边值问题5.1-5.3.ppt

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1、第五章第五章 静态场静态场边值问题边值问题的解的解 静态场问题有两种类型：一类是分布型问题，已知静态场问题有两种类型：一类是分布型问题，已知场源分布，求场中各点场强或电位，或已知场分布，场源分布，求场中各点场强或电位，或已知场分布，求场源分布；一类是边值型问题，已知场中不同媒求场源分布；一类是边值型问题，已知场中不同媒质分界面上的位函数或其法向导数，求场内位函数质分界面上的位函数或其法向导数，求场内位函数的分布。一般都可用泊松方程或拉氏方程来描述，的分布。一般都可用泊松方程或拉氏方程来描述，并通过给定一定的边界条件来求解。并通过给定一定的边界条件来求解。求解求解静态场的静态场的边值问题实际就是

2、求解给定边界条边值问题实际就是求解给定边界条件二阶微分方程件二阶微分方程最常用、最简单的方法是直最常用、最简单的方法是直接积分法。接积分法。静态场的静态场的边值问题边值问题5.1 何谓静态场边值问题？何谓静态场边值问题？当静态场问题是二唯或三唯的时，当静态场问题是二唯或三唯的时，直接积分直接积分基本基本不可能，需要寻求不可能，需要寻求其他的方法或是间接的方法其他的方法或是间接的方法。这样又产生一个问题：用这种或那种方法得到这样又产生一个问题：用这种或那种方法得到的解答是不是正确，解答会不会唯一？的解答是不是正确，解答会不会唯一？唯一性定理证实：唯一性定理证实：只要是满足给定边界条件和只要是满足

3、给定边界条件和泊松方程或拉氏方程的解必定唯一泊松方程或拉氏方程的解必定唯一。根据唯一性定理，我们可以尝试根据唯一性定理，我们可以尝试任何一种任何一种能够方能够方便求解静态场问题的方法，便求解静态场问题的方法，而只要这个解能够满而只要这个解能够满足足给定边界条件和泊松方程或拉氏方程，给定边界条件和泊松方程或拉氏方程，那么这个那么这个解就一定是唯一的。解就一定是唯一的。针对不同情况，人们已找到了多种求解静态场边针对不同情况，人们已找到了多种求解静态场边值问题的方法：值问题的方法：解析法解析法数值微分法数值微分法镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法复变函数法有限差分法有限差分法直接积分法：用于

4、一维问题直接积分法：用于一维问题5.2 镜像法镜像法 镜像法是镜像法是一种求解电场问题的特一种求解电场问题的特殊方法。其殊方法。其实质实质是在适当地点是在适当地点用虚用虚设的较简单的电荷分布来代替实际设的较简单的电荷分布来代替实际复杂的电荷分布复杂的电荷分布。根据唯一性定理，只要用虚设的较简单的电荷分布替根据唯一性定理，只要用虚设的较简单的电荷分布替代实际的电荷分布后，与替代前能够满足代实际的电荷分布后，与替代前能够满足同样的边界条同样的边界条件和泊松方程，件和泊松方程，那么，用虚设的电荷分布替代实际复杂那么，用虚设的电荷分布替代实际复杂的电荷分布所得到的解就一定是原问题的唯一解。的电荷分布所

5、得到的解就一定是原问题的唯一解。比如一导体位于某一电荷比如一导体位于某一电荷q附近，在导体表面会产生附近，在导体表面会产生感应电荷，此感应电荷也将产生电场，与感应电荷，此感应电荷也将产生电场，与q产生的电产生的电场叠加。要求出此合成场，需知道感应电荷的分布，场叠加。要求出此合成场，需知道感应电荷的分布，因此直接求解非常困难。因此直接求解非常困难。5.2.1 点电荷对无限大导体平面的镜像点电荷对无限大导体平面的镜像 求位于接地导体平面右方，与该平面垂直距离求位于接地导体平面右方，与该平面垂直距离为为d处处有一点电荷有一点电荷q的位场。的位场。dxyz 在导体表面会感应出等量异在导体表面会感应出等

