机器人学数学基础.ppt

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1、机器人运动学机器人运动学 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.4 2.4 旋转矩阵旋转矩阵机器人技术数学基础机器人技术数学基础Mathematic Preparation for Robotics2.12.1 机器人位置和姿态的描述机器人位置和姿态的描述机器人可以用一个开环关节链来建模机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以操

2、纵物体操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动几何描述，也就是机器人的运动学问题学问题机器人的运动学即是机器人的运动学即是研究机器人研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间节变量空间之间的关系之间的关系运动学研究的问题运动学研究的问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动

3、学正问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题研究的两类问题研究的两类问题:n运运动动学学正正问问题题-已已知知杆杆件件几几何何参参数数和和关关节节角角矢矢量量，求求操操作作机机末末端端执执行行器器相相对对于于固固定定参参考考作作标标的的位位置置和和姿姿态态（齐齐次次变换问题变换问题）。）。n运运动动学学逆逆问问题题-已已知知操操作作机机杆杆件件的的几几何何参参数数，给给定定操操作作机机末末端端执执行行器器相相对对于于参参考考坐坐标标系系的的期期望望位位置置和和姿姿态态（位位置置），操操作作机机能能否否使使其其末末端端执执行行器器达达到到这这个个预预期期的的位位姿姿？如如能能达达到到

4、，那那么么操操作作机机有有几几种种不不同同形形态态可可以以满满足足同同样样的的条条件？件？研究的对象研究的对象机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人。串联机器人，另外一种是并联机器人。PUMA560HexapodFanucmanipulatorn这两种机器人有所不同：这两种机器人有所不同：串串联联机机器器人人：工工作作空空间间大大，灵灵活活，刚刚度度差差，负负载载小小，误误差累积并放大。差累积并放大。并并联联机机器器人人：刚刚性性好好，负负载载大大，误误差差不不积积累累，工工作作空空间间小，姿态范围不大。小，姿态范围不大

5、。本章讲解以串联机器人为主。本章讲解以串联机器人为主。D-HD-H方法基本思想方法基本思想给每个关节指定一个参考坐标系，然后，确定从一个关节到下一个关节（一个坐标系到下一个坐标系）来进行变换的步骤。如果将从基座到第一个关节，再从第一个关节到第二个关节直至到最后一个关节的所有变换结合起来，就得到了机器人的总变换矩阵。D-H模型表示了对机器人连杆和关节进行建模的一种非常简单的方法，可用于任何机器人构型，而不管机器人的结构顺序和复杂程度如何。它也可用于表示已经讨论过的在任何坐标中的变换，例如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY坐标等。另外，它也可以用于表示全旋转的链式机器人、SCARA机器

6、人或任何可能的关节和连杆组合。a0vzyxzyxpcb0uEH图2.1 点向量的描述数学基础数学基础 齐次坐标和齐次变换齐次坐标和齐次变换 点向量（Point vectors）点点向向量量描描述述空空间间的的一一个个点点在在某某个个坐坐标标系系的的空空间间位位置置。同同一一个个点点在在不不同同坐坐标标系系的的描描述述及及位位置置向向量量的的值值也也不不同同。如如图图2.1中中，点点p在在E坐坐标标系系上上表表示示为为 Ev，在在H坐坐标标系系上上表表示示为为 Hu，且且v u。一一个个点点向向量可表示量可表示为为 v=ai+bj+ck 通通常常用用一一个个（n+1）维维列列矩矩阵阵表表示示，即

7、即除除 x、y、z 三三个个方方向向上上的的分分量量外外，再再加加一一个个比比例例因因子子 w，即，即 v=x y z w T 其中其中 a=x/w,b=y/w,c=z/w。已知两个向量已知两个向量 a=ax i+ay j+az k b=bx i+by j+bz k （2.1）向量的向量的点积点积是标量。用是标量。用“”来定义向量点积，即来定义向量点积，即 a b=ax bx+ay by+az bz （2.2）向向量量的的叉叉积积是是一一个个垂垂直直于于由由叉叉积积的的两两个个向向量量构构成成的的平平面面的的向向量量。用用“”表示叉积，即表示叉积，即 a b=(ay bz az by)i+(a

