机器人学—数学基础.ppt

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1、 机器人运动学及其机器人运动学及其数学基础数学基础周序星期节次授课方式教学（授课或讨论）内容授课地点备注4二5 6课堂讲授机器人学的数学基础：位置与姿态描述，齐次坐标变换、齐次变换矩阵及其几何意义A414五7 8课堂讲授机器人的结构参数和坐标系的建立，D-H矩阵A415二5 6课堂讲授机器人运动学正解，机器人运动学逆解A415五7 8课堂讲授机器人的微分运动及其变换，机器人的误差及其补偿A4120112011年春季学期教学日历年春季学期教学日历参考教材参考教材美美付京逊付京逊机器人学机器人学中南大学中南大学蔡自兴蔡自兴机器人学机器人学美美理查德理查德鲍尔鲍尔机器人操作手机器人操作手数学数学编程

2、与控制编程与控制参考教材参考教材美美付京逊付京逊机器人学机器人学n美籍华人（台湾）美籍华人（台湾）n普渡大学（普渡大学（Purdue University）电机工程专业著）电机工程专业著名教授名教授n4部著作、部著作、400多篇论文多篇论文n第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模式识别之父式识别之父n1985年去世年去世参考教材参考教材中南大学中南大学蔡自兴蔡自兴n中南大学教授，我国人工中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名专智能和机器人领域著名专家家n中国人工智能学会智能机中国人工智能学会智能机器人专委会理事长器人专委会理事长n曾与付京逊教授一起

3、工作曾与付京逊教授一起工作过过机器人机器人工作工作动作动作第一章第一章 机器人位置和姿态的描述机器人位置和姿态的描述串联机器人可以用一个开环关节链来建模串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的由数个驱动器驱动的转动转动或或移动移动关节串联而成关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务执行器），用以操纵物体，或完成各种任务关节的关节的相对运动相对运动导致杆件的运动，导致杆件的运动，使末端执行器定位于所需要的方使末端执行器定位于所需要的方位上位上在一般机器人应用问题中，人们在一般机

4、器人应用问题中，人们感兴趣的是：末端执行器相对于感兴趣的是：末端执行器相对于固定参考坐标数的固定参考坐标数的空间几何描述空间几何描述，也就是机器人的运动学问题也就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人机器人的运动学即是研究机器人手臂手臂末端执行器位置和姿态末端执行器位置和姿态与与关关节变量空间节变量空间之间的关系之间的关系动画示例动画示例运动学研究的问题运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学正问

5、题运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题n 哈佛大学哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式建立的指数积公式运动学运动学滚动接触滚动接触非完整控制非完整控制数学基础数学基础-刚体运动刚体运动 参考文献：参考文献：机器人操作的数学导论机器人操作的数学导论 作者：理查德作者：理查德摩雷摩雷 李泽湘李泽湘 夏卡恩夏卡恩萨斯特里萨斯特里 翻译：徐卫良翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）钱瑞明（东南大学）研究运动学的方法研究运动学的方法n1955年丹纳维特（年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（和哈顿伯格（Hartenberg）提出）提出了一种了一

6、种采用矩阵代数方法采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题解决机器人的运动学问题D-H方方法，其数学基础即是法，其数学基础即是齐次变换齐次变换具有直观的几何意义具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和能表达动力学、计算机视觉和 比例变换问题比例变换问题为以后的比例变换、透视变换为以后的比例变换、透视变换 等打下基础等打下基础第二章第二章 数学基础数学基础齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换2.1 2.1 点和面的齐次坐标点和面的齐次坐标2.1.1 2.1.1 点的齐次坐标点的齐次坐标 一般来说，一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一维空间

7、实体。有一个特定的投影附加于个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标特定坐标比例系数。比例系数。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数为比例系数 显然，齐次坐标表达显然，齐次坐标表达并不是唯一并不是唯一的，随的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器

8、人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵一个点矢：一个点矢：例例11：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T n 齐次坐标与三维直角坐标的区别齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在点在OXYZ坐标系中表坐标系中表示是示是唯一唯一的（的（a、b、c）而在齐次坐标中表示可而在齐次坐标中表示可以是多值的。以是多值的。不同的表不同的表示方法代表的示方法代表的V点在空间点在空间位置上不变。位置上不变。n 几个特定意义的齐

