2019年中考数学真题试题（含解析） 新人教版新版(3).doc

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1、33320192019年中考数学真题试题年中考数学真题试题（考试时间：120 分钟满分：120 分）注意事项：1. 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，请在答题卡上作答，在试卷上作答无效。2. 答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项。3. 不能使用计算器，考试结束前，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）1. -3 的倒数是A. -3B. 3C. -1D. 1【答案】C【考点】倒数定义，有理数乘法的运算律，【解析】根据倒数的

2、定义，如果两个数的乘积等于 1，那么我们就说这两个数互为倒数.除 0以外的数都存在倒数。因此-3 的倒数为-1【点评】主要考察倒数的定义2.下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是【答案】A【考点】中心对称图形【解析】在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180后，能与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。【点评】掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3.2018 年俄罗斯世界杯开幕式于 6 月 14 日在莫斯科卢日尼基球场举行，该球场可容纳 81000名观众，其中数据 81000 用科学计数法表示为（）A. 81103B. 8.1104C. 8.1

3、105D. 0.81105【答案】B【考点】科学计数法【解析】81000 8.1104 ，故选 B【点评】科学计数法的表示形式为a 10n的形式，其中1 a 10,n为整数4.某球员参加一场篮球比赛，比赛分 4 节进行，该球员每节得分如折线统计图所示，则该球员平均每节得分为（）A.7 分B.8 分C.9 分D.10 分【答案】 B【考点】求平均分【解析】12 4 10 6 84【点评】本题考查用折线图求数据的平均分问题5. 下列运算正确的是A. a(a1)a21B. (a2)3a5C. 3a2a4a3D. a5a2a3【答案】D【考点】整式的乘法；幂的乘方；整式的加法；同底数幂的除法【解析】选

4、项 A 错误，直接运用整式的乘法法则，用单项式去乘多项式的每一项，再把结果相加，可得 a(a1)a2a；选项 B 错误，直接运用幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得(a2)3a6； 选项 C 错误，直接运用整式的加法法则，3a2 和 a 不是同类项，不可以合并；选项 D 正确，直接运用同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得 a5a2a3【点评】本题考查整式的四则运算，需要记住运算法则及其公式，属于基础题。6.如图，ACD 是ABC 的外角，CE 平分ACD ，若 A =60，B =40，则 ECD 等于（）A.40B.45C.50D.55【答案】C【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义【

5、解析】ABC 的外角ACD A B 60 40 100 ,又因为CE 平分ACD ， 所以ACE ECD 1 ACD 1 100 50.22【点评】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和7. 若mn ，则下列不等式正确的是【答案】B【考点】不等式的性质【解析】A：不等式两边同时减去一个相等的数，不等式的符号不改变错误B：不等式两边同时除以一个相等的正数，不等式的符号不改变正确C：不等式两边同时乘以一个相等的正数，不等式的符号不改变错误D：不等式两边同时乘以一个相等的负数，不等式的符号改变错误【点评】本题目考察了对于不等式性质的理解与判断，属于基础题目8.从 2,1,2 这三个数中任取两个不

6、同的数相乘，积为正数的概率是A.2B. 1 32C.1 3D.1 4【答案】C【考点】概率统计、有理数乘法【解析】总共有三个数字，两两相乘有三种情况；根据同号得正，异号得负，而只有 2 与2x2x2(x2(x1相乘时才得正数，所以是 1 3【点评】此题目考察了对于概率统计基本概念的理解以及有理数乘法的判断9.将抛物线 y1 26x21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为A. y1 8)25B. y14)252(x2(x C. y1 8)23D. y14)232(x【答案】D2(x【考点】配方法；函数图像的平移规律；点的平移规律；【解析】方法 1：先把解析式配方为顶点式，再把顶点平移

7、。抛物线 y1 26x21 可配方1 2(x6)23，顶点坐标为(6,3)因为图形向左平移 2 个单位，所以顶点向左平移 2 个单位，即新的顶点坐标变为(4,3)，而开口大小不变，于是新抛物线解析式为 y14)23方法：直接运用函数图像左右平移的“左加右减”法则。向左平移个单位，即原来解析式中所有的“x”均要变为“x2”，于是新抛物线解析式为 y12)26(x2)21，整理得 y1 24x11，配方后得 y1 4)232x2(x【点评】本题可运用点的平移规律，也可运用函数图像平移规律，但要注意的是二者的区别： 其中点的平移规律是上加下减，左减右加；而函数图像的平移规律是上加下减，左加右减。10

