建筑力学3-平面力系.ppt

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1、第三章 平面力系的合成与平衡n1，平面力系力都作用于同一平面内的力系。所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。其实是人为的把力归在同一平面内，或是设计时就有意识的把力放在同一平面内。n2，平面力系的简化将一些力简化为同一力系的力。n如：钢筋混凝土梁板结构的简化。图3.1 3 3，平面力系的种类：，平面力系的种类：1 1）平面汇交力系：在平面力系中，若各力的作用线）平面汇交力系：在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系交于一点，则称为平面汇交力系(图图3.13.1)；n2）平面平行力系：若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系(图3.2)；图3.2 n3）平面一般力系

2、：若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系(图3.3)。图3.3 3.1 平面汇交力系平面汇交力系3.1.1 力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影n设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。图3.4 n若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算nFx=FcosnFy=Fsinn力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：n(1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。n(2)当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。n如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则力F的大小和方向可由下式确定：n力F的指向可由投影Fx和F

3、y的正负号来确定(见表3.1)。n如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。表表3.1力的方向与其投影的正负号力的方向与其投影的正负号 n图3.6(a)所示为一平面汇交力系F1、F2、F3，各力的作用线汇交于A点。为将该力系合成，可首先以A点为坐标原点取直角坐标系Axy，然后将各力分别沿x轴和y轴方向分解(图3.6(b)，得各分力的大小为nF11=F1cos1,F21=F2cos2,F31=F3cos3nF12=F1sin1,F22=F2sin2,F32=F3sin3n再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合力R1、

4、R2(图3.6(c)，其大小分别为nR1=F11+F21-F31nR2=F22+F32-F12 3.1.2 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成图3.6 n合力R在两个坐标轴上的投影分别为nRx=R1=F1x+F2x+F3xnRy=R2=F1y+F2y+F3yn如果平面汇交力系包含有n个力，则上面两式中右边将各有n项，即nRx=F1x+F2x+FnxnRy=F1y+F2y+Fnyn上式可简写为nRx=FxnRy=Fyn由以上分析可知：平面汇交力系合成的结果是一个合力R，合力R的作用线通过原力系的汇交点，合力R的大小和方向可由下式确定：n上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的

5、代数和。我们称之为合力投影定理。n平面汇交力系合成的结果是一个合力，若合力等于零，则物体处于平衡状态。反之，若物体在平面汇交力系作用下处于平衡，则该力系的合力一定为零。因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零。n可知：欲使R=0,必须且只需nFx=0nFy=0 3.1.3 平面汇交力系的平衡平面汇交力系的平衡n于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。n【例3.1】一平面刚架在B点受一水平力P=20kN的作用，尺寸及约束情况如图3.8（a）所示。刚架的自重不计，试求A与D两处的约束

6、反力。n【解】取刚架为研究对象 刚架的受力图如图3.8（b）所示。n选直角坐标系如图所示，列平衡方程求解RA和RD。n由 Fx=0,n P+RAcos=0n得RA=-P/cosn因为cos=AD/AC=2/5n所以RA=-205/2kN=-22.36kNn再由nFy=0,n RAsin+RD=0n得RD=-RAsinn而sin=CD/AC=1/5n所以RD=-(-22.36)1/5kN=10kNnRD为正值，表示该力的实际指向与受力图中所假设的指向相同。图3.8 n通过以上各例的分析，现归纳求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤如下：n（1）选取研究对象n弄清题意，明确已知力和未知力，选取能反映出

7、所要求的未知力和已知力关系的物体作为研究对象。n（2）画受力图n在研究对象上画出它所受到的全部主动力和约束反力。n（3）选取适当的坐标系。n最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。n（4）列平衡方程求解未知量。n列方程时注意各力投影的正负号。当求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同；如果是负值，则表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相反。n设在刚体上的A点作用着一个力F（图3.9（a）)，现欲将其平移到刚体的任一点O。为此，在O点加上一对平衡力F和F，并使其作用线与力F平行、大小与力F的大小相等，即令F=-F=F，如图3.9（b)所示。n若要把作用在A点的

8、力F平移到O点而保持对刚体的作用效应不变，就必须附加一个力偶（F，F)，由图3.9(b)可见，力偶（F,F）的力偶矩等于原力F对O点之矩，即nm=Fd=mO(F)3.2.5 力的平移定理力的平移定理图3.9n由以上分析可得如下结论：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。n为什么不允许用一只手扳动扳手呢（图3.10（a)?因为作用在扳手AB上一端的力F与作用在O点的一个力F和一个力偶矩为m的力偶（图3.10(b)）等效。这个力偶使丝锥转动，而这个力F却将引起丝锥弯曲，这就很容易将螺纹攻坏；如果用力过大，