9、次坐标：几个特定意义的齐次坐标：0 0 0 nT坐标原点矢量的齐次坐标坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意为任意非零比例系数非零比例系数 1 0 0 0T 指向无穷远处的指向无穷远处的OX轴轴0 1 0 0T 指向无穷远处的指向无穷远处的OY轴轴 0 0 1 0T 指向无穷远处的指向无穷远处的OZ轴轴 0 0 0 0T 没有意义没有意义n 2个个常用的公式：常用的公式：点乘点乘:叉乘叉乘:2.1.2 2.1.2 平面的齐次坐标平面的齐次坐标平面齐次坐标由平面齐次坐标由行矩阵行矩阵P=a b c d 来表示来表示当点当点v=x y z wT处于平面处于平面P内时，矩阵乘积内时，矩阵乘积PV=0，或记

10、为，或记为 如果定义一个常数如果定义一个常数 m=，则有：则有：=可以把矢量可以把矢量 解释为某个平面的外法线，此解释为某个平面的外法线，此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。=n 点和平面间的位置关系点和平面间的位置关系设设一一个个平平行行于于x、y轴轴，且且在在z轴轴上上的的坐坐标标为为单单位位距距离离的的平平面面P可以表示为：可以表示为：或或 有：有：PV=例例如如：点点 V=10 20 1 1T 必必定定处处于于此此平平面面内内，而而点点 V=0 0 2 1T处于平处于平 P 的上方，点的上方，点V=0 0 0 1T处于处于P平面下方，因为：平面下方

11、，因为：与点矢与点矢 相仿，平面相仿，平面 也没有意义也没有意义 2.2 2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1 2.2.1 旋转矩阵旋转矩阵 设设固固定定参参考考坐坐标标系系直直角角坐坐标标为为Oxyz，动动坐坐标标系系为为Ouvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。初始位置时，动静坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴对重合，如图。各轴对应重合，设应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系Ouvw中的一点，且固定不变。则中的一点，且固定不变。则P点在点在Ouvw中可表示为：中可表示为：、为为坐坐标标系系Ouvw的的单单位位矢矢量量，则则P点在点

12、在oxyz中可表示为：中可表示为：当当动坐标系动坐标系Ouvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 已知：已知：P点在点在Ouvw中是不变的仍然成中是不变的仍然成立，由于立，由于Ouvw回转，则：回转，则：用矩阵表示为用矩阵表示为:（2-7）反过来：反过来：2.2.2 2.2.2 旋转齐次变换旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式（用齐次坐标变换来表示式（2-7）2.2.3 2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵 三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵 即即动动坐坐标标系系 求求 的的旋旋转转矩矩阵阵，也也就就是是求出坐

13、标系求出坐标系 中各轴单位矢量中各轴单位矢量 在固定坐标系在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：由图由图2-52-5可知，可知，在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影轴上的投影为为 ,在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影为轴上的投影为 ，所以有：，所以有：方向余弦阵方向余弦阵同理：同理：三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵:n 合成旋转矩阵合成旋转矩阵:例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参，相对固定参考坐标系考坐标系 做如下运动：做如下运动：R（x,9

14、0）；）；R(z,90)；R(y,90)。求运动后点求运动后点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定

15、坐标系 各坐标轴顺序有限次各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘左乘。注意：注意：旋转矩阵间旋转矩阵间不可以交换不可以交换 n 平移齐次变换矩阵平移齐次变换矩阵注意：注意：平移矩阵间可以交换，平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换平移和旋转矩阵间不可以交换 2.2.4 2.2.4 相对变换相对变换 举例说明：举例说明：例例1：动坐标系动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标动坐标系系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩

16、阵求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：解解2：用计算的方法：用计算的方法 根据定义根据定义1，我们有：，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先平移先平移Trans(4,-3,7)；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法（2-212-21）式式（2-202-20）和和式式（2-2

17、12-21）无无论论在在形形式式上上，还还是是在在结结果果上上都都是是一致的。因此我们有如下的结论：一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转或平移，则依次转或平移，则依次左乘左乘，称为，称为绝对变换绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或旋转或平移，则齐次变换为依次平移，则齐次变换为依次右乘右乘，称为，称为相对变换相对变换。结结果果均均

18、为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相相对于固定坐标系，对于固定坐标系，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。右乘右乘的意义：的意义：机器人用到相对变换的机器人用到相对变换的时候比较多时候比较多例如机械手抓一个杯子，例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据太麻烦，可以直接根据手爪的坐