8、.如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为A. B. C. 2D. 22【答案】 D成 y【考点】等边三角形的性质与面积计算、扇形的面积计算公式.【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即S 阴影=3S 扇形-2SABC .602由题意可得，S 扇形=22=. 3603要求等边三角形 ABC 的面积需要先求高. 如下图，过 AD 垂直 BC 于 D,可知，在 RtABD 中 ，sin60= AD = AD ， AB2所

9、以 AD=2sin60=，所以 SABC= 1 BCAD= 1 2=. 22所以 S 阴影=3S 扇形-2SABC=3 2 -2=2-2. 3故选 D.【点评】求不规则图形面积关键是转化到规则图形中应用公式求解。11.某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率.设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为A. 80(1 + ): = 100B. 100(1 ): = 80C. 80(1 + 2) = 100D. 80(1 + :) = 100【答案】 A【考点】由实际问题抽象出一元二次方程B.C.D.【解析】由题意知，蔬菜产量

10、的年平均增长率为 ，根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为80(1 + )吨，2018 年蔬菜产量为80(1 + ) (1 + )吨. 预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，即80(1 + )(1 + ) = 100，即80(1 + ): = 100.故选 A.【点评】此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键是在于理清题目的意思， 找到 2017 年和 2018 年的产量的代数式，根据条件找出等量关系式，列出方程.12.如图，矩形纸片 ABCD，AB4，BC3，点 P 在 BC 边上，将CDP 沿 DP 折叠，点 C落在点 E 处，PE、DE 分

11、别交 AB 于点 O、F，且 OPOF，则 cosADF 的值为11131517 13151719【答案】C【考点】折叠问题：勾股定理列方程，解三角形，三角函数值【解析】由题意得：RtDCPRtDEP，所以 DCDE4，CPEP在 RtOEF 和 RtOBP 中，EOFBOP，BE，OPOFRtOEFRtOBP(AAS)，所以 OEOB，EFBP设 EF 为 x，则 BPx，DFDEEF4x，又因为 BFOFOBOPOEPEPC，PCBCBP3xA.所以，AFABBF4(3x)1x在 RtDAF 中，AF2AD2DF2，也就是(1x)232(4x)233317 解之得，x5，所以 EF5，DF

12、45 5 AD15 最终,在 RtDAF 中，cosADFDF17【点评】本题由题意可知，RtDCPRtDEP 并推理出 RtOEFRtOBP，寻找出合适的线段设未知数，运用勾股定理列方程求解，并代入求解出所求cos 值即可得。二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13.要使二次根式【答案】 x 5x 5 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 【考点】二次根式有意义的条件.【解析】根据被开方数是非负数，则有 x 5 0 ， x 5 .【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键14.因式分解： 2a2 2= .【答案】2a 1a 1【考点】因

13、式分解【解析】2a2 2 2a2 1 2a 1a 1步骤一：先提公因式 2 得到： 2a2 1 ，步骤二：再利用平方差公式因式分解得到结果： 2a 1a 1【点评】此题目考察了对于因式分解的基本判断与认识，属于基础题目15. 已知一组数据6 ，x ，3，3，5，1的众数是 3和 5， 则这组数据的中位数是 。【答案】4【考点】中位数【解析】解：因为众数为 3 和 5，所以x 5 ，所以中位数为： 3 5 2 4【点评】主要考察了众数的知识点，通过众数求中位数16.如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是 45.已知甲楼的高 AB 是

14、120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根号） 。【答案】40【考点】三角函数【解析】俯角是45! ， BDA 45!， AB AD=120m， 又 CAD 30!, 在 RtADC 中 tanCDA=tan30= CD =3 ,AD3 CD = 40 3 （m）【点评】学会应用三角函数解决实际问题。17.观察下列等式： 30 1， 31 3， 32 9 ， 33 27 ， 34 81， 35 243，根据其中规律可得30 31 32 32018 的结果的个位数字是 。【答案】3【考点】循环规律【解析】 30 1 ， 31 3 ， 32 9 ， 33 27 ， 34 81 个位数 4 个数

