第九章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计.ppt

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1、第九章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计材料力学的任务回顾工程构件在外力作用下的失效（破坏）问题杆、板、块拉压杆件梁圆轴强度、刚度应力应变拉压杆梁应力应力应变应变AM几何关系物理关系平衡关系应力与内力的关系解决问题的途径和方法一、扭转的概念一、扭转的概念受力特点：受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。偶作用面垂直于杆的轴线。变形特点：变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。杆任意两截面绕轴线发生相对转动。主要发生扭转变形的杆主要发生扭转变形的杆轴轴。Me主动力偶主动力偶阻抗力偶阻抗力偶复习复习圆轴受扭时其

2、横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x复习复习mm T1 1、扭转杆件的内力扭转杆件的内力（截面法）（截面法）mmT取右段为研究对象：取右段为研究对象：内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩取左段为研究对象：取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力二、扭转杆件的内力扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图复习复习2 2、扭矩的符号规定、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断按右手螺旋法则判断。右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋转

3、方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向与截面的外法线方向相同与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为，则扭矩规定为正值，反之为负值。负值。T+T-扭矩图扭矩图M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)截取一微小的正六面体截取一微小的正六面体单元体单元体Me Me xyzabOcddxdydz得得9.2 9.2 切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理切应力互等定理 单元体在其两对互相单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为而无正应力的状态称为纯纯剪切应力状态剪切应力状态。dabcxyzabOcddxd

4、ydz 在相互垂直的两个面上，切在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小应力总是成对出现，并且大小相相等，等，方向同时指向或同时背离两方向同时指向或同时背离两个面的交线。个面的交线。剪切虎克定律剪切虎克定律在弹性范围内切应力在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。与切应变成正比关系。一、圆轴扭转时横截面上的应力一、圆轴扭转时横截面上的应力（一）、几何关系（一）、几何关系：9-3 圆轴扭转时切应力分析圆轴扭转时切应力分析观察变形规律：观察变形规律：圆周线圆周线形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。了一个不同的角度。纵向

5、线纵向线倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小、大小 以及间距不变，半径仍为直线。以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力定性分析横截面上的应力（1）（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。垂直于其半径方向。剪应变的变化规律剪应变的变化规律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究对象研究对象微段扭转微段扭转变形变形

6、dj jD（二）物理关系（二）物理关系：由应变的变化规律由应变的变化规律应力的分布规律应力的分布规律 方向垂直于半径。方向垂直于半径。dj j /dx扭转角变化率扭转角变化率弹性范围内弹性范围内（三）静力关系：（三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系由横截面上的扭矩与应力的关系应力的计算应力的计算公式公式令代入物理关系式代入物理关系式 得：得：圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。扭转扭转变形计算式变形计算式横截面上横截面上 抗扭截面系统抗扭截面系统，整个圆轴上整个圆轴上等直杆：等直杆：三、公式的使用条件：三、公式的使用条件：1 1、等直的圆轴，、

7、等直的圆轴，2 2、弹性范围内工作。、弹性范围内工作。I Ip p截面的极惯性矩截面的极惯性矩，单位：，单位：二、圆轴中二、圆轴中max的确定的确定单位单位：四、圆截面的极惯性矩四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数和抗扭截面系数Wp实心圆：实心圆：空心圆：空心圆：D几何关系物理关系平衡关系应力与内力的关系解决问题的途径和方法9-1扭转剪应力公式()=Mx/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。（A）等截面圆轴，弹性范围内加载；（B）等截面圆轴；（C）等截面圆轴与椭圆轴；（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。9-2两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线

8、转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 1max和 2max，剪切弹性模量分别为G1 和G2。试判断下列结论的正确性。（A）1max2max；（B）1max2max；（C）若G1G2，则有1max2max；（D）若G1G2，则有1max2max。解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即1=2=由剪切胡克定律=G 知G1 G2时，1max 2max。因此，正确答案是 C。应变、应力？9-3承受相同扭矩且长度相等的直径为d1 的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(=d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大剪应力相等。关于二者重量之比（W1/W2）

9、有如下结论，试判断哪一种是正确的。由扭矩相同、最大剪应力相等解:重量之比等于面积之比，所以最大切应力Wp9-4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。例例9-19-1：P P7.5kW,7.5kW,n n=100r/min=100r/min。实心圆轴的直径实心圆轴的直径d d1 1，空心圆轴的内空心圆轴的内外直径之比外直径之比 =0.5=0.5。试确定实心试确定实心轴与空心圆轴截面上的最大切应轴与空心圆轴截面上的最大切应力力解解

10、：由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴：空心轴：面积之比：例例例例9-29-2：P P1 114kW,14kW,n n1 1=n n2 2=120 r/min,=120 r/min,z z1 1=36,=36,z z3 3=12;=12;d d1 1=70mm,=70mm,d d 2 2=50mm,=50mm,d d3 3=35mm.=35mm.求求:各各轴轴横截面上的最大切应力横截面上的最大切应力。3P1=14kW,P2=P3=P1/2=7 kWn1=n2=120r/min解：解：计算各轴的功率与转速计算各轴的功率与转速Mx1=T1=1114 N.m