19、标系表示手爪的坐标系表示但也要知道在但也要知道在O中的位中的位姿，就用右乘的概念。姿，就用右乘的概念。oH2.2.5 2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换 有时动坐标系有时动坐标系O O可能绕过原点可能绕过原点O O的分量分别为的分量分别为rx、ry、rz的的任任意单位矢量意单位矢量r 转动转动角。角。研究这种转动的好处是可用研究这种转动的好处是可用O O绕绕某轴某轴r 的的一次转动代替绕一次转动代替绕O O各坐标轴的数次转动各坐标轴的数次转动为推导此旋转矩阵，可作下述为推导此旋转矩阵，可作下述5 5步变换：步变换：1.绕绕X 轴转轴转角，角，使使r 轴

20、轴处于处于XZ平面内平面内2.绕绕Y 轴轴转转-角，使角，使r 轴与轴与OZ轴轴重合重合3.绕绕OZ轴轴转动转动角角4.绕绕Y 轴转轴转角角5.绕绕X 轴转轴转-角角由由上图容易求出：上图容易求出：由由定义定义1和定义和定义2，上述，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：次旋转的合成旋转矩阵为：（2-252-25）带入式带入式（2-252-25），得），得由该式可以推出由该式可以推出3个基本旋转矩阵个基本旋转矩阵2.2.6 2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义齐次变换矩阵的几何意义 设，有一个手爪，即动坐标系设，有一个手爪，即动坐标系O O，已知，已知，初始位置初始位置重合，那么重合，那么O O在在O

21、O中的齐次坐标变换为：中的齐次坐标变换为：，如果手爪转了一个角度，如果手爪转了一个角度，则：则：T反反映映了了O O在在O O中中的的位位置置和和姿姿态态，即即表表示示了了该该坐坐标标系系原原点点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：为为姿态矩阵（旋转矩阵）姿态矩阵（旋转矩阵），表示动坐标系，表示动坐标系O O在固定参考坐标系在固定参考坐标系O O中的姿态，即表示中的姿态，即表示O O各坐标轴单位矢量在各坐标轴单位矢量在O O各轴上的投影各轴上的投影 为为

22、位置矢量矩阵位置矢量矩阵，代表动坐标系，代表动坐标系O O坐标原点坐标原点在固定参考坐标系在固定参考坐标系O O中的位置中的位置 为为透视变换矩阵透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一，在视觉中进行图像计算，一般置为般置为0 0 为为比例系数比例系数 如果需要求解如果需要求解O O在在O O中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为为 ，即求逆矩阵：，即求逆矩阵：其中：其中：这些式子以后经常遇到，这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵求的就是齐次变换矩阵 2.2.7 2.2.7 透镜成像的齐次变换透镜成像的齐次变换 因此，

23、进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为像头时，透视矩阵为 0 -00 -0，没有摄像头时为，没有摄像头时为0 0 0 0 0 0 。知识点：知识点：1.1.点和面的齐次坐标和齐次变换点和面的齐次坐标和齐次变换2.2.三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵3.3.绝绝对对变变换换：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。4.4.相相对对变变换换：如如果果动动坐坐标标系系相相对对于于自自身身坐坐标标系系的

24、的当当前前坐坐标标轴轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。5.5.绕任意轴旋转：绕任意轴旋转：5 5步顺序步顺序6.6.透视变换透视变换知识点：知识点：三三个个基基本本旋旋转矩阵转矩阵例题例题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。例题例题2 2：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴

25、转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如何改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。旋转才能获得相同的结果。解解：解解：绕绕Z（w）轴转动轴转动90；绕绕X轴转动轴转动90；绕绕Y轴转动轴转动90。例题例题3 3：矢量矢量 在在O O中表示为中表示为 ，O O相对于相对于O O的的奇次变换为：奇次变换为：解：解：1 1）解：解：2 2）解：解：3 3），例题例题4 4：如图所示，如图所示，1 1）写出）写出 、；2 2）求）求 解：解：1 1）解解2 2）：根据定义）：根据定义2 2，绕自身旋转，右乘，绕自身旋转，右乘习题习题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕z z轴转动轴转动9090；绕绕v v轴转动轴转动9090；绕绕x x轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。如何旋转才能获得相同的结果。习题习题2 2：已知齐次变换矩阵已知齐次变换矩阵 要求要求R R（f,)f,),求求f f和和值值