6、量异号的负电荷。号的负电荷。所求的电场实际是点电荷与所求的电场实际是点电荷与导体表面的负电荷共同产生的。导体表面的负电荷共同产生的。导体表面感应出的负电荷的分导体表面感应出的负电荷的分布无法知道，布无法知道，以往的方法都不能以往的方法都不能求解求解。容易判断容易判断待求电场待求电场只存在只存在于于 的右半空间。的右半空间。但是我们知道但是我们知道导体接地，导体表面上的电位为零。导体接地，导体表面上的电位为零。dxyz 另外，在另外，在 的右半空间，除的右半空间，除点电荷所在处之外均无电荷存在。点电荷所在处之外均无电荷存在。则则除点电荷外的空间的电位满足除点电荷外的空间的电位满足：边界条件边界条

7、件：如果在如果在 处用一镜像电荷处用一镜像电荷 代替导体表面代替导体表面上的感应电荷分布，即可求解此问题。上的感应电荷分布，即可求解此问题。能否替代能否替代？判断能否代替的标准是，看代替后在判断能否代替的标准是，看代替后在 区域内所产生的场是否满足区域内所产生的场是否满足电位方程和边界电位方程和边界条件条件。dxyz 显然，代替后在显然，代替后在 区域内，区域内，除点电荷所在处之外，仍无电除点电荷所在处之外，仍无电荷存在，即代替后与代替前都荷存在，即代替后与代替前都满足同样的电位方程。满足同样的电位方程。另外，只要另外，只要 则代替后与代替前都满足同样则代替后与代替前都满足同样的边界条件。的边

8、界条件。由唯一性定理，待求场就可用镜像电荷由唯一性定理，待求场就可用镜像电荷 代替代替导体表面的感应电荷来计算。导体表面的感应电荷来计算。P点的电位点的电位：在上述电位基础上在上述电位基础上,再求出再求出 右半空间的右半空间的电场电场。在在 的平的平面上，结果如面上，结果如何？何？在在 的平面上，的平面上，只有只有x x方向的分量，方向的分量，即法向电场分量，即即法向电场分量，即：再根据再根据导体表面的边界条件导体表面的边界条件：得到导体表面的感应电荷：得到导体表面的感应电荷：此式表明，导体表此式表明，导体表面的感应电荷分布面的感应电荷分布是不均匀的。是不均匀的。导体表面总的导体表面总的感应电

9、荷量？感应电荷量？导体导体导体表面总的感应电荷量：导体表面总的感应电荷量：1、应用镜像法求解静电场问、应用镜像法求解静电场问题时，镜像电荷不能出现在题时，镜像电荷不能出现在待求位场的区域内。待求位场的区域内。如果将镜像电荷置于如果将镜像电荷置于待求位场区域内，则使待求位场区域内，则使待求位场区域内的场源待求位场区域内的场源发生变化，就会改变原发生变化，就会改变原区域位场所满足的方程。区域位场所满足的方程。xyz注意：注意：2、场源是何种类型的，镜像、场源是何种类型的，镜像电荷也是同样类型。电荷也是同样类型。举例说明镜像法的应用举例说明镜像法的应用 求距地面求距地面h、半径为半径为 、长为、长为

10、l 水平放置的细长水平放置的细长天线的电容。天线的电容。5.2.2 点电荷对导体球面的镜像点电荷对导体球面的镜像 一点电荷一点电荷q置于半径为置于半径为a的接地导体球外，距球心的接地导体球外，距球心d，如何求此周围的位场。如何求此周围的位场。+有两点需要明确：有两点需要明确：（1）用镜像电荷代替）用镜像电荷代替感应电荷感应电荷，要，要求代替后与代替前待求位场满足同样求代替后与代替前待求位场满足同样的的方程和边界条件方程和边界条件。待求位场区域为待求位场区域为 的区域，且的区域，且该区域除点电荷该区域除点电荷q所在处外，有：所在处外，有：边界条件为，球面上电位为零。即：边界条件为，球面上电位为零

