2019版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5.doc

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1、13.23.2 均值不等式均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)基础初探教材整理 1 均值不等式阅读教材 P69P71，完成下列问题.1.重要不等式如果a，bR R，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”).2.均值不等式abab 2(1)均值不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；ab 2ab(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何

2、平均数.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)对任意a，bR R，a2b22ab，ab2均成立.( )ab(2)若a0，则a 24.( )4 aa4a(3)若a0，b0，则ab.( )(ab 2)2(4)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.( )ab 2ab(5)若ab1，a0，b0，则ab的最小值为 2.( )【解析】 (1).任意a，bR R，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立.ab2(2).只有当a0 时，根据均值不等式，才有不等式a 24 成立.4 aa4a(3).因为，所以ab.abab 2(ab 2)2(4).因为不等式a2b22ab成立的条件

3、是a，bR R；而成立的条件是ab 2aba，b均为非负实数.(5).因为a0，b0，所以ab22，当且仅当ab1 时取等号，故ab的ab最小值为 2.【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)教材整理 2 均值不等式的应用阅读教材 P70例 1P71例 3，完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.( )(2)若a0，b0 且ab4，则ab4.( )(3)当x1 时，函数f(x)x2，所以函数f(x)

4、的最小值是 2.( )1 x1x x1x x1(4)如果 log3mlog3n4，则mn的最小值为 9.( )(5)若x，yR R，且x4y1，则xy的最大值为.( )1 16【解析】 (1).由均值不等式求最值条件可知.(2).因为 2，所以ab4.abab 24 2(3).因为当x1 时，x10，则f(x)x(x1)121 x11 x113.x11 x1当且仅当x1，即x2 时，函数f(x)的取到最小值 3.1 x1(4).因为由 log3mlog3n4，得mn81 且m0，n0，而9，mn 2mn所以mn18，当且仅当mn9 时，mn取到最小值 18.3(5).因为x，yR R，而 4x

5、y ，所以xy.(x4y 2)2(1 2)21 41 16当且仅当x4y，即x ，y 时取等号.1 21 8【答案】 (1) (2) (3) (4) (5)小组合作型利用均值不等式比较代数式的大小(1)已知a，b，c是两两不等的实数，则pa2b2c2与qabbcca的大小关系是_.(2)给出下列命题：若xR R，则x 2；1 x若a0，b0，则 lg alg b2；lg alg b若a0，b0，则ab2；1 ab不等式 2 成立的条件是x0 且y0.其中正确命题的序号是_.y xx y【精彩点拨】 (1)由于p是平方和的形式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键

6、是弄清均值不等式适用的条件.【自主解答】 (1)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac).即a2b2c2abbcac，亦即pq.(2)只有当x0 时，才能由均值不等式得到x 22，故错误；当a0，b01 xx1x时，lg aR R，lg bR R，不一定有 lg a0，lg b0，故 lg alg b2不一lg alg b定成立，故错误；当a0，由均值不等式可得ab22，故1 abab1 ab正确；由均值不等式可知，当 0， 0 时，有 22 成立，这时只需x与yy xx yy xx yy xx y4同号即可，故错误.【答案】 (

7、1)pq (2)1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是aba0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR R，等号成立的条件是ab.再练一题1.设a0，b0，试比较，的大小，并说明理由. ab 2aba2b2 22 1 a1 b【导学号：18082044】【解】 a0，b0， ，1 a1 b2ab即(当且仅当ab时取等号)，ab2 1 a1 b又(ab 2)2a22abb2 4，a2b2a2b2 4a2b2 2(当且仅当ab时等号成立)，ab 2a2b2 2而，故(当且仅当ab时等号

8、成立).abab 2a2b2 2ab 2ab2 1 a1 b不等式的证明已知a，b，c为不全相等的正实数.求证：abc.abbcca【精彩点拨】 【自主解答】 a0，b0，c0，5ab20，bc20，ca20.abbcca2(abc)2()，abbcca即abc.abbcca由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立.abc.abbcca1.所证不等式一端出现“和式” ，而另一端出现“积式” ，这便是应用均值不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.2.利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征

9、是以“已知”看“可知” ，逐步推向“未知”.3.利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.再练一题2.已知a0，b0，ab1，求证：9.(11 a)(11 b)【证明】 法一：因为a0，b0，ab1，所以 1 12 .同理 1 2 .1 aab ab a1 ba b故(11 a)(11 b) (2b a)(2a b)52549.(b aa b)所以9(当且仅当ab 时取等号).(11 a)(11 b)1 2法二：1 1

10、1，(11 a)(11 b)1 a1 b1 abab ab1 ab2 ab因为a，b为正数，ab1，所以ab ，于是4，8.(ab 2)21 41 ab2 ab因此189(当且仅当ab 时等号成立).(11 a)(11 b)1 26均值不等式的实际应用如图 321，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 图 321【导学号：18082045】【精彩点拨】 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题是在 4x6y36 的前提下求xy的最大值.【自主解答】 设每间虎笼长x m

