2019版高中数学 第一章1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3.doc

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1、11.3.11.3.1 二项式定理二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点 二项式定理及其相关概念思考 1 我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式答案 (ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考 2 能用类比方法写出(ab)n(nN N*)的展开式吗？答案 能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN N* *)0n1nk nn n梳理二项式定理公式(ab)nCanCan1bCan

2、kbkCbn，称为二项式定理0n1nk nn n二项式系数C (k0,1，n)k n通项Tk1Cankbkk n二项式定理的特例(1x)nC CxCx2CxkCxn0n1n2nk nn n1(ab)n展开式中共有n项( )2在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响( )3Cankbk是(ab)n展开式中的第k项( )k n4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同( )类型一 二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求4的展开式(3x1x)考点 二项式定理题点 运用二项式定理求展开式2解 方法一 4(3)4C (3)3C (3)22C (3)(3x1x)x1 4x(1x)2 4x(1x

3、)3 4x3C481x2108x54.(1x)4 4(1x)12 x1 x2方法二 44(13x)41C 3xC (3x)2C (3x)3C (3x)4(3x1x)(3x1x)1 x21 x21 42 43 44 4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.1 x21 x212 x(2)化简：C (x1)nC (x1)n1C (x1)n2(1)kC (x1)nk(1)nC .0n1n2nk nn n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (x1)nC (x1)n1(1)C (x1)n2(1)2C (x1)nk(1)0n1n2nk nkC (1)n(x1)(1

4、)nxn.n n引申探究若(1)4ab(a，b为有理数)，则ab_.33答案 44解析 (1)41C ()1C ()2C ()3C ()31 432 433 434 43414181292816，a28，b16，ab281644.333反思与感悟 (1)(ab)n的二项展开式有n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减 1 直到 0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练 1 化简：(2x1)55(2

5、x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (2x1)5C (2x1)4C (2x1)3C (2x1)2C (2x1)C (2x1)0 51 52 53 54 55 50(2x1)15(2x)532x5.类型二 二项展开式通项的应用命题角度1 二项式系数与项的系数例 2 已知二项式10.(3x2 3x)(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项3考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 10的展开式的通项是(3x2 3x)Tk1C(3)10kkC310kk1

6、0 3 2k x(k0,1,2，10)k10x(2 3x)k10(2 3)(1)展开式的第 4 项(k3)的二项式系数为 C120.3 10(2)展开式的第 4 项的系数为 C37377 760.3 10(2 3)(3)展开式的第 4 项为T4T3177 760.x反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C (k0,1,2，n)，它与二项展开式中某一k n项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第k1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 C .例如，在k n(12x)7的展开式中，第四项是T4C 173(2x)3，其二项式系数

7、是 C 35，而第四项的系3 73 7数是 C 23280.3 7跟踪训练 2 已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)(1)求n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T3C ()n224C6 2n x ，2nx(2 x)2nT2C ()n12C3 2n x ，1nx(2 x)1n依题意得 4C 2C 162，所以 2C C 81，2n1n2n1n所以n281，nN N*，故n9.(2)设第k1 项含x3项，则Tk1C ()9kk(2)kC9 3 2k x ，所以k9x(2 x)k

8、93，k1，93k 2所以第二项为含x3的项为T22Cx318x3.1 9二项式系数为 C 9.1 9命题角度2 展开式中的特定项例 3 已知在n的展开式中，第 6 项为常数项(3x33x)4(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项解 通项公式为Tk1C3n k x (3)k3k xC (3)k2 3nk x .k nk n(1)第 6 项为常数项，当k5 时，有0，即n10.n2k 3(2)令2，得k (106)2，102k 31 2所求的系数为 C(3)2405.2 10(3)由题意得，Error!令t(tZ

9、 Z)，102k 3则 102k3t，即k5t.kN N，3 2t应为偶数令t2,0，2，即k2,5,8.第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 405x2，61 236,295 245x2.反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型求第k项，TkCank1bk1；求含xk的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理k1n项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

10、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练 3 (1)若9的展开式中x3的系数是84，则a_.(xa x)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 15解析 展开式的通项为Tk1Cx9k(a)kkk9(1 x)C (a)kx92k(0k9，kN N)k9当 92k3 时，解得k3，代入得x3的系数，根据题意得 C (a)384，解得a1.3 9(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则n的二项展开式的常数项是(x2 x)_考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 160解析 由题意得n6，

11、Tk12kCx62k，k6令 62k0 得k3，常数项为 C 23160.3 61(x2)n的展开式共有 11 项，则n等于( )A9 B10 C11 D8考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 因为(ab)n的展开式共有n1 项，而(x2)n的展开式共有 11 项，所以n10，故选 B.212C 4C 8C (2)nC 等于( )1n2n3nn nA1 B1 C(1)n D3n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 C解析 逆用二项式定理，将 1 看成公式中的a，2 看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.3.n的展开式中，常数项为 15

12、，则n的值为( )(x21 x)A3 B4 C5 D6考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数6答案 D解析 展开式的通项为Tk1C (x2)nk(1)kk(1)kCx2n3k.令 2n3k0，得k n(1 x)k nnk(n，kN N*)，若k2，则n3 不符合题意，若k4，则n6，此时(1)3 24C 15，所以n6.4 64在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )(x13x)A3 项 B4 项 C5 项 D6 项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 C解析 24的展开式的通项为Tk1C()24kkC5126kx，故当(x13x)k