11、。即：（2）用怎样的镜像电荷代替）用怎样的镜像电荷代替？设想有一镜像电荷设想有一镜像电荷 位于距球心位于距球心为为 处。处。根据镜像电荷不能置于待求场区根据镜像电荷不能置于待求场区域内的原则，要求域内的原则，要求 能否代替能否代替？判断能否代替的标准是，看代替后在待求场区域内判断能否代替的标准是，看代替后在待求场区域内所产生的场是否满足代替前的所产生的场是否满足代替前的电位方程和边界条件电位方程和边界条件。显然，代替后仍有除点电荷显然，代替后仍有除点电荷q所在处外：所在处外：要求代替后仍满足球面上要求代替后仍满足球面上电位为零的边界条件：电位为零的边界条件：球外任意点的电位：球外任意点的电位：

12、代替后仍满足球面上电位为零，则：代替后仍满足球面上电位为零，则：舍去舍去球外任意点的电位：球外任意点的电位：球外任意点的电场：球外任意点的电场：P25 式式1-149球面上的电场：球面上的电场：球面上的感应电荷：球面上的感应电荷：以上讨论的是点电荷对接地导体球的镜像，如以上讨论的是点电荷对接地导体球的镜像，如果果导体球不接地也未带电导体球不接地也未带电，将会怎样？，将会怎样？+此时导体球上的感应电荷的代数和为零。此时导体球上的感应电荷的代数和为零。而且，此时导体球不接地，导体球面而且，此时导体球不接地，导体球面上的电位不为零，但仍是上的电位不为零，但仍是等位面等位面。在前面内容基础上，用在前面

13、内容基础上，用 代替代替 后，后，使得导体球面电位为零，使得导体球面电位为零，导体球上的正电荷必须用另一导体球上的正电荷必须用另一镜像电荷镜像电荷代替，才能保代替，才能保证导体球上的电荷代数和为零：证导体球上的电荷代数和为零：镜像电荷镜像电荷 应放在球心处，才能保证应放在球心处，才能保证导体球面导体球面为等位面为等位面。导体球面上的电位为：导体球面上的电位为：此时球外任意点的电位：此时球外任意点的电位：5.2.3 点电荷对介质平面点电荷对介质平面的镜像的镜像qhxyz如图如图建立坐标系。建立坐标系。21S 如如图所图所示，平面分界面示，平面分界面S S的左右半空间分别充满两种的左右半空间分别充

14、满两种介质介质 和和 ，左半空间距左半空间距 S S 为为 h h 处有点电荷处有点电荷q q，求空求空间中的位场。间中的位场。由于点电荷由于点电荷q q所所产生的场对介质的极化作用，在两产生的场对介质的极化作用，在两种介质的种介质的分界面两侧将出现极化电荷。分界面两侧将出现极化电荷。此时空间中的位场是由点电荷此时空间中的位场是由点电荷q q和分界面两侧的和分界面两侧的极化电荷共同产生的。极化电荷共同产生的。分界面两侧的极化电荷也可分界面两侧的极化电荷也可用镜像电荷来代替用镜像电荷来代替。介质分界面与导体分界面不同，介质介质分界面与导体分界面不同，介质分界面不再是分界面不再是等位面等位面，介质

15、分界面两侧都存在场，即，介质分界面两侧都存在场，即待求场域是全待求场域是全部空间部空间。xzy21S(-h,0,0)qh 电介质分界面两侧电位和电位电介质分界面两侧电位和电位的法向导数连续（或电位移连续）的法向导数连续（或电位移连续）。即：。即：电介质分界面两侧除点电荷所电介质分界面两侧除点电荷所在处：在处：11S(-h,0,0)qhxzy 由于分界面两侧都是待求场域，应对两个区域分由于分界面两侧都是待求场域，应对两个区域分别讨论。别讨论。点电荷点电荷q q在介质在介质 中中P P点引点引起的电位：起的电位：左半空间的电位实际是左半空间的电位实际是点电荷点电荷q q在在介质介质 中中P P点引