8、z bx ax bz)j+(ax by ay by)k （2.3）可用行列式表示为可用行列式表示为 i j k a b =ax ay az （2.4）bx by bz2.2 2.2 点齐次坐标点齐次坐标2.2.1 2.2.1 点的齐次坐标点的齐次坐标 一般来说，一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间）维空间实体。有一个特定的投影附加于实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量，轴上的单位矢量，a=,

9、b=,c=，w为比例系数为比例系数 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵列矩阵为什么引入齐次坐标？在欧几里得几何空间里，两条平行线永远都不会相交。但是在投影空间中，如右图中的两条铁轨在地平线处却是会相交的，因为在无限远处它们看起来相交于一点。在欧几里得（或称笛卡尔）空间里描述2D/3D几何物体是很理想的，但在投影空间里面却并不见得。我们用(x,y)表示笛

10、卡尔空间中的一个2D点，而处于无限远处的点(,)在笛卡尔空间里是没有意义的。投影空间里的两条平行线会在无限远处相交于一点，但笛卡尔空间里面无法搞定这个问题（因为无限远处的点在笛卡尔空间里是没有意义的），因此数学家想出齐次坐标这个点子来了。由AugustFerdinandMbius提出的齐次坐标（Homogeneouscoordinates）让我们能够在投影空间里进行图像和几何处理，齐次坐标用N+1个分量来描述N维坐标。比如，2D齐次坐标是在笛卡尔坐标(X,Y)的基础上增加一个新分量w，变成(x,y,w)，其中笛卡尔坐标系中的大X，Y与齐次坐标中的小x，y有如下对应关系：X=x/wY=y/w笛卡

11、尔坐标中的点(1,2)在齐次坐标中就是(1,2,1)。如果这点移动到无限远(,)处，在齐次坐标中就是(1,2,0)，这样我们就避免了用没意义的来描述无限远处的点。点(1,2,3),(2,4,6)和(4,8,12)对应笛卡尔坐标中的同一点(1/3,2/3)。任意数量积的(1a,2a,3a)始终对应于笛卡尔坐标中的同一点(1/3,2/3)。因此这些点是“齐次”的，因为他们始终对应于笛卡尔坐标中的同一点。换句话说，齐次坐标描述缩放不变性（scale invariant）。例例：可以表示为：可以表示为：V=3 4 5 1V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2V=6 8 10 2T T 或

12、或 V=-12 -16 -20 -4V=-12 -16 -20 -4T T 齐次坐标与三维直角坐标的区别齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在点在OXYZ坐标系中表坐标系中表示是示是唯一唯一的（的（x、y、z）而在齐次坐标中表示可而在齐次坐标中表示可以是多值的。以是多值的。不同的表不同的表示方法代表的示方法代表的V点在空间点在空间位置上不变。位置上不变。旋转矩阵旋转矩阵 设设固固定定参参考考坐坐标标系系直直角角坐坐标标为为Oxyz，动动坐坐标标系系为为Ouvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。初始位置时，动静坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴对重合，如图。各轴对应

13、重合，设应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系Ouvw中的一点，且固定不变。则中的一点，且固定不变。则P点在点在Ouvw中可表示为：中可表示为：、为为坐坐标标系系Ouvw的的单单位位矢矢量量，则则P点在点在oxyz中可表示为：中可表示为：当动坐标系当动坐标系Ouvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 已知：已知：P点在点在Ouvw中是不变的仍然成中是不变的仍然成立，由于立，由于Ouvw回转，则：回转，则：用矩阵表示为用矩阵表示为:（2-7）反过来：反过来：由刚体的等距变换可知：将上式代入，可得：R为正交矩阵为正交矩阵。由图可知，由图可知，在在y

14、y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影轴上的投影为为 ,在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ，在在z z轴上的投影为轴上的投影为 ，所以有：，所以有：方向余弦阵方向余弦阵同理：同理：三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵:2.2 2.2 旋转齐次变换旋转齐次变换 用齐次坐标变换来表示式旋转变换：用齐次坐标变换来表示式旋转变换：2.2.3 2.2.3 合成旋转矩阵合成旋转矩阵:例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固定参，相对固定参考坐标系考坐标系 做如下运动：做如下运动：R（x,90）；）；R(z,90)；R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系

