随机过程第三章-泊松过程ppt课件.ppt

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1、第一节第一节 泊松过程的基本概念泊松过程的基本概念第三章 泊松过程 定义定义3.13.1(计数过程)随机过程 称为计数过程,如果0),(ttN)(tN表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数. 由定义,计数过程具有以下两个特点: (1) 取值为非负的整数;)(tN (2) 时, 且 表示时段 内 事件A发生的次数.ts )()(tNsN)()(sNtN,( ts 如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, 与)(tN)()(tNstN相互独立. 定义定义3.2(泊松过程泊松过程)计数过

2、程 称为参数为 0),(ttN)0(的泊松过程过程,如果: (1); 0)0(N (2) 有独立增量;)(tN (3)对任意的 ,有0, ts,!)()()(tnentnsNstNP,2, 1 ,0n 由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t的区间中事件的个数服从参数(均值)为 的泊松分布.t 在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我们给出泊松过程另一个等价定义. 若在任一时间区间中发生的事件个数 的分布只依赖于时间区间的长度,则称计数过程 有平稳增量平稳增量.这就意味着此时 与 有相同的分布.)(tN)()(12stNstN)()(12tNtN)(tN 定理3.1

3、计数过程 称为泊松过程泊松过程 ,参数为 0),(ttN),0(如果 (1) ; 0)0(N (2) 过程有平稳与独立增量; (3);(1)(hohhNP (4).(2)(hohNP 若 是参数为 的泊松过程,则有ttNE)(于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数单位时间内事件发生的平均次数. . 称 为泊松过程的强度、风险率强度、风险率或速率速率.0),(ttN强度为 的泊松过程的数字特征： 0001. ,E N t tE N tN ttt； 00002. ,000 ,NND N t tD N tN ttttNtE N tt DtD N tt， 特别地，由假设，可得：；3. , ,0N

4、NCs tDmin s tmin s ts t，； 24. , ,0NNNNRs tCs tstmin s tsts t，。( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5)4(12)9;(5)(5),(5),(5),(12).N t tP NP NNNP NNP NNE ND NCov NN例12：设服从参数为 的泊松过程，求(1) (2) (3) 45(1) P54(5 )4!Ne解： (2) 54,(7.5)6,(12)954,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3P NNNP NNNNN4522.534.5(5 )4!(2.5 )2!(4.5 )

5、3!eee例1 (5) EN(5)=5 ,55 ,D N(3)(12)9(5)4(12)(5)5(5)4P NNP NNN(4)(5)4(12)9(5)4,(12)9(12)9P NNP NNP N57(12)(5)5(7 )5!P NNe (5)4(12)(5)5(12)9P NP NNP N 455749 449912(5 )4!(7 )5!551.1212(12 )9!eeCe (5),(12)55 .Cov NND N 例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 .如果每次事件发生时以概率 能够记录下来,并以 表示到t时刻被记录下来的事件总数,证明 是一个强度为p 的泊松过程.p0),(

6、ttN)(tM0),(ttM证 满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也满足第三个条件.)(tM 显然, 的可能取值为 并且由全概率公式,有, 2 , 1 , 0)(tM0)()(|)()(nntNPntNmtMPmtMP而mn 0)(|)(ntNmtMP若mnmppmnntNmtMP)1 ()(|)(若mn 由题意tnntntNPe!)()(于是tnmnmmnntppmnmtMPe!)()1 ()(mnmnmnmmtmntpmtp)!()()1 (!)(e)1(e!)(eptmmtmtptpmmpte!)(所以, 是一个强度为 的泊松过程.0),(ttMp第二节第二节 与泊松过程相联系

7、的若干分布与泊松过程相联系的若干分布预备知识预备知识 (1) 函数定义为:zxzzzde)(01 (2)有关 函数的几个重要公式:)()1(zzz!) 1(nn21 (3)若随机变量 的概率密度为X0, 00,)()(1xxexxfx则称 服从参数为 的 分布,记为X,),(X 当 时,就是参数为 的指数分布.1 (4) 分布关于参数 具有可加性.即若),(1X),(2Y且 与 独立,则XY),(21YX 引理引理 设 相互独立且均服从参数为 的指数分布,则有nXXX,21),(21nXXXn (5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记 为第 次事件发生的时刻, 是第 次与第 次事件发

8、生的时间间隔.nTnnXn1n一一. 和和 的分布的分布nXnT 定理定理3.23.2 服从参数为 的指数分布,且相互独立.nX) 1( n证证 当 时,有0t0)(11)(111tNPtXPtXPtF所以0, 00e1)(1tttFt又即 相互独立且均服从参数为 的指数分布.21, XX|0)()(|112sXsNtsNPsXtXP0)(0)()(tNPsNtsNPt e重复以上的推导可证定理之结论. 定理3.3 ),(nTn 证证 由于niinXT1故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.注注: :1 1 的概率密度为),(n)!1()()(1ntexfntTn)0( t)(nt

9、NtTn2. 由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义. 定义定义3.3 设 是计数过程,如果它的相继到达时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 为泊松过程泊松过程.0),(ttN)(tN 定理定理3.23.2的直接推论的直接推论 设泊松过程的强度为 ,记 为过程的到达间隔,则X1)(XE 引理引理 (无后效性或无记忆性)设随机变量 服从参数为 的指数分布,则, 0, 0 xt|xXPtXxtXP 证证 |xXPtXxtXP,xXPxtXPxXPxXxtXPeee)(xXPxtxtX第三节第三节 泊松过程的推广泊松过程的推广一、非齐次泊松过程一、非齐次泊松过程 定义3.4 计数过

