3 矩阵的表示.ppt

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1、3.MATLAB 矩阵运算矩阵运算从本节开始介绍 MATLAB 最重要、最基础的部分矩阵运算矩阵运算一、矩阵的表示n矩阵是运算的基本单元n该单元定义在复数域上n矩阵事先不必定义大小直接输入创建的矩阵输入规则：输入规则：n矩阵元素必须用 括住n矩阵元素必须用逗号逗号或空格空格分隔n在 内矩阵的行与行之间必须用分号分号分隔 A=2,5,1;3.5,9,8;-2 3 6 A=2.0000 5.0000 1.0000 3.5000 9.0000 8.0000 -2.0000 3.0000 6.0000【例1】创建矩阵 x=9;y=pi/6;A=2,5,cos(y);sin(y),x2,8;x/2 3

2、6 A=2.0000 5.0000 0.8660 0.5000 81.0000 8.0000 4.5000 3.0000 6.0000【例2】创建矩阵二、矩阵元素 矩阵元素可以是数字或表达式，但表达式中 不可包含未知的变量 矩阵元素可以是实数或复数 矩阵元素可以用它的行数和列数表示，例如 A(2,3)表示矩阵 A 的第 2 行第 3 列的元素A(3,3)=0A=2.0000 5.0000 0.8660 0.5000 81.0000 8.0000 4.5000 3.0000 0A(2,5)=1A=2.0000 5.0000 0.8660 0 0 0.5000 81.0000 8.0000 0 1

3、.0000 4.5000 3.0000 0 0 0 如果给出的行(列)下标大于矩阵的行(列)数，那么系统将自动扩展原来的矩阵并将扩展后未赋值的元素置为 0【例】矩阵元素的修改矩阵元素的序号l 矩阵元素按列编号，先第一列，再第二列，依次类推。例如：A=1 2 3;4 5 6;A(3)ans=2lmn 矩阵 A 的序号(Index)与下标(Subscrip)是一一对应的，元素 A(i,j)的序号为(j-1)*m+i 三、矩阵的大小l size(A)函数返回 A 的行数和列数，例如：size(A)ans=2 3l length 函数给出行数和列数中较大的那个，即 length(A)=max(size

4、(A)主要用于返回向量的大小 矩阵重排lreshape(A,m,n)函数在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵 A 重新排列为 m n 矩阵。例如：x=1:6;y=reshape(x,2,3)y=1 3 5 2 4 6lA(:)将 矩阵 A 的每一列元素堆叠起来，成为一个列向量 复数矩阵可分为两部分创建，例如：R=1,5,8;3,9,-6;S=3.2,5,6;-1,0,3;F=R+S*iF=1.0000+3.2000i 5.0000+5.0000i 8.0000+6.0000i 3.0000 -1.0000i 9.0000 -6.0000+3.0000i复数矩阵的创建四、冒号表达式冒号表达式的一

5、般格式为：a:h:b表示从 a 开始，到 b 结束，以 h 为步长的向量 n【例】：冒号表达式 t=0:3:10t=0 3 6 9 s=0:-5:-18s=0 -5 -10 -15默认步长为默认步长为 1，即，即 t=0:5 与与 t=0:1:5 等价。等价。MATLAB 常用向量函数函数名称函数名称函数功能函数功能length(x)向量的长度max(x)求最大值min(x)求最小值norm(x)向量的 2 范数prod(x)求向量元素的积sort(x)对元素进行排序sum(x)求向量元素的和练习 1 创建下列矩阵：A=1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 12B=13 23 5 4

6、 12 16 -24 -21 -18 10 14 0 28 -43 33 25 -3 -16 -1 11 13 -32 10 -20 -12练习 2 修改刚才生成的矩阵 A 为A=1 4 7 10 0 0 0 0 2 5 8 11 0 0 0 0 3 6 9 12 5 0 0 5练习 3 1.创建如下的矩阵 A A=1 2 3 4 5 6 7 8利用 size 函数返回矩阵 A 的大小并考察 A 的序号，例如 A(6)。2.创建矩阵 x=1,2,3 和 y=1;2;3，分别使用 size 和 length 返回矩阵 x 和 y 的大小。练习 4 1.利用 reshape 创建如下的矩阵 A，并

7、考察 A 的转置 A A=1 6 11 16 21 26 2 7 12 17 22 27 3 8 13 18 23 28 4 9 14 19 24 29 5 10 15 20 25 30 2.创建一个复数矩阵 A，并考察 A练习 5 1.创建向量 x=1:2:20，观察结果,并用 length 函数考察向量 x 的 长度。2.当 x=0.2,0.5,0.8,3.5 时，求 y=sin(x)观察结果，并求出 向量 y 的最大值和平均值。并用 help 命令学习如何利用 max 函 数找到向量 y 的最大值元素的序号。3.令 x=rand(5,1)可以得到一个随机向量，要求对 x 的元素按从从 小

8、到大和从大到小小到大和从大到小的两种顺序进行排列分别得到向量 y 和 z。4.令 x=1:2:10，利用 sum(x)计算 x 的所有元素的和。五、矩阵标识和子矩阵矩阵的子阵可以通过标量、向量、冒号标量、向量、冒号的标识来引用和赋值。A=magic(5)A=17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 A1=A(2:3,1 3 5)A1=23 7 16 4 13 22 A2=A(3 1,:)A2=4 6 13 20 22 17 24 1 8 15 A(2 5,1 3)=zeros(2)A=17 24 1 8