15、下的位置。下的位置。解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x,90）R（z,90）R（y,90）（2-14）（2-15）（2-16）上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（结果。将式（2-14）（）（2-15）（）（2-16）联写为如下形式：）联写为如下形式：R4x4为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令：定义定义1：当动坐标系当动坐标系 绕固定坐标系绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。

16、转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换注意：旋转矩阵间不可以交换 平移齐次变换矩阵平移齐次变换矩阵注意：注意：平移矩阵间可以交换，平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换平移和旋转矩阵间不可以交换 因此对向量 u=x y z w T，经H变换为向量v可表示为 x+aw x/w+a y+bw y/w+b z+cw z/w+c w 12.2.4 2.2.4 相对变换相对变换 举例说明：举例说明：例例1：动坐标系：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系起始位置与固定参考坐标系0重合重合,动坐标系动坐标系0做如下运动：做如下运动：R(Z,90)R（y,90）

17、Trans(4，-3,7)，求合成矩阵，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法：解解2：用计算的方法：用计算的方法 根据定义根据定义1，我们有：，我们有：以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例例2：先平移先平移Trans(4,-3,7)；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；绕当前绕当前 轴转动轴转动90；求合成旋转矩阵。；求合成旋转矩阵。（2-202-20）解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用计算的方法：用计算的方法 式式（2-202-2

18、0）和和式式（2-212-21）无无论论在在形形式式上上，还还是是在在结结果果上上都都是是一致的。因此我们有如下的结论：一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义定义2 2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。平移，则齐次变换为依次右乘，称

19、为相对变换。结结果果均均为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的的位位姿姿（位位置置+姿姿态态）。相相对于固定坐标系，对于固定坐标系，也就是说，也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。机器人用到相对变换的机器人用到相对变换的时候比较多时候比较多例如机械手抓一个杯子，例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据太麻烦，可以直接根据手爪的坐标

20、系表示手爪的坐标系表示但也要知道在但也要知道在O中的位中的位姿，就用右乘的概念。姿，就用右乘的概念。oH2.2.6 2.2.6 齐次交换矩阵的几何意义齐次交换矩阵的几何意义 设设T=T=，有一个手爪，已知其在，有一个手爪，已知其在O O的位置，设一个的位置，设一个该坐标系该坐标系O O，已知，已知，那么，那么O O在在O O中的齐次坐中的齐次坐标变换为标变换为 ，如果手爪转了一个角度，如果手爪转了一个角度，则：则：T T反反映映了了O O在在O O中中的的位位置置和和姿姿态态，即即表表示示了了该该坐坐标标系系原原点点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中

21、的位置和姿态。该矩阵可以由该矩阵可以由4 4个子矩阵组成，写成如下形式：个子矩阵组成，写成如下形式：为姿态矩阵，表示动坐标系为姿态矩阵，表示动坐标系O O在固定参考在固定参考坐标系坐标系O O中的姿态，即表示中的姿态，即表示O O各坐标轴单各坐标轴单位矢量在位矢量在O O各轴上的投影各轴上的投影 为位置矢量矩阵，代表动坐标系为位置矢量矩阵，代表动坐标系O O坐标原坐标原点在固定参考坐标系点在固定参考坐标系O O中的位置中的位置 为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为一般置为0 0 为比例系数为比例系数 如果需要求解如果需要求解O O在在O O中的位

22、置和姿态，此时的齐次变换矩阵中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为为 ，即求逆矩阵：，即求逆矩阵：其中：其中：这些式子以后经常遇到，这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵求的就是齐次变换矩阵习题习题1 1：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕Z Z轴转动轴转动3030 ；绕绕X X轴转动轴转动6060 ；绕绕Y Y轴转动轴转动9090 。求。求T T。习题习题2 2：O O与与O O初始重合，初始重合，O O作如下运动：作如下运动：绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕w w轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。求。求 T T；改变旋转顺序，如何改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。旋转才能获得相同的结果。解解：解解：绕绕Z Z（w w）轴转动）轴转动9090；绕绕X X轴转动轴转动9090；绕绕Y Y轴转动轴转动9090。