(完好版)直线与圆知识点及经典例题(含答案).docx

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1、(完好版)直线与圆知识点及经典例题(含答案)圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆一圆的标准方程222()()xaybr-+-=这个方程叫做圆的标准方程。王新敞讲明：1、若圆心在坐标原点上，这时0ab=，则圆的方程就是222xyr+=。2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，进而确定了圆，所以，只要,abr三个量确定了且r0，圆的方程就给定了。就是讲要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定,abr，能够根据条件，利用待定系数法来解决。二圆的一般方程将圆的标准方程222)()(rbyax

2、=-+-,展开可得02222222=-+-+rbabyaxyx。可见，任何一个圆的方程都能够写成:220xyDxEyF+=问题：形如220xyDxEyF+=的方程的曲线是不是圆？将方程022=+FEyDxyx左边配方得：22224()()22DEDEFxx+-+=1当FED422-+0时，方程1与标准方程比拟，方程022=+FEyDxyx表示以(,)22DE-为圆224DEF+-,3当FED422-+0时，方程022=+FEyDxyx没有实数解，因此它不表示任何图形。圆的一般方程的定义：当224DEF+-0时，方程220xyDxEyF+=称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：12x和2y的系数

3、一样，不等于零；2没有xy这样的二次项。三直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类1相离-求距离；(2)相切-求切线；3相交-求焦点弦长。2、直线与圆的位置关系判定方法：几何方法主要步骤：1把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径2利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离3作判定:当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线与圆相切;当d0时，直线与圆相交。【典型例题】类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判定点)4,2(P与圆的关系变式1：求过两点)4,1(A、)2,3(B且被直线0=y平分的圆的标准方程.变式2：求过两点)4,1(A

4、、)2,3(B且圆上所有的点均关于直线0=y对称的圆的标准方程.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判定点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：待定系数法设圆的标准方程为222)()(rbyax=-+-圆心在0=y上，故0=b圆的方程为222)(ryax=+-又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点?=+-=+-22224)3(16)1(rara解之得：1-=a，202=r所以所求圆的方程为20)1(22=+yx解法二：直接求出圆心坐标和半径由于圆过)4,1(

5、A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又由于13124-=-=ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23-=-xy即01=+-yx又知圆心在直线0=y上，故圆心坐标为)0,1(-C半径204)11(22=+=ACr故所求圆的方程为20)1(22=+yx又点)4,2(P到圆心)0,1(-C的距离为rPCd=+=254)12(22点P在圆外例2：求过三点O0，0，M1，1，N4，2的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。解：设圆的方程为：x2y2DxEyF0，将三个点的坐标代入方程?=+=+=02024020FEDFEDF?F0，D-

6、8，E6?圆方程为：x2y2-8x6y0配方：x-42y3225?圆心：4，-3，半径r5例3求经过点)5,0(A，且与直线02=-yx和02=+yx都相切的圆的方程分析：欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解：圆和直线02=-yx与02=+yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-yx和02=+yx的距离相等5252yxyx+=-两直线交角的平分线方程是03=+yx或03=-yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03=-yx上设圆心)3,(ttCC到直线02=+yx的距离等于

7、AC，22)53(532-+=+tttt化简整理得0562=+-tt解得：1=t或5=t圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3()1(22=-+-yx或125)15()5(22=-+-yx讲明：此题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，进而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4已知圆422=+yxO：，求过点()42，P与圆O相切的切线解：点()42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为()42+-=xky根据rd=21422=+-kk.解得43=k，所以()

8、4243+-=xy，即01043=+-yx由于过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2=x讲明：上述解题经过容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解此题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决也要注意漏解还能够运用200ryyxx=+，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解例5两圆0111221=+FyExDyxC：与0222222=+FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的经过太繁为了避免求交点，能够采用“设而不求的

9、技巧解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：010*=+FyExDyx0202022020=+FyExDyx得：0)()(21021021=-+-+-FFyEExDDA、B的坐标知足方程0)()(212121=-+-+-FFyEExDD方程0)()(212121=-+-+-FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-FFyEExDD讲明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，固然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念到达了目的从解题的角度上讲，这是一种

10、“设而不求的技巧，从知识内容的角度上讲，还体现了对曲线与方程的关系的深入理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例6、求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy-+=相切的直线l的方程解：设切线方程为1(3)ykx-=-，即310kxyk-+=，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，2=，解得34k=-，切线方程为31(3)4yx-=-，即34130xy+-=，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为3x=，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x=也合适题意。所以，所求的直线l的方程是34130xy+-=或3x=类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=-yxl被圆04

11、2:22=-+yxyxC截得的弦AB的长.例8、直线0323=-+yx截圆422=+yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d，故弦长2222=-=drAB，进而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3=AOB.例9、求两圆0222=-+-+yxyx和522=+yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+yx和圆422=+yx，判定此直线与已知圆的位置关系.例11、若直线mxy+=与曲线24xy-=有且只要一个公共点，务实数m的取值范围.解：曲线24xy-=表示半圆)0(422=+yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22=25210，直线与

12、圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(=-+rrdrd.例16(1)已知圆1)4()3(221=-+-yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd+=的最大、最小值(2)已知圆1)2(222=+yxO：，),(yxP为圆上任一点求12-xy的最大、最小值，求yx2-的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离1d加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径1所以6143221=+=d4143222=-+=d所以36max=d16

13、min=d(2)设kxy=-12，则02=+-kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如下图，两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222=+-=kkkd，得433=k所以12-xy的最大值为433+，最小值为433-令tyx=-2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152=-=md，得52-=m所以yx2-的最大值为52+-，最小值为52-例17：已知)0,2(-A，)0,2(B，点P在圆4)4()3(22=-+-yx上运动，则22PBPA+的最小值是.解：设),(yxP，则828)(2)2()2(222222222+=+=+-+=+OPyxyxyxPBPA.设圆心为)4,3(C，则325min=-=-=rOCOP，22PBPA+的最小值为268322=+?.