15、一循环，20181 4 504余3 ， 1 3 9 13， 30 31 32 32018的个位数字是3 。【点评】找到循环规律判断个位数。18. 如图，矩形 ABCD 的顶点 A, B 在 x 轴上，且关于 y 轴对称，反比例函数 y k1 (x 0) 的图像经过点C ，反比例函数 xy k2 (x 0)的图像分别与 AD, CD 交于点 E, F ， x若 SBEF 7, k1 3k2 0，则k1 等于 .【答案】k1 9【考点】反比例函数综合题【解析】设 B 的坐标为(a,0)，则 A 为(a,0)，其中 k1 3k2 0，即 k1 3k2根据题意得到C(a,k1 ) a， E(a, k2

16、 )， D(a, ak1 ) a， F ( a , 3k1 ) a 矩形面积 2a k1 2k a1 2 a ( 2k2 )SDEF DF DE 32a 2 k 23 24 a k1S CF BC 3a 2 kBCF223 12a ( k2 )SABE AB AE 2a k 22 !SBEF 72k 2 k 2 k k 7 13 23 12把k 1 k 代入上式，得到 23 14 k 5 ( 1 k ) 73 133 1 4 k 5 k 73 19 1 7 k 79 1k1 9【点评】该题考察到反比例函数中k 值得计算，设点是关键，把各点坐标求出来，根据割补法求面积列式，求出k1 的值。三、解

17、答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答题因写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本题满分 6 分） 计算： 【答案】【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值；根号的化简【解析】解：原式=【点评】本题先根据实数运算的步骤和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可20.（本题满分 6 分）解分式方程：【答案】 x 1.5x x 11 2x.3x 3【考点】解分式方程【解答】解：方程左右两边同乘3(x 1)，得3x 3(x 1) 2x3x 3x 3 2x 2x 3 x 1.5检验：当x 1.5时 ， 3(x 1) 0所以，原分式方程的解为 x 1.5 .【点评】根据解分式的一般步骤进

18、行去分母，然后解一元一次方程,最后记得检验即可.21. （本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A(1,1),B(4,1),C(3,3) .(1)将ABC 向下平移 5 个单位后得到A1B1C1 ， 请画出A1B1C1 ;(2)将ABC 绕原点O 逆时针旋转90 后得到A2 B2C2 ，请画出A2 B2C2 ；(3)判断以O, A1 , B 为顶点的三角形的形状.（无须说明理由）【答案】详情见解析【考点】平面直角坐标系中的作图变换-平移与旋转【解析】（1）如图所示， A1B1C1即为所求；（2）如图所示， A2 B2C2 即为所求；（3）三角形的形状为

19、等腰直角三角形。【点评】常规题型，涉及到作图变换的两种类型：平移变换和旋转变换，要求数清格子，且按要求作图即可。22. （本题满分 8 分）某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识竞赛活动，红树林学校对本校 100 名参加选拔赛的同学的成绩按 A, B, C, D 四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图.(1) 求 m , n ;(2)在扇形统计图中，求“ C 等级”所对应圆心角的度数；(3)成绩等级为 A 的4 名同学中有 1 名男生和 3 名女生，现从中随机挑选 2 名同学代表学校参加全市比赛.请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率.【答案】（1） m

20、 51, n 30； （2）108 ； （3） 1 2【考点】统计表；扇形统计图；概率统计【解析】（1） m 0.51100 51；看扇形可知 D 的百分数为15% ，则其频率为 0.15，则人数为 0.15100 15 ， 总人数为100 ，则C 的人数总人数 （A、B、D）人数，即n 100 4 5115 30 ；（2）圆周角为360! ，根据频率之和为 1，求出C 的频率为0.3 ， 则“ C 等级”对应圆心角的度数为 0.3360=108（3）将1名男生和3 名女生标记为 A1、A2、A3、A4 ,用树状图表示如下：由树状图可知随机挑选2 名学生的情况总共有12 种，其中恰好选中1男和