11、，宽y m，则由条件知，4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于 2x3y22，2x3y6xy所以 218，得xy，6xy27 2即Smax，当且仅当 2x3y时，等号成立.27 2由Error!解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.法二：由 2x3y18，得x9y.3 2x0，00.S.3 26yy 2227 2当且仅当 6yy，即y3 时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大.1.在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量

12、，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；7(4)正确写出答案.2.对于函数yx (k0)，可以证明x(0，及，0)上均为减函数，在k xkk，)及(，上都是增函数.求此函数的最值时，若所给的范围含，可kkk用均值不等式，不包含就用函数的单调性.k再练一题3.某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用 12 万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加 4 万元.该船每年捕捞总收入 50 万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平

13、均利润最大，最大是多少？【解】 (1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则y50n9812 nnn12 42n240n982(n10)2102，当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元.(2)年平均利润为 2y n(n49 n20)212，(2n49n20)当且仅当n，即n7 时上式取等号.49 n当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元.探究共研型利用均值不等式求最值探究 1 由x2y22xy知xy，当且仅当xy时“”成立，能说xy的最x2y2 2大值是吗？能说x2y2的最小值为 2xy吗？x2y2 2【提示】 最值是一个定值(常数)，而x2y2或 2xy都随x，y的变化而

14、变化，不是定值，故上述说法均错误.要利用均值不等式(a，bR R)求最值，必须保证一端ab 2ab是定值，方可使用.探究 2 小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：8“因为yx 22，当且仅当x ，即x21 时“”号成立，所以1 xx1x1 xyx 的最小值为 2.”你认为他的求解正确吗？为什么？1 x【提示】 不正确.因为利用均值不等式求最值，必须满足x与 都是正数，而本题x1 x可能为正，也可能为负.所以不能盲目“套用”均值不等式求解.正确解法应为：当x0 时，yx 22，当且仅当x ，即x1 时取“” ，yx 的最小值是 2；当1 xx1 x1 x1 xx0，求f(x)的最大

15、值；2x x21(4)已知x0，y0，且 1，求xy的最小值.1 x9 y【精彩点拨】 变形所求代数式的结构形式，使用符合均值不等式的结构特征.(1)4x24x53.1 4x51 4x5(2)x(12x) 2x(12x).1 21 4(3).2x x212x1x9(4)xy(xy)1(xy).(1 x9 y)【自主解答】 (1)x0，5 4y4x23231，1 4x5(54x1 54x)当且仅当 54x，即x1 时，上式等号成立，1 54x故当x1 时，ymax1.(2)00，1 2y 2x(12x) .1 41 4(2x12x 2)21 41 41 16当且仅当 2x12x，即x 时，yma

16、x.(0 0，x 22，1 xx1xf(x) 1，当且仅当x ，即x1 时等号成立.2 21 x(4)x0，y0， 1，1 x9 yxy(xy) 1061016，(1 x9 y)y x9x y当且仅当 ，又 1，y x9x y1 x9 y即x4，y12 时，上式取等号.故当x4，y12 时，(xy)min16.1.本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形.2.应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形.3.利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的

17、“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性.10再练一题4.已知a0，b0，若不等式 恒成立，则m的最大值等于( )2 a1 bm 2abA.10 B.9 C.8 D.7【解析】 a0，b0，2ab0，要使 恒成立，只需m(2ab)2 a1 bm 2ab恒成立，而(2ab)41549，当且仅当ab时，等号成立.(2 a1 b)(2 a1 b)2a b2b am9.故应选 B.【答案】 B1.已知a0，b0，且ab2，则( )A.abB.ab1 21 2C.a2b22D.a2b2

18、3【解析】 由ab2，得ab1，排除选项 A，B.由2，得(ab 2)2a2b2 2(ab 2)a2b22.【答案】 C2.已知x1，y1 且 lg xlg y4，则 lg xlg y的最大值是( )A.4 B.2 C.1 D.1 4【解析】 x1，y1，lg x0，lg y0，lg xlg y4，当(lg xlg y 2)2且仅当 lg xlg y2，即xy100 时取等号.【答案】 A3.函数ylog2(x1)的最小值为( )(x1 x15)A.3 B.3 C.4 D.4【解析】 x5(x1)6268，当且仅当1 x11 x1x11 x1x2 时，取“” ，11log23，ymin3.(x

19、1 x15)【答案】 B4.若正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.【解析】 a0，b0，abab323，即ab230，解得abab3，即ab9.ab【答案】 9，)5.(1)当x 时，求函数yx的最大值；3 28 2x3(2)设 0x2，求函数y的最大值.x42x【解】 (1)y (2x3)1 28 2x33 2 .(32x 28 32x)3 2当x 时，有 32x0，3 224，32x 28 32x32x 28 32x当且仅当，即x 时取等号.32x 28 32x1 2于是y4 ，故函数的最大值为 .3 25 25 2(2)0x2，2x0，y，x42x2x2x2x2x 22当且仅当x2x，即x1 时取等号，当当x x1 1 时，函数时，函数y y的最大值为的最大值为. .x x4 42 2x x2 2