16、起的电位点引起的电位与介质与介质 分界面上的分界面上的极化电荷极化电荷 在介质在介质 中中P P点引起的电位点引起的电位之和。之和。介质介质 分界面上的极化电荷分界面上的极化电荷 可在点电荷镜像可在点电荷镜像的位置上用的位置上用镜像电荷镜像电荷 来代替。它在来代替。它在介质介质 中中P P点点引起的电位：引起的电位：即左半空间的电位由即左半空间的电位由 和和 在整个空间为在整个空间为 来计算。来计算。而且，待求场域为而且，待求场域为左半空间，其中左半空间，其中没有镜像电没有镜像电荷，荷，即除点电荷所在处：即除点电荷所在处：左半空间任意左半空间任意P P点的电位：点的电位：qhxzy22S 即右

17、半空间的电位由即右半空间的电位由 和和 在整个空间为在整个空间为 来来计算。计算。右半空间的电位实际是右半空间的电位实际是点电荷点电荷q q在介质在介质 中中P P点引起点引起的电位的电位与介质与介质 分界面上的分界面上的极化电荷极化电荷 在介质在介质 中中P P点引起的电位点引起的电位之和。之和。点电荷点电荷q q在介质在介质 中中P P点引点引起的电位：起的电位：介质介质 分界面上的分界面上的极化电荷极化电荷 可在点电荷的位置上用另可在点电荷的位置上用另镜像电镜像电荷荷 来代替。它在来代替。它在介质介质 中中P P点点引起的电位：引起的电位：代替后还应满足代替前的边界条件：代替后还应满足代

18、替前的边界条件：仍满足待求场域（仍满足待求场域（右半空右半空间）间）内没有镜像电荷，即：内没有镜像电荷，即：右半空间右半空间任意任意P P点点的电位：的电位：左半空间任意左半空间任意P P点的电位：点的电位：要满足边界条件：要满足边界条件：qhxzy21S 这里这里x x 坐标方向即为坐标方向即为 n n方向方向，因此有：因此有：这样，两区域的位场便可求出。这样，两区域的位场便可求出。11Sqhxyz(h,0,0)q(-h,0,0)P(x,y,z)如何满足如何满足边界条件边界条件？显然，显然，分界面上分界面上任一点都有：任一点都有：要满足边界条件要满足边界条件 只需：只需：特别指出，镜像法为我

19、们解决比较复杂的静电特别指出，镜像法为我们解决比较复杂的静电场问题提供了一种简便的方法。但它也是一种特场问题提供了一种简便的方法。但它也是一种特殊的方法。在恒定磁场及交变电磁场问题中也有殊的方法。在恒定磁场及交变电磁场问题中也有实用价值。实用价值。在使用镜像法时必须注意两点：为了保证待求在使用镜像法时必须注意两点：为了保证待求场区域内原电位方程成立，镜像电荷不能出现在场区域内原电位方程成立，镜像电荷不能出现在待求场区域内。镜像电荷的确立必须保证原有的待求场区域内。镜像电荷的确立必须保证原有的边界条件全部满足。边界条件全部满足。直角坐标系下的分离变量法直角坐标系下的分离变量法圆柱坐标系下的分离变

20、量法圆柱坐标系下的分离变量法球坐标系下的分离变量法（略）球坐标系下的分离变量法（略）分离变量法的基本思想是分离变量法的基本思想是:把位函数用两个或三个仅把位函数用两个或三个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示含一个坐标变量的函数的乘积表示,代入偏微分方程代入偏微分方程后后,借助借助“分离分离”常数将原来的偏微分方程转变为几常数将原来的偏微分方程转变为几个常微分方程个常微分方程,然后借助边界条件求解这些常微分方然后借助边界条件求解这些常微分方程程.仅讨论二维问题。仅讨论二维问题。5.3 5.3 二维边值问题的求解方法二维边值问题的求解方法分离变量法分离变量法一、一、直角坐标系下的分离变量法直角坐标系

