北大随机过程课件：泊松过程.ppt

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1、 2023/1/212023/1/21内容内容v基本概念基本概念v泊松过程的分布特征泊松过程的分布特征v泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征v泊松分布的相关问题泊松分布的相关问题2023/1/21基本概念基本概念v计数过程计数过程v独立增量过程独立增量过程v平稳增量计数过程平稳增量计数过程v泊松过程泊松过程2023/1/21基本概念基本概念-计数过程计数过程v计数过程计数过程v定义：计数过程定义：计数过程 在在(0,t)内出现事件内出现事件A的总数所组成的过的总数所组成的过程程 N(t),t0 称为称为计数过程计数过程.2023/1/21基本概念基本概念-计数过程计数过程v独立增量过程独立增量

2、过程v定义：独立增量过程定义：独立增量过程 如果在不相交的时间间隔内出现事件如果在不相交的时间间隔内出现事件A A的次数是相互统计独立的则的次数是相互统计独立的则A A事件的计数事件的计数过程为过程为独立增量过程独立增量过程.2023/1/21基本概念基本概念-计数过程计数过程v平稳增量计数过程平稳增量计数过程v定义：平稳（齐次）增量计数过程定义：平稳（齐次）增量计数过程 在时间间隔在时间间隔(t,t+s)内出现事件内出现事件A的次数的次数N(t+s)-N(t)仅与仅与s有关而与有关而与t无关，则称无关，则称N(t)为为平稳增量计数过程平稳增量计数过程.2023/1/21基本概念基本概念-泊松

3、过程泊松过程v泊松过程为满足下列假设的计数过程泊松过程为满足下列假设的计数过程:1.从从t=0起开始观察事件，即起开始观察事件，即N(0)=0；2.该过程是独立增量过程；该过程是独立增量过程；3.该过程为平稳增量过程；该过程为平稳增量过程；4.在在(t，t+t)内出现一个事件的概率为内出现一个事件的概率为 t+o(t)(当当t0时时)，为一常数；在为一常数；在(t，t+t)内出现事件二次以及二次以上的概率为内出现事件二次以及二次以上的概率为o(t),即即 PN(t+t)-N(t)2=o(t)；2023/1/21泊松过程泊松过程v泊松过程泊松过程v泊松过程递推微分方程泊松过程递推微分方程v泊松过

4、程母函数泊松过程母函数v泊松分布的几个问题泊松分布的几个问题v非齐次泊松过程非齐次泊松过程v复合泊松过程复合泊松过程v过滤泊松过程过滤泊松过程2023/1/21v齐次泊松过程的递推微分方程齐次泊松过程的递推微分方程泊松过程的分布特征泊松过程的分布特征2023/1/21泊松过程的分布特征泊松过程的分布特征v齐次泊松过程的递推微分方程齐次泊松过程的递推微分方程其中其中2023/1/21泊松过程的分布特征泊松过程的分布特征v齐次泊松过程的递推微分方程齐次泊松过程的递推微分方程方程的解方程的解2023/1/21泊松过程的分布特征泊松过程的分布特征v泊松分布的母函数泊松分布的母函数2023/1/21泊松

5、过程的统计特征泊松过程的统计特征v泊松过程的均值泊松过程的均值:2023/1/21泊松过程的统计特征泊松过程的统计特征v泊松过程的均值泊松过程的均值:2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(1).泊松过程泊松过程N(t),t0的第一个事的第一个事件到达时间件到达时间t的概率密度分布的概率密度分布.即：即：内无到达，内无到达，内有一个到达。内有一个到达。2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(2).泊松过程泊松过程N(t),t0的各次事件的各次事件间的时间间隔分布间的时间间隔分布.v设各次事件间的时间间隔记为设各次事件间的时间间隔记为v则则2023/1/21泊

6、松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(3).泊松过程泊松过程N(t),t0的第的第n个个事件到达时间事件到达时间t的概率密度分布的概率密度分布.即：即：到达到达n-1个，个，内有一内有一个到达。个到达。2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(4).泊松过程泊松过程N(t),t0在（在（0,t）内有一个事件出现，它的到达时间内有一个事件出现，它的到达时间s的概率密度分布的概率密度分布.2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题(5).有两个相互独立的泊松过程有两个相互独立的泊松过程N1(t),t0及及N2(t),t0，它们在单位时间内出现事件的平，它们在单位时间内出

