2019学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）（新版）新人教版.doc

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1、120192019 学年度第二学期期末考试学年度第二学期期末考试高二理数高二理数一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一个只有一个是符合要求的是符合要求的, ,请你将符合要求的项的序号填在括号内请你将符合要求的项的序号填在括号内) )1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】为纯虚数，所以，故选 A.2. 下列说法中正确的是 （ ）相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于 ，相关性越

2、弱；回归直线一定经过样本点的中心；随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度；相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可【详解】相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于 ，相关性越强，|r|1故错误回归直线一定经过样本点的中心，故正确y = bx + a(x，y)随机误差满足，其方差的大小用来衡量预报的精确度，故正确E(e)= 0D(e)相关指数用来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故错误R2R2综上，说法正确的是故选D【点睛】本题主要考查

3、的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题23. 某校为了解高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40 人参加某种测试,为此将他们随机编号为 1,2,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 18,抽到的 40 人中,编号落在区间1,200的人做试卷A,编号落在201,560的人做试卷B,其余的人做试卷C,则做试卷C的人数为 （ ）A. 10 B. 12C. 18 D. 28【答案】B【解析】，由题意可得抽到的号码构成以为首项，以为公差的等差数列，且此 800 40 = 201820等差数列的通项公式为，落入区间的人做问卷 ，由an= 18

4、+ 20(n1)= 20n2561,800C，即，解得，再由 为正整数可得，561 20n2 800563 20n 80228320 n 40110n29 n 40做问卷 的人数为，故选 B.C4029 + 1 = 124. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.A. 0 B. -1 C. -2 D. -8【答案】B【解析】根据流程图可得：第 1 次循环： ；y = x + y = 2,x = xy = 1,i = i + 1 = 1第 2 次循环： ；y = x

5、 + y = 1,x = xy = 2,i = i + 1 = 33第 3 次循环： ；y = x + y = 1,x = xy = 1,i = i + 1 = 3第 4 次循环： ；y = x + y = 2,x = xy = 1,i = i + 1 = 4此时程序跳出循环，输出 .x + y = 1本题选择 B 选项.5. 在正方体中，过对角线的一个平面交于 ，交于 得四边形ABCDA1B1C1D1AC1BB1EDD1F，则下列结论正确的是 （ ）AEC1FA. 四边形一定为菱形AEC1FB. 四边形在底面内的投影不一定是正方形AEC1FABCDC. 四边形所在平面不可能垂直于平面AEC1

6、FACC1A1D. 四边形不可能为梯形AEC1F【答案】D【解析】对于 A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故 A 错误；AEC1F对于 B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故 B 错误；AEC1FABCD对于 C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故 C 错误；AEC1FACC1A1对于 D，四边形一定为平行四边形，故 D 正确.AEC1F故选：D6. 已知随机变量 满足，且，iP(i= 0) = piP(i= 1) = 1pi0 p2D(1) D(2)C. ，且 D. ，且p1 D(2)p1 p2D(1) 0D(1) D(2)详解：随机变量 满足，1P(1= 0

7、)= p1,P(1= 1)= 1p10 p2 0 0，故选 B. D(1) D(2)点睛： 本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望公式与方差公式的应用以及作差法比较大小，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，计算能力，属于中档题.7. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）5A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.考点：三视图.8. 有一个偶数组成的数阵排列如下： 2 4 8 14 22 32 6 10 16 24 34 12 18 26 36 20 28 38 30 40 42 则第 20 行

8、第 4 列的数为 （ ）A. 546 B. 540 C. 592 D. 598【答案】A【解析】分析：观察数字的分布情况，可知从右上角到左下角的一列数成公差为 2 的等差数列，想求第 20 行第 4 列的数，只需求得 23 行第一个数再减去即可，进而归纳每一行第一个2 3数的规律即可得出结论6详解：顺着图中直线的方向，从上到下依次成公差为 2 的等差数列，要想求第 20 行第 4 列的数，只需求得 23 行第一个数再减去即可.2 3观察可知第 1 行的第 1 个数为：；1 2第 2 行第 1 个数为：；2 3第 3 行第 1 个数为：.3 4第 23 行第 1 个数为：.23 24所以第 20

9、 行第 4 列的数为.23 24 - 2 3 = 546故选 A.点睛：此题考查归纳推理，解题的关键是通过观察得出数字的排列规律，是中档题9. 已知一袋中有标有号码的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三1,2,3种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取 次卡片时停止的概率为 （ ）5A. B. C. D. 585148122812581【答案】B【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：根据题意可知，取 5 次卡片可能出现的情况有种；35由于第 5 次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号，所以总的可能有种；C23(242)所以恰好