21、下的分离变量法 设标量磁位是设标量磁位是x x和和y y的函数，沿的函数，沿z z方向没有变化，方向没有变化，则标量磁位的拉氏方程：则标量磁位的拉氏方程：首先：把位函数用两个仅含一个坐标变量的函数的首先：把位函数用两个仅含一个坐标变量的函数的乘积表示。乘积表示。待求位函数：待求位函数：上式中每一项都只是一个独立变量的函数，此式上式中每一项都只是一个独立变量的函数，此式要成立就要求每一项必须等于一常数，即：要成立就要求每一项必须等于一常数，即：称这一常数称这一常数 为分离常数。为分离常数。原来的偏微分方程就转原来的偏微分方程就转变为变为两个常微分方程两个常微分方程：分离常数一般分离常数一般有三种

22、可能。有三种可能。为正数为正数为负数为负数则原来的偏微分方程的解为：则原来的偏微分方程的解为：则原来的偏微分方程的解为：则原来的偏微分方程的解为：则原来的偏微分方程的解为：则原来的偏微分方程的解为：由于拉氏方程是线性方程，适用于叠加原理，由于拉氏方程是线性方程，适用于叠加原理，因此，可用对应各个特定值因此，可用对应各个特定值k k的特解的迭加所组成的特解的迭加所组成的级数作为原拉氏方程的通解。即的级数作为原拉氏方程的通解。即:例：例：一旋转电机，设转子和定子的轴向长度比转子半一旋转电机，设转子和定子的轴向长度比转子半径大得多，气隙为径大得多，气隙为a a，定、转子表面为光滑圆柱面，定、转子表面

23、为光滑圆柱面，定子绕组的电流为沿定子内表面周界作正弦分布的面定子绕组的电流为沿定子内表面周界作正弦分布的面电流，电流线密度为电流，电流线密度为 b b为极距。求为极距。求气隙中的磁场分布。气隙中的磁场分布。转子转子定子定子为简便起见，将圆形气隙为简便起见，将圆形气隙展开成平面，如图所示：展开成平面，如图所示：转子转子定子定子 气隙中的磁场可视为气隙中的磁场可视为沿轴向不变的平行平面沿轴向不变的平行平面磁场。即与磁场。即与z z无关。无关。定子电流沿轴向，气隙中定子电流沿轴向，气隙中的矢磁位只有轴向分量。的矢磁位只有轴向分量。气隙中的矢磁位满足拉氏方程：气隙中的矢磁位满足拉氏方程：直角坐标系下：

24、直角坐标系下：气隙中的磁场与气隙中的磁场与z z无关，则：无关，则：利用利用直角坐标系下分离变量法直角坐标系下分离变量法,上述拉氏方上述拉氏方程的通解为：程的通解为：利用边界条件确定上述积分常数利用边界条件确定上述积分常数.二、圆柱坐标系下的分离变量法二、圆柱坐标系下的分离变量法圆柱坐标系中的圆柱坐标系中的拉氏方程为：拉氏方程为：仅讨论二维问题，假设与仅讨论二维问题，假设与z z无关。即：无关。即：运用分离变量法，令其解为：运用分离变量法，令其解为：将此解代入上式得：将此解代入上式得：若上式成立，必须：若上式成立，必须：原来的偏微分方原来的偏微分方程就转变为程就转变为两个两个常微分方程。常微分

