概率统计条件概率.ppt

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1、2012年5月概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率主讲教师：李金波 第一章 二、二、乘法公式乘法公式一一、条件概率条件概率第四节第四节 条件概率条件概率三、三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 定义定义引例引例：取一副牌，随机地取一张取一副牌，随机地取一张(1)问抽中的是问抽中的是K的概率的概率(2)若已知抽中的是红桃，问抽中的是若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率的概率解解 (1)一、条件概率一、条件概率B抽中的是抽中的是K(2)A抽中的是红桃抽中的是红桃B抽中的是抽中的是K定义定义 条件概率条件概率分析：分析：即求即求结论：结论：对一

2、般古典概型问题，设对一般古典概型问题，设分别表示分别表示试验试验E，事件事件AB，事件事件A所包含的基本事件数，则有：所包含的基本事件数，则有：定义：定义：(严格的数学定义严格的数学定义)设设A,B为两事件，且为两事件，且称称为事件为事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率。条件概率的性质条件概率的性质条件概率条件概率满足概率公理化定义中的三个条件。满足概率公理化定义中的三个条件。3.(可列可加性可列可加性)设设是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件则则证证互不相容互不相容另：另：条件概率也同时满足概率的条件概率也同时满足概率的6个性质个性质例如：例如：和事件和事件逆

3、事件逆事件 计算条件概率计算条件概率(1)在缩减样本空间中求事件概率在缩减样本空间中求事件概率(2)利用定义利用定义(公式公式)(4,1),(4,2),(4,3)(3,1),(3,2),(3,4)(2,1),(2,3),(2,4)S=(1,2),(1,3),(1,4)例例1 盒子里有盒子里有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，一只二等品，只一等品，一只二等品，试验试验 E：依次取两只，做无放回抽样依次取两只，做无放回抽样.事件事件 A:第一次取第一次取得一等品；得一等品；事件事件 B:第二次取得一等品，求第二次取得一等品，求解解 法一（缩减样本空间）法一（缩减样本空间）间间S，将，将产品编号

4、，产品编号，1,2,3为一等品为一等品,4号为二等品号为二等品,表示第一次，第二次分别取到表示第一次，第二次分别取到 i号，号，j号。号。为了能具体写出为了能具体写出E的样本空的样本空由由引例的结论得：引例的结论得：法二（公式法）法二（公式法）由条件概率的公式由条件概率的公式例例2 设一批产品的一、二、三等品各占设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的的概率。概率。解解 则由则由已知得已知得定理定理 设设，则有则有，则有则有推广推广 三维三维n 维维其中其中其中其中二、乘法公式二、乘法公

5、式证明证明 左面左面n 维维其中其中右面右面例例3.假设某学校学生四级英语考试的及格率为假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，其中其中70%的学生通过六级英语考试的学生通过六级英语考试,试求从该校随机试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率。的选出一名学生通过六级考试的概率。解解 设设 A=“通过四级英语考试通过四级英语考试”B=“通过六级英语考试通过六级英语考试”由由题意题意,可知可知例例4.为了防止意外,在矿井中同时安装两种报警系统 A与B,每种系统单独使用时,其有效概率分别为A 为0.92,B 为0.93,在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85,求1)B 失灵的条件下,

6、A 有效的概率2)发生意外时,A 与 B 至少有一个有效的概率解:设 A“A 系统有效”，B“B 系统有效”由题意:1)例例4.为了防止意外,在矿井中同时安装两种报警系统 A与B,每种系统单独使用时,其有效概率分别为A 为0.92,B 为0.93,在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85,求1)B 失灵的条件下,A 有效的概率2)发生意外时,A 与 B 至少有一个有效的概率解:2)例例5.设一个班中设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等？票的机率是否相等？解解 设设“第第 名学生抓到电影票名学生抓到电影票”所以抓阄决定谁去看电影是公平的。

7、所以抓阄决定谁去看电影是公平的。例例6.某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解解 设设表示第表示第i次次拨通所需电话；拨通所需电话；表示不超过三次而接通所需电话；表示不超过三次而接通所需电话；例例7.一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3

8、次内取到合格品的概率“第 次抽到合格品”解解:设1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容例例7.一批零件共100件,其中有10 件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1)若依次抽取3 次,求第3 次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次内取到合格品的概率 解解:(方法二)利用对立事件“三次都取到次品”下利用条件概率求做321解解即即且且西西如图所示如图所示。有三个有三个箱子，分别编号为箱子，分别编号为1,2,3,箱内所放东箱内所放东球，求取得红球的概率球，求取得红球的概率.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一1.引例引