10、第 5 次停止取卡片的概率为.p =C23(242)35=14817本题选择B选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10. 已知单位圆有一条长为的弦，动点 在圆内，则使得的概率为（ 2ABPAP AB 2）A. B. C. D. - 24 - 23 - 242【答案】A【解析】建立直角坐标系，则，设 点坐标为，则，故AB = (1,1)P(x,y)AP =(x,1 + y),AP AB = x

11、+ y + 1 2，则使得的概率为,故选 A.x + y - 1 0AP AB 2P =S阴影S圆= - 24点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆PF1PF2=4和双曲线的离心率乘积的最小值为 （ ）

12、A. B. C. 1 D. 12222【答案】B【解析】8设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴常为 a1a2|PF1| + |PF2| = 2a1|PF1|PF2| = 2a2 |PF1| =a1+ a2,|PF2| = a1a24c2= (a1+ a2)2+ (a1a2)22(a1+ a2)(a1a2)cos44c2= (2 2)a12+ (2 2)a124 =2 2e21+2 2e21 22 2e212 2e21=2 2e1e2,故选 B.e1e22212. 已知定义在 R R 上的函数f(x)的导函数为,(为自然对数的底数),且当f(x) f(2x) = f(x)e22x时, ,则 (

13、)x 1(x1)f(x)f(x) 0A. f(1)ef(0) C. f(3)e3f(0) D. f(4) 0【详解】令，F(x)= f(x)e- x F(x)= e- xf(x) - f(x)， (x - 1)f(x) - f(x) 0时，则 x F(- 1) F(0)即f( - 2)e2 f( - 1)e f(0)， f(2 - x) = f(x)e2 - 2x， f(4)= f( - 2)e6f(3)= f( - 1)e4， f(4) f(0)e4f(3) f(0)e3故选C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及导数的运算，构造新函数有一定难度，然后运用导数判断其单调性，接着进

14、行赋值来求函数值的大小，有一定难度二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13. 从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选9法共有_种 （用数字填写答案）【答案】16【解析】分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从 6 人中任选 3 人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果.详解：根据题意，没有女生入选有种选法，C34= 4从 6 名学生中任意选 3 人有种选法，C36= 20故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是 16.20

15、- 4 = 16点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选 3 人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有 1 名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 已知离散型随机变量服从正态分布，且，则N(2 ， 1)P( C2 n C3n C4 n?5 e3 x1 0,x (e,e3),y 10.828故可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取 6 人，其中男性有人，女性6 2060= 2有人.6 4

16、060= 4记男性观众分别为，女性观众分别为，随机抽取 2 人，基本事件有a1,a2b1,b2,b3,b412(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2),(b3,a1),(b3,a2),(b4,a1),(b4,a2),(a1,a2)共 15 种记至少有一位男性观众为事件 ，则事件 包含AA共 9 个基本事件(b1,a1),(b1,a2),(b2,a1),(b2,a2),(b3,a1),(b3,a2),(b4,a1),(b4,a2),(a1,a2)由古典概型，知P(A) =915=

17、35点睛：本题主要考查了独立性检验的应用以及古典概型，属于中档题。解决独立性检验的三个步骤：（1）根据样本数据制成列联表；2 2（2）计算的值；K2（3）查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断。K218. 参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.定价x(元/千克)101020203030404050506060年销量y(千克)115011506436434244242622621651658686z=2 ln y1414. .1 11212. .9 91212. .1 11111. .1 11010. .2 28 8. .9 9参考数据:，6

18、 i = 1(xi- x)(yi- y) = - 34580,6 i = 1(xi- x)(zi- z) = - 175.5,6 i = 1(yi- y)213.= 776840,6 i = 1(yi- y)(zi- z) = 3465.2(1)根据散点图判断 y 与 x,z 与 x 哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及数据,建立 y 关于 x 的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).(3)当定价为 150 元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距

19、的 y = b最小二乘估计分别为 b =n i = 1(xi- x)(yi- y)n i = 1(xi- x)2=n i = 1xiyi- nxyn i = 1x2i- nx2, a = y - bx.【答案】(1) z与x具有较强的线性相关性(2)（3）估计年销量为=1 千克 y = e15 - 0.10x2 y【解析】【分析】由散点图可知z与x对应的散点图基本都在一条直线附近，线性相关性更强(1)根据公式计算出回归方程的系数，即可写出回归方程(2)代入回归方程求出年销量(3)【详解】(1)由散点图知, z与x具有较强的线性相关性.(2)-0.10, b =6 i = 1(xi- x)(zi

20、- z)6 i = 1(xi- x)2=- 175.5175015,x+=15-0.10x. a = z - bx z = b又z=2ln y,y关于x的回归方程为. y = e z2= e15 - 0.10x2(3)当定价为 150 元/千克时,估计年销量为=1 千克. y【点睛】本题考查了线性回归方程及其应用，只需理清题目中的数据，代入公式即可求出线性回归方程，然后求出年销量，较为基础19. 如图，在三棱柱中，ABCA1B1C1AB = AC = 2BAC = 90BC1 AC14（1）证明：点在底面上的射影 必在直线上；C1ABCHAB（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值C1A