9、15 0 5 0 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 0 18 0 2 9【例 1】：提取矩阵的子阵 A=magic(5)A=17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 A2=A(end,:)A2=11 18 25 2 9 A1=A(3:end,1 3 5)A1=4 13 22 10 19 3 11 25 9【例 2】：提取矩阵的子阵利用空矩阵删除元素n在 MATLAB 中，定义 为空矩阵。n利用空矩阵是删除矩阵元素的有效方法 A=rand(3,5)A=0.5028 0.304

10、6 0.6822 0.1509 0.8600 0.7095 0.1897 0.3028 0.6979 0.8537 0.4289 0.1934 0.5417 0.3784 0.5936 A(1 end,:)=A=0.7095 0.1897 0.3028 0.6979 0.8537六、用函数创建矩阵nrand(m,n)mn 的随机矩阵neye(m,n)mn 单位矩阵nzeros(m,n)mn 全零矩阵nones(m,n)mn 全一矩阵ndiag(x)以向量 x 为对角元的对角 矩阵 A=randn(3,3)A=0.8580 -1.4410 0.6900 1.2540 0.5711 0.8156

11、-1.5937 -0.3999 0.7119 d=diag(A)d=0.8580 0.5711 0.7119 D=diag(d)D=0.8580 0 0 0 0.5711 0 0 0 0.7119 注意：注意：1.MATLAB 严格区分大小写字母，因此 d 与 D是两个不同的变量 2.MATLAB 函数名必须小写【例】利用 diag 创建对角矩阵矩阵的结构变换nL=tril(A)L 为 A 的下三角矩阵nU=triu(A)U 为 A 的上三角矩阵nL=tril(A，k)L 为 A 的第 k 条对角线及以下的矩阵nU=triu(A，k)U 为 A 的第 k 条对角线及以上的矩阵说明：说明：k 等

12、于 0 为主对角线，正整数为主对角线上第 k 条对角线，负整数为主对角线下第 k 条对角线 A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B1=rot90(A)B1=4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9 B=AB=1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 L=tril(A,-1)L=0 0 0 0 5 0 0 0 9 10 0 0【例】矩阵的结构变换七、矩阵的运算1.矩阵的加、减（,）运算规则规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列。两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的

13、所有元素分别进行加减操作。A=magic(3)A=8 1 6 3 5 7 4 9 2 B=A+eye(3)B=9 1 6 3 6 7 4 9 3 C=A-3C=5 -2 3 0 2 4 1 6 -1【例】：矩阵加减规则：nA 矩阵的列数必须等于 B 矩阵的行数n标量可与任何矩阵相乘【例】：A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;B=1;2;3;C=A*B C=14 32 23 2.矩阵的乘（）运算【例】：矩阵求逆和矩阵除法求解方程组 A=rand(5,5);b=ones(5,1);x1=Ab;x1=0.8600 -0.7147 0.6128 0.7805 -0.1657 x2=inv(A)*b

14、;x2=0.8600 -0.7147 0.6128 0.7805 -0.1657 3.矩阵的除运算4.方阵的乘方运算 A p A 的 p 次幂 对于 p 的其它值,计算将涉及特征值和特征向量。方阵方阵1的整数的整数5.矩阵的点运算 点运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的线性代数矩阵运算不同。AB A，B 两矩阵必须有相同的行数和列数 运算为对应元素相乘。【例】：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;B=2 4 6;1 3 5;7 9 10;A.*B=2 8 18 4 15 30 49 72 90 点乘a./b=b.a 都是a的元素被b的对应元素除a.b=b./a 都是b的元素被a的对应

15、元素除【例】：a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=a./bc1=4.0000 2.5000 2.0000c2=0.2500 0.4000 0.5000点除点乘方为元素对元素的幂【例】：a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1 4 9 z=a.bz=1 32 729点乘方八、矩阵函数矩阵的秩、方阵行列式的值和特征值等概念在代数中有广泛应用，MATLAB 提供了相应的函数来求它们的值。矩阵的分解是矩阵和数据分析的基础，MATLAB 提供了大量的矩阵分解函数。MATLAB 常用矩阵函数函数名称函数名称函数功能函数功能det(A)方阵 A 的行列式值eig(A)方阵 A 的特征

16、值rank(A)A 的秩trace(A)A的迹norm(A)A 的范数qr(A)A 的 QR 分解svd(A)A 的奇异值分解lu(A)A 的 LU 分解练习 11.利用 magic(5)函数生成 5 阶魔方矩阵 A，要求取出其中间的 33 子阵：5 7 14 6 13 20 12 19 212.利用 rand(6,6)函数生成 6 阶随机矩阵 A，要求删除其首尾两行 元素。练习 21.生成向量 x=1:16,将向量 x 重排成 4 阶方阵 A，分别运行下面 的命令并观察结果：(i).a=A(8)(ii).B=A(1:2:4,2:4)(iii).C=A(2 end,3)(iv).A=A,A(:,2)=(v).U=triu(A,1)练习 3 1.随机生成两个 5 阶矩阵 A 和 B，分别计算 A*B,A.*B,A./B,A.B 以及 A.3,A3。2.分别利用函数 rand 和 eye 生成两个20阶随机 矩阵 A 和 B，以及单位矩阵 C，分别计算 A*A,A5,A*A(-1)-C,inv(A-B)。