2019高中数学 第一章1.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修2-2.doc

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1、11.41.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例学习目标：1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？提示(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：大度、宽度应大于 0，销售价为正数等基础自测1已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为

2、yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为1 3( )A7 万件 B9 万件C11 万件D13 万件B B 设yf(x)，即f(x)x381x234.1 3故f(x)x281.令f(x)0，即x2810，解得x9 或x9(舍去)当 0x9 时，f(x)0，函数yf(x)单调递增；当x9 时，f(x)0，函数yf(x)单调递减因此，当x9 时，yf(x)取最大值故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件2炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油2温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )1 3【导学

3、号：31062069】A8 B20 3C1D8C C 由题意，f(x)x22x(x1)21，0x5，x1 时，f(x)的最小值为1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是1.3做一个容积为 256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A6 mB8 mC4 mD2 mC C 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h256，所以h.所用材料的面积设为256 x2S m2，则有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0，256 x2256 4 x256 4 x2得x8，因此h4(m)256 644某一件商品的成本为 30 元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200x)件，当每件商品的

4、定价为_元时，利润最大. 【导学号：31062070】解析 利润为S(x)(x30)(200x)x2230x6 000，S(x)2x230，由S(x)0，得x115，这时利润达到最大答案 115合 作 探 究攻 重 难面积、体积的最值问题请你设计一个包装盒，如图 141，ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)3图 141(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x

5、应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.由已知得ax，h(30x)，0x30.2602x22(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15 时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)22由V0，得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20 时，V取得极大值，也是最大值此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为 .h a1 21 2规律方法 1立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在

6、此基础上解决与实际相关的问题.2解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练1周长为 20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3. 【导学号：31062071】解析 设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm(0x10)由题意可知圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3.V20x3x2，令V(x)0，得x0(舍去)或x，20 34且当x时，V(x)0，(0，20 3)当x时，V(x)0，(20 3，10)当x时，V(x)max cm3.20 34 000 2

7、7答案 4 000 27用料最省、成本(费用)最低问题为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设f(x)为隔热层建造费k 3x5用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值思路探究 (1)由C(0)8 可求k的值从而求出f(x)的表达式(2)求导数式f(x)的最小值解

8、 (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)(0x10)，再由C(0)8，得k 3x5k40，因此C(x).40 3x5而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)40 3x5800 3x5(2)f(x)6，2 400 3x52令f(x)0，即6，2 400 3x52解得x5 或x(舍去)25 3当 00，故x5 是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.800 155当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元5规律方法 1.用料最省、成本费用最低问题是日常生活中常见的问题之一，

9、解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0 时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大小值.跟踪训练2甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是Pv4v315v，1 19 2001 160(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值. 【导学号：3

10、1062072】解 (1)QP400 v(1 19 200v41 160v315v)400 v400(1 19 200v31 160v215)v26 000(00，v80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80)(元)2 000 3利润最大、效率最高问题探究问题1在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值2你能列举几个有关利润的等量关系吗？6提示：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数某商场销售某种商品的经验表明，该商品每

11、日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中 3x6，a为常数，已知a x3销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大思路探究 (1)根据x5 时，y11 求a的值(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值解 (1)因为x5 时，y11，所以 1011，a2.a 2(2)由(1)知，该商品每日的销售量y10(x6)2，2 x3所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6，2

12、x310x62从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值 42由上表可得，x4 是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当x4 时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大母题探究：(变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1x12)满足：当 1x4 时，ya(x3)2，(a，b为常数)；当 4x12 时，y100.已b x12

13、800 x知当销售价格为 2 元/千克时，每日可销售出该特产 800 千克；当销售价格为 3 元/千克时，每日可售出 150 千克(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为 1 元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特7产所获利润f(x)最大，(2.65)7解 (1)由题意：x2 时y800，ab800，又x3 时y150，b300，可得a500.yError!，(2)由题意：f(x)y(x1)Error!，当 1x4 时，f(x)500(x3)2(x1)300500x33 500x27 500x4 200，f(x)500(3x5)(x3)，由f(x)

14、0，得 x3，5 3f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，(1，5 3)(5 3，3)f450f(4)1 800，(5 3)8 000 9当x4 时有最大值，f(4)1 800当 4x12 时，f(x)(x1)2 900100x2 9004001 840，(2 800 x100)2 800 x7当且仅当 100x，即x25.3 时取等号，2 800 x7x5.3 时有最大值 1 840，1 8001 840，当x5.3 时f(x)有最大值 1 840，即当销售价格为 5.3 元的值，使店铺所获利润最大规律方法 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润收入成本”建立函数关系式，再利用

15、导数求最大值.解此类问题需注意两点：价格要大于或等于成本，否则就会亏本；销量要大于0，否则不会获利.当 堂 达 标固 双 基1某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)x2(00，此时V(x)单调递增；当 40x60 时，V(x)0，此时V(x)单调递减，所以V(40)是V(x)的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为 40.2某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)( )A30 元B60 元C28 000 元D23 000 元D D 设毛利润为L(

16、p)，由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30 或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30 附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件 30元时，最大毛利润为 23 000 元3做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是 27，且用料最省，则水桶的底面半径为_. 【导学号：31062074】解析 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所

17、以27 r2Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得27 r254 r54 r2r3.当 0r3 时，S0；当r3 时，S0，所以当r3 时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省答案 34某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为 0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_解析 存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收9益是 0.048kx2，x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0

18、.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0 得x0.032 或x0(舍去)，又当 0x0.032 时，y0；当 0.032x0.048 时，y0，所以当x0.032 时，y取得最大值答案 0.0325用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 设长方体的宽为x m，则长为 2x m，高为h(4.53x)m(0x )1812x 43 2故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m3.(0x3 2)从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x0(舍去)或x1，因此x1.当 0x1 时，V(x)0；当 1x 时，V(x)0，3 2故在x1 处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值从而最大体积VV(1)9126133(m)3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.故当长方体的长为 2 m，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.