21、CB60CC1= 2 2BC1AA1B1B【答案】()见解析()217【解析】分析：（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质定理可AC ABC1ABC ABC1得点在底面上的射影 必在直线上；（2）是二面角的平面角，C1ABCHABBAC1C1- AC - B，在平面内过点 作，以为轴建系，求出的BAC1= 60ABCHHx ABHx，HB，HC1x，y，zBC1方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦ABB1公式可得结果.详解：（1）因为，BC1 AC，AC AB，AB BC1= B所以平面 AC ABC1所以平面平面 ABC ABC1过点作，则由面

22、面垂直的性质定理可知C1C1H ABC1H ABC又，所以重合，C1H ABCH、H所以点在底面上的射影 必在直线上 C1ABCHAB（2）是二面角的平面角， BAC1C1- AC - BBAC1= 60法一：连接，A1H A1B1 A1C1，A1B1 C1H，C1H A1C1= C1平面平面平面 A1B1A1C1H， A1B1BA A1C1H15作C1G A1H，C1G A1B1BA是直线与平面所成角 C1BGBC1AA1B1B A1C1= 2，C1H = 3， A1H = 7， C1G =2 37又， BC1= 2 sinGBC1=C1GC1B=217法二：在平面内过点 作，以为轴建系则A

23、BCHHx ABHx，HB，HC1x，y，zA(0， - a，0)，B(0，a，0)，C1(0，0， 3a)，C(2a， - a，0)，所以 BC1= (0， - a， 3a).由可以求得平面的法向量AB = (0，2a，0)，CC1= ( - 2a，a， 3a)ABB1n = (2 3，0，4)所以sin =|BC1 n|BC1|n|=217点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据

24、定理结论求出相应的角和距离.20. 某理科考生参加自主招生面试，从 7 道题中（4 道理科题 3 道文科题）不放回地依次任取 3 道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；16（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得 10 分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文） ，求其所得总分 X 的分布列与数学期望 E（X） 【答案】(1) (2)见解析15【解析】试题分析：（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定 的可能取值

25、，利用概率公式即可得到总分 的分布列，代入期望公式即可XX试题解析：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件 ， “该考生第二次和第三次均A抽到文科题”为事件 ，则BP(A) =47,P(AB) =435该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P(B|A) =15（2） 的可能取值为：0，10，20，30，X则，P(X = 0) =131334=112P(X = 10) = C12231334+ (13)214=1336，P(X = 20) = C22 (23)234+ C12132314=49P(X = 30) = 1112133649=19 的分布列为XX01

26、02030p11213364919 的数学期望为XEX = 0 112+ 10 1336+ 20 49+ 30 19=956考点：离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件21. 已知抛物线C：y24x和直线l：x1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.17【答案】(1)(2) 见解析Q(12, 2)【解析】试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，又y24x，解得Q；（2）设点(1，t)的直线方程为ytk(x1)，联立y24x，则0，得k2kt10，则

27、切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。试题解析：(1)设Q(x，y)，则(x1)2x2y2，即y22x1，由解得Q.(2)设过点(1，t)的直线方程为ytk(x1)(k0)，代入y24x，得ky24y4t4k0，由0，得k2kt10，特别地，当t0 时，k1，切点为A(1，2)，B(1，2)，显然AB过定点F(1，0).一般地方程k2kt10 有两个根，k1k2t，k1k21，两切点分别为A，B，又20，与共线，又与有共同的起点F，A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)，综上，直线AB过定点F(1，0).点睛：切点弦问题，本题中通过点P设切线，求得斜率k，再求出切点

28、A，B，通过证明与共线，AB过点F(1，0)。一般的，我们还可以通过设切点，写出切线方程，直接由交点P，结合两点确定一条直线，写出切点弦直线方程，进而得到定点。22. 已知f(x)=(x1)exelnx,g(x)= x3+32x2+ a18（1）讨论的单调性；f(x)（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围x1(0, + )x2f(x1)= g(x2)【答案】(1) 上单调递减，在上单调递增(2) f(x)在(0,1)(1, + )12,2)【解析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性 （2）由题意得f(x)函数在上的值域为结合题意可将问题转化为当时，满

29、足f(x)(0, + )0, + )x (0, + )的正整数解只有 1 个通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求g(x) 0g(x)g(1) 0 g(2) 0所以当时，是增函数，x 0f(x)= xex-ex又，f(1)= e - e = 0故当时，单调递减，x (0,1)f(x) 0,f(x)所以上单调递减，在上单调递增f(x)在(0,1)(1, + )（2）由（1）知当时，取得最小值，x = 1f(x)又，所以在上的值域为因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有 1 个因为，19所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得所以实数的取值范围是点睛：本题中研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）