11、Mx2=T2=557 N.mMx3=T3=185.7 N.m各轴的扭矩各轴的扭矩计算各轴的横截面上的最大切应力计算各轴的横截面上的最大切应力9-4 9-4 扭转时圆轴的强度和刚度计算扭转时圆轴的强度和刚度计算韧性材料韧性材料韧性材料韧性材料低碳钢轴向拉伸时的四个阶段低碳钢轴向拉伸时的四个阶段:弹性阶段弹性阶段屈服阶段屈服阶段强化阶段强化阶段颈缩阶段颈缩阶段延伸率延伸率延伸率延伸率脆性材料脆性材料大多数，从开始加载直至试样被拉断，变形都很小。只有断裂时的应力值强度极限塑性材料：塑性材料：5%脆性材料：脆性材料：5%韧性韧性韧性韧性材料在压缩时材料在压缩时,弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同弹性

12、阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同脆性材料如脆性材料如铸铁，铸铁，压缩时：压缩时：2：破坏面大约为：破坏面大约为45450 0的斜面。的斜面。强度、刚度材料的力学性质材料的力学性质回顾1 1、强度条件、强度条件：2 2、强度条件应用、强度条件应用：1 1）校核强度）校核强度:2 2）设计截面尺寸）设计截面尺寸:3 3）确定外荷载）确定外荷载:一、一、扭转强度计算扭转强度计算等截面圆轴等截面圆轴:变截面圆轴变截面圆轴:1 1、扭转变形：（相对扭转角）、扭转变形：（相对扭转角）扭转角单位：弧度（扭转角单位：弧度（radrad）GIP抗扭刚度抗扭刚度。单位长度的扭转角单位长度的扭转角二、二、扭转杆的变

13、形计算扭转杆的变形计算扭转变形与内力计算式扭转变形与内力计算式扭矩不变的等直轴扭矩不变的等直轴各段扭矩为不同值的阶梯轴各段扭矩为不同值的阶梯轴2 2、刚度条件：、刚度条件：3 3、刚度条件应用：、刚度条件应用：1)1)、校核刚度、校核刚度；3)3)、确定外荷载、确定外荷载:2)2)、设计截面尺寸、设计截面尺寸:例例例例9.3 9.3 汽车发动机将功率通过主汽车发动机将功率通过主传动轴传动轴ABAB传给后桥，驱动车轮行传给后桥，驱动车轮行驶。设主传动轴所承受的最大外驶。设主传动轴所承受的最大外力偶矩为力偶矩为MMe e1.5 1.5 kNkNm m，轴由轴由4545号钢无缝钢管制成，外直径号钢无

14、缝钢管制成，外直径D D90 mm90 mm，壁厚壁厚2.5 mm2.5 mm，60 60 MpaMpa。试试试试:1 1试校核主传动轴的强度；试校核主传动轴的强度；2.2.若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪应力的前提下，试确定若改用实心轴，在具有与空心轴相同的最大剪应力的前提下，试确定实心轴的直径；实心轴的直径；3.3.确定空心轴与实心轴的重量比。确定空心轴与实心轴的重量比。解：解：1校核空心轴的强度 根根据据已已知知条条件件，主主传传动动轴轴横横截截面面上上的的扭扭矩矩MMx xMMe e1.5 1.5 kNkNmm，轴的内直径与外直径之比轴的内直径与外直径之比 因因为为轴轴只只在在

15、两两端端承承受受外外加加力力偶偶，所所以以轴轴各各横横截截面面的的危危险险程度相同，轴的所有横截面上的最大剪应力均为程度相同，轴的所有横截面上的最大剪应力均为 由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。由此可以得出结论：主传动轴的强度是安全的。2确定实心轴的直径确定实心轴的直径 根根据据实实心心轴轴与与空空心心轴轴具具有有同同样样数数值值的的最最大大剪剪应应力力的的要要求求，实实心心轴轴横横截截面面上上的的最最大大剪剪应应力力也也必必须须等等于于50.9MPa。若若设设实实心心轴直径为轴直径为d1，则有则有 据此，实心轴的直径据此，实心轴的直径 3计算空心轴与实心轴的重量比 由于二者长度相等、

16、材料相同，所以重量比即为横截面的面积比，即例例9-59-5。已知：钢制空心圆轴的外直径。已知：钢制空心圆轴的外直径D D100 mm100 mm，内直径内直径d d50 mm50 mm。若要求若要求轴在轴在2 m2 m长度内的最大相对扭转角不超过长度内的最大相对扭转角不超过1.5(1.5()，材料的切变模量，材料的切变模量G G80.4 80.4 GPaGPa。试：试：1 1 求该轴所能承受的最大扭矩；求该轴所能承受的最大扭矩；2 2 确定此时轴内最大剪应力。确定此时轴内最大剪应力。解：解：1 1确定轴所能承受的最大扭矩。确定轴所能承受的最大扭矩。根据刚度设计准则，有根据刚度设计准则，有 由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为由已知条件，许用的单位长度上相对扭转角为 空心圆轴截面的极惯性矩空心圆轴截面的极惯性矩 97 芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d=66mm；轴套的外径D=80mm，壁厚=6mm。许用应力为60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩。解：解：9.688103 N.m9.688 kN.m 2计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大剪应力计算轴在承受最大扭矩时，横截面上的最大剪应力