9、丝锥就可能折断。因此，这样操作是不允许的。图3.102.3 平面一般力系平面一般力系n（1）主矢和主矩n设在刚体上作用一平面一般力系F1、F2、Fn（图3.11(a)。在力系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。根据力的平移定理，将力系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系F1、F2、Fn和一个力偶矩分别为m1、m2、mn的附加力偶系（图3.11(b)）。3.3.1 平面一般力系向任一点简化平面一般力系向任一点简化n对平面汇交力系F1、F2、Fn可以合成为作用在O点的一个力R（图3.11(c)，这个力R称为原平面一般力系的主矢。n对所得的附加力偶系可以合成为一个力偶（

10、图3.11（c)），这个力偶的力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O点的主矩。由平面力偶系合成的理论可知，主矩MO为nMO=m1+m2+mnn而m1=mO(F1),m2=mO(F2),mn=mO(Fn)n所以nMO=mO(F1)+mO(F2)+mO(Fn)=mO(F)n即主矩等于原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和。n综上所述，可得如下结论：平面一般力系向作用面内任一点O简化后，可得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心O点的主矩。图3.11n平面一般力系向作用面内任一点O简化后，一般可以得到一个力和一个力偶，但实际上根据主矢和主矩是否存在，可能出

11、现下列四种情况：n(1)R=0,MO0;n(2)R0,MO=0;n(3)R0,MO0;n(4)R=0，MO=0。3.3.2 平面一般力系的合成平面一般力系的合成n（1）平面一般力系合成为一个力偶的情形n当R=0和MO0时，说明原力系不论向哪一点简化，它都与一个力偶等效，即原力系合成为一个合力偶，合力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。n显然，当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的位置就无关了，因为力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。n（2）平面任意力系合成为一个力的情形n当R0和MO=0时，说明原力系与作用在简化中心的一个力等效，即原力系合成为一个合力，这个合力就是

12、原力系的主矢。n当R0和MO0时，可根据力的平移定理的逆过程，将这个力R和力偶矩为MO的力偶进一步合成为一个力R，合成的过程如图3.12所示。n平面力系的合力矩定理：平面力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。图3.12n(1)平衡方程的基本形式nFx=0nFy=0nmO(F)=0 n由此可见，平面一般力系平衡的必要和充分条件也可叙述为：力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，同时各力对任一点之矩的代数和也等于零。3.3.3 平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程n【例2.15】梁AB上作用一集中力和一均布荷载（均匀连续分布的力），如图3.13（a)

13、所示。已知P=6kN，荷载集度（受均布荷载作用的范围内，每单位长度上所受的力的大小）q=2kN/m，梁的自重不计，试求支座A、B的反力。n【解】取梁AB为研究对象，画其受力图如图3.13(b)所示。n取坐标系如图3.13(b)，由nFx=0,RAx-Pcos60=0n得RAx=Pcos60=3kNn由mA(F)=0,RB4-Psin603-q21=0n得RB=4.9kNn由Fy=0,RAy-q2-Psin60+RB=0n得RAy=4.3kN图3.13n通过以上各例的分析，现将应用平面一般力系平衡方程解题的步骤总结如下：n（1）确定研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。n（2

14、）画受力图。在研究对象上画出它所受到的所有主动力和约束反力。n（3）列方程求解。以解题简捷为标准，选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心，列出平衡方程求解未知量。n（4）校核。总结：一，概念：1，平面一般力系2，平面力系的合成：主矢量Ro与主力偶矩Mo3，关于主矢量Ro与主力偶矩Mo特例的讨论：1）Ro0,Mo=0；原力系向o点简化后得一个力Ro，Ro即为原力系的合力；2)Ro=0,Mo 0；原力系向o点简化后得一个力偶Mo，Mo即为原力系的合力偶矩Mo；3)Ro=0,Mo=0；原力系为一平衡力系。二，力系的平衡1，一般力系的平衡：Ro=0,Mo=0；2，一般力系的平衡方程：X=0 Y=0 M=

15、0平面一般力系平衡的充分必要条件：力系中的各力在直角坐标系的xOy两坐标轴上的投影的代数和为零，且力系中的各力对坐标平面内的任意点（A点）的力矩的代数和为零。，平面力系平衡方程的另两个表示方法：）两矩式 X=0 MA=0 MB=o2)三矩式 MA=0 MB=0 MC=03.4 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程n在工程实际中，有些结构所受的力系，常可以简化为平面平行力系。例如，图3.14所示的桥式起重机受荷载W和反力N1、N2、N3、N4的作用 图3.14n设一物体受平面平行力系F1、F2、Fn的作用，如图3.15所示。n平面平行力系的平衡方程可表示为nFy=0nmO(F)=0n这样，平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中各力的代数和等于零，同时各力对任一点之矩的代数和也等于零。nmA(F)=0nmB(F)=0 图3.15习题课2节