21、1女的情况有6 种，概率6 1 122【点评】该题属于常规题，是我们平常练得较多的题目，懂得看扇形统计图以及抓住样本总量与频率和为 1 是关键。23.（本题满分 8 分） 如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E、 F，且 BE=DF.（1）求证：ABCD 是菱形；（2）若 AB=5,AC=6，求ABCD 的面积。【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，B=DAEBC，AFDC，AEB=AFD=90，又BE=DF，AEBAFD(ASA)AB=AD，四边形 ABCD 是菱形:（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O由（1）知四边形ABCD 是菱形，AC = 6ACB

22、D, AO=OC= AC = = 6 = 3，:AB=5,AO=3,在 RtAOB 中，BO = AB: AO: = 5: 3: = 4,BD=2BO=8,SABCD = AC BD = = 6 8 = 24 :【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与性质、面积计算【解析】（1）由平行四边形的性质得出B=D，由题目 AEBC，AFDC 得出AEB=AFD=90，因为 BE=DF,由 ASA 证明AEBAFD，可得出 AB=AD,根据菱形的判定，即可得出四边形ABCD 为菱形。（2）由平行四边形的性质得出 ACBD，AO=OC= AC=3，在 RtAOB 中，由勾

23、股定理BO = AB: AO:可求 BD, 再根据菱形面积计算公式可求出答案。【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质和判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24.（本题满分10 分）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450 吨，如果运出甲仓库所存原料的60% ，乙仓库所存原料的40% ，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30 吨.(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2)现公司需将300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120 元/吨和100 元/吨。经协商，从甲仓库到工厂的运价

24、可优惠a 元/吨（ 10 a 30 ） ，从乙仓库到工厂的运价不变。设从甲仓库运m 吨原料到工厂，请求出总运费W 关于 m 的函数解析式（不要求写出m 的取值范围） ；(3)在(2)的条件下，请根据函数的性质说明:随着m 的增大，W 的变化情况 .【答案】(1)设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨.根据题意得： x y 450解得x y(1 40%)y 240. 210 (1 60%)x 30故甲仓库存放原料240 吨,乙仓库存放原料210 吨.(2)据题意，从甲仓库运m 吨原料到工厂，则从乙仓库运300 m 吨原料到工厂总运费. W (120 a)m 100(300 m ) (20

25、a)m 30000(3)当10 a20 ， 20 a0 ，由一次函数的性质可知，W随着m的增大而增大.当a 20 时,20 a=0 ，W随着 m 的增大没有变化.当20 a 30 ，则20 a0 ，W随着 m 的增大而减小.【考点】二元一次方程组；一次函数的性质及应用【解析】(1)根据题意，可设甲仓库存放原料x 吨,乙仓库存放原料y 吨，利用甲、乙两仓库的原料吨数之和为450 吨以及乙仓库剩余的原料比甲的30 吨.，即可列出二元一次方程组求解.(2)据题意，从甲仓库运m 吨原料到工厂，则从乙仓库运300 m 吨原料到工厂，甲仓库到工厂的运价为120 a 元/吨，由乙仓库到工厂的运价不变即为10

26、0 元/吨，利用“运费=运价数量”即可求出甲、乙仓库到工厂的总运费W .(3)本题考察一次函数的性质，一次项系数 20 a 的大小决定W 随着m 的增大而如何变化，需根据题中所给参数a的取值范围， 进行3种情况讨论，判断20 a 的正负，可依次得到20 a0 、20 a=0 即20 a0，即得W 随着 m 的增大的变化情况.【点评】此题考察二元一次方程组及一次函数的性质及应用，根据题中的数量关系不难列出二元一次方程组及总运费W 关于 m 的函数解析式，难点在于最后一问函数性质的运用，需利用题中所给的数量参数a 的范围，讨论一次项系数，W 随着 m 的增大而产生的变化情况.25. 如图，ABC

27、内接于O，CBG=A，CD为直径，OC与 AB相交于点E ， 过点E 作EFBC ，垂足为F ，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD。（1）求证： PG与O 相切；（2）若 EF 5，求 BE 的值； AC8OC（3）在（2）的条件下，若O 的半径为 8， PD OD，求OE 的长.【答案】解：（1）证：如图 1，连接OB ,则OB ODBDC DBO弧 BC=弧 BCA BDC A DBO又CBG=ACBG DBOCD 是O 直径DBO OBC 90 CBG OBC 90OBG 90 点 B 在圆上， PG 与O 相切2（2）方法一：如 图 2 过 O 作 OM AC 于 点 MAM =