9、例三、全概率公式与贝叶斯三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式由于故2.事件的划分事件的划分定义定义 设设 S 是随机试验是随机试验E 的样本空间的样本空间若：若：（互斥性）互斥性）（完备性）完备性）则称则称是是样本空间样本空间 S 的一个的一个划分划分。例如例如 设试验设试验 E 为为“掷骰子观察其点数掷骰子观察其点数”。样本空间为。样本空间为其中其中，是是 S 的一个划分。的一个划分。不是不是 S 的一个划分。的一个划分。，而而3.全概率公式全概率公式设设随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S，A 为为 E 的任意一的任意一定理定理个事件个事件,为为 S 的一个划分的一个划分

10、,，则有，则有称为称为全概率公式全概率公式。去构造这一组去构造这一组 Bi 往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于全概率公式的理论和实用意义在于:在较复杂情况下计在较复杂情况下计算算P(A)不易不易,但但 A 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现，出现，所以适当地所以适当地例例8 假设有甲、乙两袋，甲袋中有假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球个白球2个红球，乙个红球，乙袋中有袋中有2个个红球红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，再从再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？解解 设设 A 表

11、示从乙中取到白球，表示从乙中取到白球，B1 表示从甲中取到白表示从甲中取到白 球，球，B2 表示从甲中取到红球表示从甲中取到红球,B1，B2 为为S的一个划分，的一个划分，由全概率公式得由全概率公式得某厂生产的仪器每台以某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，的概率可以出厂，以以 0.3 的概率需要进一步调试，的概率需要进一步调试，经经调试后以调试后以 0.8 的概率的概率可以出厂，可以出厂，以以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。的概率为不合格品，不能出厂。求每求每台台仪器能出厂的概率。仪器能出厂的概率。例例9解解设设 B “仪器能出厂仪器能出厂”A1 “仪器需要调试仪器需要调试”A

12、2 “仪器不需要调试仪器不需要调试”引例引例从如图所示的箱子中任取一球,发现是红球,问它是取自一号箱的概率.解解 设=“球取自i 号箱”=“取得红球”运用全概率公式计算P(A)4.4.贝叶斯贝叶斯BayesBayes公式公式321运用全概率运用全概率公式计算公式计算P(A)定理定理设设随机试验随机试验 E 的样本空间为的样本空间为S,A 为为 E 的任意的任意一个事件一个事件,为为S 的一个划分的一个划分,且且则则，称此式为，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例10.解解:分别表示他乘火车,汽车,轮船,飞机设 A=“他来迟了”由题意,则某人从外地来参加会议,他乘火车,汽车,轮船或飞机来的概率为如

13、果他乘飞机来不会迟到;而乘火车,轮船或汽车来迟的概率为试求:1)他来迟的概率2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？下求例例10.1)由全概率公式2)由贝叶斯公式乘火车的可能性最大已知已知“结果结果”求求“原因原因”全概率公式全概率公式寻找导致寻找导致 A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式贝叶斯公式是在观察到事件是在观察到事件 A 已发生的条件下，已发生的条件下，注：注：全概率公式全概率公式是在已知导致事件是在已知导致事件A 的每个原因发的每个原因发生的概率的条件下，求事件生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。发生的概率。已知已知“原因原因”求求“结结果果”贝叶斯公式贝叶斯

14、公式例例11.设某设某工厂甲工厂甲,乙乙,丙丙 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,产量产量依次占全厂的依次占全厂的45,35,20,且各车间的合格品率为且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出现在从待出厂的产品中检查出1个次品个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设设 A 表示表示“任取一件产品为次品任取一件产品为次品”由由题意得题意得由由贝叶斯贝叶斯公式公式所以该产品是甲车间生产的可能性最大。所以该产品是甲车间生产的可能

15、性最大。用用全全概率公式概率公式求求得得作业作业321页页 3,4,5例例12.在电报系统中，不断发出在电报系统中，不断发出“0”和和“1”，发，发“0”和和“1”的的概率为概率为0.6和和0.4，发，发“0”分别以分别以0.7,0.1和和 0.2接受为接受为“0”“1”和模糊信息和模糊信息“X”，发发“1”分别以分别以 0.85,0.05和和 0.1接收接收“1”,“0”和模糊信息和模糊信息“X”，试求：试求：收到信息为模糊信息的概率。收到信息为模糊信息的概率。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。分析分析发信息发信息 收信息收信息“0”“0”0.7“1”0

16、.1“X”0.20.6“1”“1”0.05“0”0.85“X”0.10.4解解设设Ai 表示表示“发出的信息为发出的信息为“i”，i=0,1Bi 表示表示“收到的信息为收到的信息为“i”，i=0,1,X，所以应为所以应为“0”信息好。信息好。解解例例13设设 A A 表示表示“顾客买下所察看的一箱顾客买下所察看的一箱”第一章 二、多个事件相互独立二、多个事件相互独立 一一、两个事件相互独立、两个事件相互独立 第五节第五节事件的相互独立性事件的相互独立性三、伯努利概型三、伯努利概型 考虑：考虑：在在什么条件下成立？什么条件下成立？可知可知B 表示表示“乙乙掷出掷出偶数点偶数点”A 表示表示“甲掷

