a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为伸长为原来的|倍；当|1 时，表示a a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩小为缩小为原来的|倍。二、向量数乘的运算律二、向量数乘的运算律（1）（a a）（）a a；（2） （）a aa aa a；（3）（a ab b）a ab b。

3、三、向量数乘的作图三、向量数乘的作图已知a ，作ba 。当0时，把a 按原来方向变成原来的倍；当0时，把 a 按原来向量的相反方向变成原来的倍。【要点诠释要点诠释】2注意数零及零向量注意数零及零向量：00 ,00a实数与向量求积有意义，结果是一个向量向量，不能进行加减运算，比如, aa 是没有意义的。式子,0ba 时可以改写为1ab ，但一定不能改写成b a 或者1a b ，两个向量不定义除法运算。四、共线向量定理四、共线向量定理如果有一个实数，使b ba a（a a0） ，那么b b与a a是共线向量；反之，如果b b与a a（a a0）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得b ba a。【

4、要点诠释要点诠释】准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据。理解时应注意以下几点：（1）定理本身包含了正反正反两个方面：若存在一个实数，使b ba a（a a0） ，则a a与b b共线；反之，若a a与b b共线（a a0） ，则必存在一个实数，使b ba a。（2）定理中，之所以限定a a0 0 是由于若a ab b0 0，虽然仍然存在，可是不唯一，定理的正反两个方面不成立。（3）若若a a，b b不共线，且不共线，且a ab b，则必有，则必有0。 【随堂练习随堂练习】已知O是平面上一定点，, ,A B C是平面上不共

5、线的三个点，动点 P 满足(),0,+ABACOPOA ABAC ，则 P 的轨迹一定通过ABC的_。 外心 内心 重心 垂心思路分析：思路分析：根据向量的减法和数乘以及几何意义解决。答案：答案：由()ABACOPOA ABAC 得()()ABACABACOPOAAP ABACABAC 设,)ABACADAE ABAC ，则()APADAE 以AE，AD为邻边构造平行四边形AEFD，则ADAEAF 所以APAF ，所以APAF 与共线。 所以P的轨迹一定通过ABC的内心3【重要提示重要提示】注意：注意：aa为与a 同向的单位向量。在判断图形情况时注意向量的运算以及向量运算的几何图形几何图形的应

6、用。例题例题 1 1 （向量数乘的基本运算）（向量数乘的基本运算）设向量a a3i i2j j，b b2i ij j，求（1 3a ab b）（a a2 3b b）（2b ba a） 。思路分析：思路分析：去括号合并共线向量化简。答案：答案：原式1 3a ab ba a2 3b b2b ba a（1 311）a a（12 32）b b5 3a a5 3b b5 3（3i i2j j）5 3（2i ij j）（510 3）i i（10 35 3）j j5 3i i5j j。技巧点拨：技巧点拨：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数

7、与向量的乘积中同样适用同样适用，但是在这里的“同类项” 、 “公因式”指向量，实数看做是向量的系数向量的系数。例题例题 2 2 （向量的表示）（向量的表示）如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA 3a a，CB 2b b，求CD ， CE 。思路分析：思路分析：由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量AD ， AE 均可以由向量AB 表示，而向量AB 可由向量CA ，CB 表示，从而问题可解。答案：答案：CA 3a a，CB 2b b，AB CB CA 2b b3a a，又D，E为边AB的两个三等分点，所以AD 1 3AB 2 3b ba a，所以CD

8、CA AD 3a a2 3b ba a2a a2 3b b，CE CA AE 3a a2 3AB 43a a2 3（2b b3a a）a a4 3b b。技巧点拨：技巧点拨：用已知向量表示未知向量的求解思路：（1）先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；（2）然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；（3）求解过程体现了数学上的化归思想。如图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DMCD，延长BE到N使BEEN，求证：M，A，N三点共线。思路分析：思路分析：本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题。答案：答案：在AMC中，D为MC的中点，2AD AM AC ，又D是AB的中点，2AD AB ，AB AM AC ，AM AB AC CB ，同理可证AN AC AB BC ，AM AN ，AM ，AN 共线且有公共点A，A，M，N三点共线。技巧点拨：技巧点拨：1. 用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量。 2. 解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论。