10、程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 过程有独立增量; (3);()(1)()(hohttNhtNP (4).(2)(hohNP 令 ,则有如下的等价定义.tsstm0d)()( 定义3.5 计数过程 称为强度为 的非齐次泊松过程,如果0),(ttN0)(t (1) ; 0)0(N (2) 过程有独立增量; (3)对于任意的实数 服从参数为)()(, 0, 0tNstNststtduutmstm)()()(的泊松分布. 定理定理 定义3.4与定义3.5是等价的. 证证 只需证)()(exp!)()()()(tmstmntmstmntNst

11、NPn 证明过程将要用到母函数的概念,从略. 例3.7 设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次. 求它在使用期内只维修过一次的概率. 解解 由题意,强度函数为10521505 .21)(ttt则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数 服从参数为5 . 4215 . 21)()10(10550100dtdtdttm) 0()10(NN的泊松分布,故5 . 4)5 . 4(1)0()10(eNNP二二. .复合泊松过程复合泊松过程 定义定义3.6 称随机过程

12、 为复合泊松过程,如果对于 ,它可以表示为如下形式0),(ttX0t)(1)(tNiiYtX其中 是一个泊松过程, 是一族独立同分布的随机变量,并且与 独立.0),(ttN0),(ttNnYY,1 例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.第 个顾客在商店购物支付的款数记作 ,并设 相互独立同分布,则在时段 中商店的营业额iiY,21YY, 0(t)(1)(tNiiYtX是一个复合泊松过程. 例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程. 定理定理3.6 设 是一复合泊松过程,其中泊松过

13、程 的强度为 ,则)(tN(1) 具有独立增量;)(tX)(1)(tNiiYtX(2)若 均存在,则221)(,)(iiYEYE,)(1ttXE2)(ttXD证 (1) 令 由于 具有独立增量性,故,10nttt)(1)(11)()(kktNtNiikkYtXtXnk, 2 , 1相互独立,即 具有独立增量性.)(tN)(tX(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）. 例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.每次赔付为均值为10000元的正态分布,则一年中保险公司平均赔付额是多少? 解 由题意,有 ,故所求的值为10000,12, 21t240

14、000)10(1tXE(元)三三. .条件泊松分布条件泊松分布 在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量 ,而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程.这就是本节所要研究的条件泊松过程. 定义定义3.73.7 设 是具有分布 的正值随机变量,如果在给定 的条件下,计数过程 服从参数为 的泊松过程,则称 是条件泊松过程.)(G0),(ttN0),(ttN 由定义可知,如果 是条件泊松过程,则有0),(ttN)(d!)()()(0GnetnsNstNPtn 定理定理3.73.7 设 是条件泊松过程,且 ,则0),(ttN )(2E(

15、1);)( tEtNE(2).()()(2tEDttND证证)()| )()(tEtEtNEEtNE(1)(2)22)()()(tNEtNEtND)()()(| )(2222EtttEtEtNEE)()(2tEDt 例3.11 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能 ,且21,1pP,12qpP10 p为已知,并且已知到时刻 已发生了 次事故.(1)求下次事故在 之前不会到来的概率;(2)发生的频率是 的概率.tnst 1 解解 (1) 所求的概率为)(|0)()(ntNtNstNP)()(, 0)()(ntNPntNtNstNP2121|)(|)(,0)()(iiiiiiPntNP

16、ntNtNstNPPtntntsntsneptpeteptpet2121)1 ()()()1 ()()(21)(2)(1tntntsntsnepepepep212121)(2)(1)1 ()1 (以及tntntneptpetpetntNP211)1 ()()()()(|2111课堂练习课堂练习 习题1. 通过某十字路口的车流是一泊松过程，设每分钟内没有车辆通过的概率为0.2，求两分钟内有多于一辆车通过的概率。 习题2. 在时间t内向电话台呼叫k次的概率为 如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t被呼叫n次的概率。 习题3. 设顾客到达商场的速率为2个/分钟，求： （1）5

17、分钟内到达顾客数的平均值； （2）5分钟内到达顾客数的方差； （3）5分钟内至少有一个顾客到达的概率。ekkPkt!)( 习题4. 设顾客到某商场的过程是泊松过程，已知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔 （1）超过2min；（2）少于4min；（3）在13min之间 习题5. 某商店从上午8时开始营业下午5时关门，平均顾客到达率满足：从8时到11时线性增加，8时开始为5人/h，11时为高峰，达到20人/h；从11时到下午1时到达率不变，从下午1时到5时线性递减，5时为12人/h。设在不相重叠的时机间隔内到达的顾客数是相互独立的。求（1）上午8时半到9时半内顾客到达数的期望；（2）该段时间内无顾客到达的概率 习题3. 设移居到某地的户数是一泊松过程，平均每周有2户移居。设移居的每户的人口数是一随机变量，一户有4人的概率是1/6；3人的概率是1/3；2人的概率是1/3；1人的概率是1/6。求五周内该地移居人数的期望与方差。