7、现事件的平均数分别是均数分别是1、2，设，设x，y分别是两个过程出分别是两个过程出现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个现第一次事件的时刻，求第一个过程的第一个事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即Pr x0及及N2(t),t0，它们在单位时间内出现事件的平，它们在单位时间内出现事件的平均数分别是均数分别是1、2，设，设t1k是第一过程出现第是第一过程出现第k次事件的时刻，次事件的时刻，t21是第二过程出现第一次事件是第二过程出现第一次事件的时刻，求第一个过程的第的时刻，求第一个过程的第k个事件先于第二个事件先于第二个过程的第一个事件的概率，即个过程

8、的第一个事件的概率，即Pr t1k t21。2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题(5).(续续)2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(6).泊松过程的和泊松过程的和v如果如果 是参数分别为是参数分别为 的相的相互的独立泊松过程，则他们的和互的独立泊松过程，则他们的和 是参数为是参数为 的泊松的泊松过程过程2023/1/21泊松分布相关的问题泊松分布相关的问题v(7).泊松过程的差泊松过程的差v如果如果 是参数分别为是参数分别为 的相的相互的独立泊松过程，则他们的和互的独立泊松过程，则他们的和 是否为泊松过程是否为泊松过程?2023/1/21非齐次泊松过程非

9、齐次泊松过程v定义：定义：设有一随机的计数过程设有一随机的计数过程 N(t),t 0 满满足下列假设：足下列假设：1.N(0)=0 2.N(t),t 0是一独立增量过程是一独立增量过程 3.PN(t+t)-N(t)2=o(t)4.PN(t+t)-N(t)=1=(t)t+o(t)则称它为则称它为非齐次泊松过程非齐次泊松过程.2023/1/21非齐次泊松过程举例非齐次泊松过程举例 一酒店，每日一酒店，每日8点开始营业，从早点开始营业，从早8:00到到11:00平均顾客到达率线性增加，在平均顾客到达率线性增加，在8:00顾客平均到达率为顾客平均到达率为5人人/小时，小时，11:00到达率到达率最高峰

10、最高峰20人人/小时，从上午小时，从上午11:00到下午到下午1:00平均顾客到达率不变，为平均顾客到达率不变，为20人人/小时。从下小时。从下午午1:00到到5:00顾客到达率线性下降，到下午顾客到达率线性下降，到下午5:00顾客到达率为顾客到达率为12人人/小时。小时。2023/1/21非齐次泊松过程举例非齐次泊松过程举例2023/1/21非齐次泊松过程举例非齐次泊松过程举例 假设不相交叠的时间间隔内到达商店的假设不相交叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互统计独立的顾客数是相互统计独立的，问在上午，问在上午8:309:30间无顾客到达商店的概率是多少？间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时

11、间内到达商店顾客数学期望是多在这段时间内到达商店顾客数学期望是多少？少？2023/1/21复合泊松过程复合泊松过程v定义：定义：设有泊松过程设有泊松过程 N(t),t 0 和一族独立同分布和一族独立同分布随机变量随机变量 Yn，n=1，2，3，且，且 N(t)和和 Yn也是相互统计独立的也是相互统计独立的.设随机过程设随机过程则称则称 X(t)是是复合泊松过程复合泊松过程.2023/1/21复合泊松过程举例复合泊松过程举例 设移民到某地区的户数是一泊松过程，平设移民到某地区的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即均每周有两户定居，即2。如果每户的人。如果每户的人口是一个随机变量，一户口是一个随机变量，一户4人的概率是人的概率是1/6，一，一户户3人的概率是人的概率是1/3，一户，一户2人的的概率是人的的概率是1/3，一户一户1人的概率是人的概率是1/6。并设每户的人口数是相。并设每户的人口数是相互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区互独立的随机变量。求在五周内移民到该地区的人口数的数学期望及其方差。的人口数的数学期望及其方差。