2019高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析（1）学案 苏教版选修1-2.doc

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1、- 1 -2.1.32.1.3 推理案例赏析推理案例赏析学习目标 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力知识链接1归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向2类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证3合情推理与演绎推理有何异同之处？答

2、合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程预习导引1数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程2合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据要点一 运用归纳推理探求结论例 1

3、已知数列的前 4 项为 ，1， ， ，试写出这个数列的一个通项公式3 27 109 17解 把已知 4 项改写为 ， ， ，记此数列的第n项为an，则有a1，a23 25 57 109 172 11 121- 2 -，a3，a4，.2 21 2212 31 3212 41 421据此猜测an.2n1 n21规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化跟踪演练 1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为_答案 n2解析 前 4 个图中小等边三角形的个数分别为 1,4,9,1

4、6.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.要点二 运用类比推理探求结论例 2 RtABC中，C90，CDAB于D，则BC2BDBA(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥PABC(如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥PABC中，作PO平面ABC，连结OB，OC，猜想下列结论：SSOBCSABC.2PBC证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.PAPB，PAPCPA平面PBC.PD平面PBC，BC平面PBC，PAPD，PABC.- 3 -PO平面ABC，AD平面ABC，BC平面ABC，POAD，POBC.BC平面PAD.BCAD，BCPD.S(BCPD)2BC2PD

5、2，2PBC1 21 4SOBCSABCBCODBCAD1 21 2BC2ODAD.1 4PD2ODAD，SSOBCSABC.2PBC规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠跟踪演练 2 如图，设ABC中，BCa，ACb，ABc，BC边上的高ADh.扇形A1B1C1中，l，半径为R，ABC的面积可通过下列公式计算：(1)Sah；1 2(2)SbcsinBAC.1 2运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假(1)_；(2)_答案 (1)SlR 真命题1 2(2)SR2sinA1 假命题1 2要点三 运用演绎推理证明结论

6、的正确性例 3 在数列an中，a12，an14an3n1，nN N*.(1)求证数列ann是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn；(3)求证不等式Sn14Sn恒成立(nN N*)(1)证明 由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN N*.A 11BC- 4 -4 (nN N*)an1(n1) ann数列ann是以a11，即 211 为首项，以 4 为公比的等比数列(2)解 由(1)可知ann4n1，ann4n1.Sna1a2an(140)(241)(n4n1)(12n)(144n1) 4n .n(n1) 21 31 3(3)证明 由(2)知，Sn14Sn 4n1 4 4n

7、(n1)(n2) 21 31 3n(n1) 21 31 32n(n1)10，Sn14Sn恒成立(nN N*)(n1)(n2) 2(n1)(3n4) 2规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提跟踪演练 3 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR R，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为 R R 上的单调增函数证明 设x1，x2R R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)yf(x)为

8、 R R 上的单调增函数.1一个数列的第 2 项到第 4 项分别是 3，据此可以猜想这个数列的第一项是1521_答案 3解析 a2，96 23a3，156 33a4，216 43猜想a1.6 1332在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形运用类比，可猜想在空间有如下命题：_.答案 球内接平行六面体一定是长方体- 5 -3设xi0 (iN N*)，有下列不等式成立，x1x22；x1x2x33，类比x1x23x1x2x3上述结论，对于n个正数x1，x2，xn，猜想有下述结论_答案 x1x2xnnnx1x2xn4已知a，bN N*，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则_.f(2) f(1)f(3

9、) f(2)f(2015) f(2014)答案 4028解析 令b1，则f(a1)f(a)f(1)，f(1)2.f(a1) f(a)222220144028.f(2) f(1)f(3) f(2)f(2015) f(2014)1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程2合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向一、基础达标1有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第 6 个图案中有底纹的正六边形的个数是_答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a16，d5，a66(61)531.2观察下列不等式：1 ，1 1

10、,1 ，1 2,1 ，1 21 21 31 21 31 73 21 21 31 151 21 31 315 2由此猜测第n个等式为_(nN N*)答案 1 1 21 31 2n1n 23已知数列an的前n项和为Sn，且Snn21.则此数列的前 4 项分别为- 6 -a1_，a2_，a3_，a4_.据此猜测，数列an的通项公式为an_.答案 2 3 5 7 Error!4正方形ABCD中，对角线ACBD.运用类比的方法，猜想正方体ABCDA1B1C1D1中，相关结论：_.答案 对角面AA1C1C面BB1D1D5如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)0.因为函数f(x) 是奇函数，所以f(0)0.

11、这段1 x演绎推理错误的原因是_答案 大前提错误6已知ABC中，ADBC于D，三边是a，b，c，则有accosBbcosC；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体PABC中，ABC，PAB，PBC，PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角PABC，PBCA，PACB的度数分别是，则S_.答案 S1cosS2cosS3cos7已知等式：tan30tan30tan30tan30，33tan20tan40tan20tan40，33tan15tan45tan15tan45.33据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想解 猜想：tantantantan，33其中60.证明：tan()，ta

12、ntan 1tantan即.3tantan 1tantan整理，得tantantantan.33二、能力提升8已知等式：(tan51)(tan401)2；(tan151)(tan301)2；(tan251)(tan201)2.据此可猜想出一个一般性命题：_.答案 (tan1)tan(45)129设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s0，t0，都有f(s)f(t)log2(24)，所以f1(x)M.对于f2(x)2x1：2s12t1(2st1)(2s1)(2t1)n0，p)上，椭圆的离心率是e，则 .x2 m2y2 n2m2n2sinAsinC sinB1 e将该命题类比到双曲线中，

13、给出一个命题：_.答案 平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线1(m，n0，p)上，双曲线的离心率为e，则x2 m2y2 n2m2n2|sinAsinC| sinB1 e11已知等差数列an的公差d2，首项a15.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律解 (1)a15，d2，Sn5n2n(n4)n(n1) 2(2)Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.T15，T2422218，T3432339，T4442468，T54525105.S15

14、，S22(24)12，S33(34)21，S44(44)32，S55(54)45.由此可知S1T1，当 2n5，nN N 时，SnTn.归纳猜想：当n1 时，SnTn；当n2，nN N 时，SnTn.12在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高- 8 -证明如下：设P为正三棱锥ABCD底面上任一点，点P到平面ABC，ACD，ABD的距离分别为h1，h2，h3，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：VPABCVPACDVPABDVDABC.即：S

15、ABCh1SACDh2SABDh31 31 31 3SABCh.1 3SABCSACDSABD，h1h2h3h，此即要证的结论三、探究与创新13记Sn为数列an的前n项和，给出两个数列：()5,3,1，1，3，5，7，()14，10，6，2,2,6,10,14,18，(1)对于数列()，计算S1，S2，S4，S5；对于数列()，计算S1，S3，S5，S7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足akak10 的这一类等差数列an的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明解 (1)对于数列()，S1S55，S2S48；对于数列()，S1S714，S3S530.(2)对于等差数列an，当akak10 时，猜想SnS2kn(n2k，n，kN N*)下面给出证明：设等差数列an的前项为a1，公差为d.akak10，a1(k1)da1kd0，2a1(12k)d.又S2knSn(2kn)a1dna1d(2kn)(2kn1) 2n(n1) 2(kn)(12k)d0.S2knSn，猜想正确(2kn)(2kn1)2n(n1)2