13、24x(13x)k24k0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共 5 项5求二项式()9展开式中的有理项x3x考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 Tk1C91 2k x 1 3k x(1)kC 27 6k x ，令Z Z(0k9)，得k3 或k9k927k 6k9，所以当k3 时，4，T4(1)3Cx484x4，27k 63 9当k9 时，3，T10(1)9Cx3x3.27k 69 9综上，展开式中的有理项为84x4与x3.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记 Cankbk是展开式的第k1 项，不要误认为是第k项k n3求解特定项时必须合并通项公式中同一

14、字母的指数，根据具体要求，令其为特定值一、选择题1S(x1)44(x1)36(x1)24x3，则S等于( )Ax4 Bx417C(x2)4 Dx44考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 A解析 S(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1C (x1)4C (x1)3C (x1)0 41 42 42C (x1)C (x1)14x4，故选 A.3 44 42设 i 为虚数单位，则(1i)6展开式中的第 3 项为( )A20i B15iC20 D15考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式中的特定项答案 D解析 (1i)6展开式中的第 3 项为 C i215.2 63(xy

15、)10的展开式中x6y4的系数是( )2A840 B840C210 D210考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 在通项公式Tk1C(y)kx10k中，令k4，即得(xy)10的展开式中x6y4的k1022系数为 C()4840.4 1024在n的展开式中，若常数项为 60，则n等于( )(x2x)A3 B6C9 D12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 Tk1C ()nkk2kC3 2nk x .k nx(2 x)k n令0，得n3k.n3k 2根据题意有 2kC60，验证知k2，故n6.k3k5若(13x)n(n

16、N N*)的展开式中，第三项的二项式系数为 6，则第四项的系数为( )A4 B278C36 D108考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 D解析 Tk1C (3x)k，由 C 6，得n4，从而T4C (3x)3，故第四项的系数为k n2n3 4C 33108.3 46在二项式1 2 1 412nx x 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A5 B4C3 D2考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为 1，C ，C 2，由其成等差数列，可得1n1 22n(1 2)2C 1C 2

17、n1，所以n8(n1 舍去)所以展开式的通项Tk1C1n1 22n(1 2)nn18k8k344k x.若为有理项，则有 4Z Z，所以k可取 0,4,8，所以展开式中有理项的项数为(1 2)3k 43.7设函数f(x)Error!则当x0 时，f(f(x)表达式的展开式中常数项为( )A4 B6C8 D10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式，得f(f(x)f()4，x(1xx)Tk1C (1)kxk2.k4令k20，则k2，故常数项为 C (1)26.2 4二、填空题8.7的展开式中倒数第三项为_(2x1 x2)9考点 二项展开式中的特

18、定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 84 x8解析 由于n7，可知展开式中共有 8 项，倒数第三项即为第六项，T6C (2x)25C 22.5 7(1 x2)5 71 x884 x89若(x1)nxnax3bx2nx1(nN N*)，且ab31，那么n_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 11解析 aC，bC.ab31，n3nn2n ，即3，Cn3n Cn2nC3n C2n3 1nn1n226nn1解得n11.10已知正实数m，若x10a0a1(mx)a2(mx)2a10(mx)10，其中a8180，则m的值为_考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定

19、项或特定项的系数求参数答案 2解析 由x10m(mx)10，m(mx)10的二项展开式的第 9 项为 Cm2(1)8(mx)8 108，a8Cm2(1)8180，8 10则m2.又m0，m2.11使n(nN N*)的展开式中含有常数项的最小的n为_(3x1x x)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 5解析 展开式的通项公式Tk1C (3x)nkk，k n(1x x)Tk13nkC5 2nkx，k0,1,2，n.k n令nk0，nk，5 25 210故最小正整数n5.三、解答题12若二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B4A，求a的值(xax

20、)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 Tk1Cx6kk(a)kC362k x，k6(ax)k6令 63，则k2，得AC a215a2；3k 22 6令 60，则k4，得BC a415a4.3k 24 6由B4A可得a24，又a0，a2.13已知在n的展开式中，第 9 项为常数项，求：(1 2x21x)(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为Tk1Cnkk(1)knkC522nkx.k n(1 2x2)(1x)(1 2)k n(1)因为第 9 项为常数

21、项，即当k8 时，2nk0，5 2解得n10.(2)令 210k5，得k (205)6.5 22 5所以x5的系数为(1)64C.(1 2)6 10105 8(3)要使 2nk，即为整数，只需k为偶数，由于k0,1,2,3，9,10，故符合要5 2405k 2求的有 6 项，分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项四、探究与拓展14设a0，n是大于 1 的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点(1x a)Ai(i，ai) (i0,1,2)的位置如图所示，则a_.11考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知A0(0,1)，A1(1

22、,3)，A2(2,4)即a01，a13，a24.由n的展开式的通项公式知Tk1Ck(k0,1,2，n)(1x a)k n(x a)故3，4，解得a3.C1n aC2n a215设f(x)(1x)m(1x)n的展开式中含x项的系数是 19(m，nN N*)(1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的最小值；(2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值时，求f(x)的展开式中含x7项的系数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知mn19，所以m19n，含x2项的系数为 C C CC2m2n219n2n19n18n2nn12n219n1712.(n19 2)323 4因为nN N*，所以当n9 或n10 时，x2项的系数的最小值为281.(1 2)323 4(2)当 n9，m10 或 n10，m9 时，x2项的系数取最小值，此时 x7项的系数为CC CC 156.7 107 93 102 9