17、出偶数点甲掷出偶数点”引例引例 掷甲乙两枚掷甲乙两枚骰子，骰子，一一、两个事件相互独立、两个事件相互独立 定义定义1设设A、B是两个事件，如果有如下等式成立是两个事件，如果有如下等式成立则称则称事件事件A、B相互独立相互独立。定理定理 设设 A、B是两个事件是两个事件 若若，则，则A、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为 若若A、B 相互独立相互独立,都相互独立。都相互独立。证证 若若 相互独立相互独立,则有则有反之由乘法公式反之由乘法公式 若若，则，则A、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为定理定理 当当时，互不相容与相互独立时，互不相容与相互独立不能同时成立

18、。不能同时成立。证证 A、B互不相容互不相容反之反之 A、B 相互独立相互独立则则，故，故A、B不可能互不相容。不可能互不相容。其余同理可证。其余同理可证。若若A、B 相互独立相互独立,注：区分互不相容、相互独立注：区分互不相容、相互独立例例1.1.甲,乙两人的命中率为0.5 和 0.4,现两人独立地向目标射击一次,解解:设A=“甲射击一次命中目标”的概率是多少?B=“乙射击一次命中目标”C=“目标被命中”则 相互独立,且已知目标被命中,则它是乙命中二、二、多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性引例引例 在在考试中，考试中，表示表示“第第i个学生得个学生得100分分”i=1,2,n则则是是相

19、互独立的。相互独立的。若若下面四个等式同时成立下面四个等式同时成立定义定义2则称则称A,B,C相互独立相互独立，如果只有前三个等式成立，则称如果只有前三个等式成立，则称A,B,C两两相互独立两两相互独立。注：事件注：事件(n2)相互独立相互独立事件两两相互独立事件两两相互独立推广推广 n 个事件相互独立（个事件相互独立（参考书参考书27页页）定理定理 若若相互独立相互独立,则则其中任意其中任意 k 个事件个事件也相互独立。也相互独立。则则其中任意其中任意 k 个事件个事件的的对立事件与其它的事件组成的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相个事件也相互互独立。独立。例例2.2.解解:由题意两

20、两独立故A,B,C不相互独立现有四张卡片，如图所示现从中任取一张,设分别表示抽到写有数字的卡片,试判定事件之间的关系例例3 A,B,C,D连接方式如图，连接方式如图，LRACBD各各继电器闭合与否是独立的，继电器闭合与否是独立的，且且闭合的概率均为闭合的概率均为P，求，求R至至L为为通路的概率。通路的概率。解解 设设A,B,C,D分别表示分别表示A,B,C,D闭合闭合表示表示“LR通路通路”则则由独立性由独立性例例4 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙的的命中率分别为命中率分别为0.4、0.5、0.7，只一人击中飞机，飞机，只一人击中飞机，飞机

21、被被击落的概率为击落的概率为0.2；两人同时击中，飞机被击落的概率；两人同时击中，飞机被击落的概率为为0.6；三人击中飞机，飞机被击落的概率为；三人击中飞机，飞机被击落的概率为1，求，求 “飞机被击落飞机被击落”的概率的概率 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率解解 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”表示表示“飞机被飞机被i个人同时击中个人同时击中”i=1,2,3是是S的的一个划分一个划分分别表示分别表示“甲、乙、丙命中甲、乙、丙命中”用全用全概率公式概率公式 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”表示表示“飞机被飞机被i个人同时击落个人同时击落”i

22、=0,1,2,3 用用Bayes公式公式 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率例例5 设设，问问A、B是否独立？是否独立？解解整理得整理得A，B独立独立例例6 某仪器有某仪器有3个灯泡，个灯泡，烧坏第一、第二、第三个灯泡烧坏第一、第二、第三个灯泡的的概率分别为概率分别为0.1,0.2,0.3.当当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.25.烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.6.烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.9.求仪器发生故障

23、的概率求仪器发生故障的概率.解解 设设 Ak 表示表示“恰有恰有 k 个灯泡烧坏个灯泡烧坏”，k=1,2,3.B表示表示“仪器发生故障仪器发生故障”.解解 设设 Ak 表示表示“恰有恰有 k 个灯泡烧坏个灯泡烧坏”，k=1,2,3.B表示表示“仪器发生故障仪器发生故障”.所以所以例例7 甲乙两人乒乓球比赛甲乙两人乒乓球比赛,每局甲胜的概率为每局甲胜的概率为p(p0.5),对甲而言对甲而言,采用三局两胜制有利采用三局两胜制有利,还是采用五局三胜制有还是采用五局三胜制有利？（各局胜负相互独立）利？（各局胜负相互独立）解解 三局两胜三局两胜所以甲最终获胜的概率为所以甲最终获胜的概率为 五局三胜五局三