28、1 AC 2弧 AC =弧 ACABC = 1 AOC 2又EFB =OGA = 90 BEF OAM, 链接 OA ，则AOM =COM = 1AOC ，M EF = BE AMOA AM = 1 AC , OA = OC 2 EF = BE1 ACOC 2又 EF 5 AC8 BE = 2 EF = 2 5 = 5OCAC84方法二：CD 是O 直径DBC 90EF BCEFC 90又 DCB =ECFDCB ECF EF ECDBDC又 BDE = EACDEB AECDEB AEC DB BEACEC 得 ： EF DB EC BE DB AC 即 EF BE ACDCDC EC BE

29、 5DC8又 DC = 2OC BE 5 2OC8 BE 5OC4（3） PD = OD ,PDO = 90 BD OD 8在 RtDBC 中， BC 8又 OD = OBDOB 是等边三角形DOB 60DOB =OBC +OCB , OB OCOCB 30 EF 1 ， FC CE2EF可设 EF = x, EC = 2x, FC = 3x BF 8 3x在 RtBEF 中， BE2 EF 2 BF 2100 x2 8解得： x 6 3x2!6 x 6 8，舍去 EC 12 2OE 8 12 2 13 2 4【考点】切线的性质和判断；相似三角形【解析】（1）要证为切线只需证明OBG 为 90

30、 度，A 与BDC 为同弧所对圆周角相等， 又BDC DBO ，得CBG DBO 即可证明。（2）通过证明 2 组三角形相似，建立比例关系，消元后，再在直角三角形 BEF 中利用勾股定理求解即可。【点评】本题第一问比较常规，第二问需要建立相似比之间的数量关系，第三问需要转化到一个直角三角形中利用勾股定理解题，还要对两个解进行处理，思路复杂，而且计算量较大， 属于较难的题目。26.(本题满分 10 分)如图，抛物线 y ax2 5ax c 与坐标轴分别交于点 A,C, E 三点，其中A(3, 0), C(0, 4) ，点 B 在 x 轴上， AC BC ，过点 B 作 BD x 轴交抛物线于点

31、D ，点M，N 分别是线段CO, BC 上的动点，且CM BN ，连接 MN, AM , AN.（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）当CMN 是直角 三角形时，求点 M 的坐标 ；（3）试求出 AM AN 的最小值.【答案】（1）抛物线的解析式为： y 1 x2 5 x 4 ； 66D（3，5）.（2）M（0， 16 ）或 M（0， 11） 99（3）【考点】用待定系数法求解析式；动点形成相似三角形的运用；全等三角形的证明， 动点中线段和最值问题的转化【解析】解：（1） 把点 A（-3，0） 、C（0，4）带入 y ax2 5ax c得9a 15a c 0a 1c 4 解得6c 4抛

32、物线的解析式为： y 1 x2 5 x 4 66AC=BC, OC=OCRtAOC RtBOC（HL）OA=OBA（-3，0）B（3，0）BD x 轴，D 在抛物线上D（3，5）（2）由（1）得OC=4， BC=5，设 M（0， a ）CM=BNCM=BN=4- a ，CN=BC-BN=5-（4- a当CMN=90时，CMNCOB）=1+ a由CM CN得4 - a 1 a解得： a 16 COCB459M（0， 16 ）9当CNM=90时，CNMCOB由 CM CN得4 - a 1 a解得： a 11 CBCO549M（0， 11） 9综上所述：当CMN 是直角三角形时 M（0， 16 ）或 M（0， 11） 99（3）连接 DN、AD，如右图，BD y 轴OCB=DBNOCB=ACMACM =DBN又CM=BN，AC=BDCAM BDN（SAS）AM=DNAM+AN=DN+AN当 A、N、D 三点共线时，DN+AN=AD 即 AM+AN 的最小值为ADAB=6 , BD=5在 Rt ABD 中，由勾股定理得，AD=AM+AN 的最小值为.【点评】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的综合运用，直角三角形的分类讨论，全等三角形的证明及线段和最值问题的转化思想，此题 1、2 问难度适中，3 问综合性较强，难度较大。