24、胜 甲获胜甲获胜:“甲甲甲甲”、“乙甲甲乙甲甲”、“甲乙甲甲乙甲”甲获胜：甲获胜：“甲甲甲甲甲甲”“乙甲甲甲乙甲甲甲”、“甲乙甲甲甲乙甲甲”、“甲甲乙甲甲甲乙甲”“甲乙甲乙甲甲乙甲乙甲”、“乙甲甲乙甲乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲乙甲乙甲甲”“乙乙甲甲甲乙乙甲甲甲”、“甲乙乙甲甲甲乙乙甲甲”、“甲甲乙乙甲甲甲乙乙甲”五局三胜五局三胜 所以甲最终获胜的概率为所以甲最终获胜的概率为比较比较和和当当，对甲采用五局三胜制有利；对甲采用五局三胜制有利；当当时，时，两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。注：注：相互独立事件至少发生一次的概率计算相互独立事件至少发生一次的概率计算 区分

25、事件的互斥性和独立性；区分事件的互斥性和独立性；若若事件事件 A1，A2，An 相互独立相互独立,则则 一般根据实际背景判断事件的独立性。一般根据实际背景判断事件的独立性。例例6 6设每门炮设每门炮射击一飞机的命中率为射击一飞机的命中率为 0.6,现有若干现有若干门炮门炮同时独立地对飞机进行一次射击，同时独立地对飞机进行一次射击，问问需要多少门需要多少门炮炮才能以才能以 0.99 的把握击中一飞机。的把握击中一飞机。解解 设需要设需要 n 门炮。门炮。Ak“第第 k 门炮击中飞机门炮击中飞机”B “飞机被击落飞机被击落”故故至少需要至少需要 6门炮才能以门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。的

26、把握击中飞机。三、三、伯努利伯努利概型概型（概率论中最早研究的模型之一，也（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）由它推导）n重独立试验重独立试验在在相同的条件下对试验相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立的，则称这结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的。伯努利概型伯努利概型设设随机试验随机试验E只有只有两种可能结果，且两种可能结果，且将将试验试验E独立地重复进行独立地重复进行n次，则称这次，则称这n次试验次试验为为n重伯努利试验重伯

27、努利试验，或称，或称n重伯努利概型重伯努利概型。例例1：某人打靶单发命中率为某人打靶单发命中率为现独立重复射现独立重复射击击3次，求恰好命中次，求恰好命中2发的概率。发的概率。解解表示表示“第第i次命中次命中”表示表示“恰好命中两次恰好命中两次”定理（伯努利定理）定理（伯努利定理）P24n重伯努利试验中重伯努利试验中,“事件事件 恰好发生恰好发生k次次”,即即的概率为：的概率为：例例1 某人射击每次命中的概率为某人射击每次命中的概率为 0.7,现独立射击现独立射击 5次，求正好命中次，求正好命中 2 次的概率。次的概率。解解例例2从从学校乘汽车去火车站一路上有学校乘汽车去火车站一路上有 4 个

28、交通岗，个交通岗，到到各个岗遇到红灯是相互独立的，各个岗遇到红灯是相互独立的，且且概率均为概率均为0.3,求求某人从学校到火车站途中某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。次遇到红灯的概率。解解 途中遇到途中遇到 4次经交通岗为次经交通岗为4重贝努利试验，其中重贝努利试验，其中例例3.袋袋中装有中装有30只红球只红球,70只蓝球只蓝球,现从袋中有放现从袋中有放回地回地抽取抽取5 次次,每次取每次取1 只球只球,试求试求:1)取出的取出的5只球中恰有只球中恰有 2 只红球的概率只红球的概率;2)取出的取出的5只球中至少有只球中至少有 2 只红球的概率；只红球的概率；解解:取到红球的取到红球的概率为概率为0.3,5 次次取球取球相互独立相互独立故为故为5 重重伯努里概伯努里概型型,设设 X 为取到红球的次数为取到红球的次数1)2)在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现特大洪水的可能性。特大洪水的可能性。假定该处每年出现特大洪水的概率假定该处每年出现特大洪水的概率都是都是 0.1，且且特大洪水的出现是相互独立的，特大洪水的出现是相互独立的，求在求在今后今后10年内至少出现两次特大洪水的概率。年内至少出现两次特大洪水的概率。解解 设设 A “出现洪水出现洪水”“不出现洪水不出现洪水”例例4各位同学，未讲解到位的地方各位同学，未讲解到位的地方