25、方程。注意到常微分方程注意到常微分方程(*)(*)的解答应满足自然的周期条件的解答应满足自然的周期条件,即即标量位函数的单值性标量位函数的单值性条件条件:因此因此,分离常数的取值只可能是分离常数的取值只可能是:且且n n必须是整数，对应的解：必须是整数，对应的解：注注:n:n为负整数的情况可不予考虑。为负整数的情况可不予考虑。其解其解 为指数函数为指数函数不满足单值性条件不满足单值性条件.则原来的偏微分方程的通解为：则原来的偏微分方程的通解为：上述两个常微分方程的解有两种情况：上述两个常微分方程的解有两种情况：拉氏方程的一般解可由所有特解迭加组成：拉氏方程的一般解可由所有特解迭加组成：例：例：

26、（清华大学（清华大学20002000年研究生入学考试试题）一半径为年研究生入学考试试题）一半径为a a的无限长圆柱置于一均匀磁场的无限长圆柱置于一均匀磁场 中，圆柱中，圆柱的导磁率为的导磁率为 ，周围空间的导磁率为，周围空间的导磁率为 ，圆柱的，圆柱的轴线与轴线与z z轴重合，求空间任意一点的磁场强度。轴重合，求空间任意一点的磁场强度。选选做：做：求求一个半径为一个半径为a a的磁介质球置于均匀磁场的磁介质球置于均匀磁场 中后，求球内外的磁场中后，求球内外的磁场zH0auu0这是一无源区域求磁场的问题这是一无源区域求磁场的问题 可利用标量磁位的拉氏方程和边可利用标量磁位的拉氏方程和边界条件来计

27、算界条件来计算.则：则：设球内外的标量磁位分别为设球内外的标量磁位分别为三、球坐标系下的分离变量法（略）三、球坐标系下的分离变量法（略）设设球心标量磁位为参考磁位球心标量磁位为参考磁位，即：，即：边界条件：边界条件：参阅教材参阅教材P94P94例例3-93-9本章小结本章小结重重点点内内容容：（1 1）磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于）磁导率与介电常数不同，磁导率可以小于1 1，而且大多书媒质的磁导率接近，而且大多书媒质的磁导率接近1 1。真空中恒定磁场真空中恒定磁场的基本方程：的基本方程：介质中恒定磁场介质中恒定磁场的基本方程：的基本方程：（2 2）恒定磁场的基本方程）恒定磁场的基本方程

28、（3 3）物质磁化的机理）物质磁化的机理 物质在外磁场作用下，物质在外磁场作用下，磁偶极子磁偶极子的排列趋于同的排列趋于同一方向。总一方向。总磁矩磁矩不为零，将产生附加磁场。这种不为零，将产生附加磁场。这种现象称为现象称为磁化磁化。把产生附加磁场的。把产生附加磁场的磁偶极子磁偶极子宏观宏观上等效为上等效为磁化电流磁化电流。（4 4）磁化电流与磁化强度的关系）磁化电流与磁化强度的关系（5 5）恒定磁场的边界条件）恒定磁场的边界条件（6 6）矢量磁位满足的微分方程）矢量磁位满足的微分方程真空中：真空中：介质中：介质中：分界面上无电流分界面上无电流分界面上有电流分界面上有电流（7 7）磁场的计算方法

29、）磁场的计算方法利用毕奥利用毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律利用安培环路定律利用安培环路定律利用矢量磁位的微分方程和边界条件利用矢量磁位的微分方程和边界条件利用标量磁位的微分方程和边界条件利用标量磁位的微分方程和边界条件补充作业：补充作业：1 1、一横截面半径为、一横截面半径为 ，介电常数为，介电常数为 的长直介质的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场中，场强的数值为圆柱体放置在均匀的外电场中，场强的数值为 ，方向与介质圆柱体的轴线垂直，均匀电场中介电常方向与介质圆柱体的轴线垂直，均匀电场中介电常数为数为 ，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。和电场强度。本本 节节 重重 点点点电荷点电荷对无限大导体平面的镜像对无限大导体平面的镜像线电荷线电荷对无限大导体平面的镜像对无限大导体平面的镜像补充作业：补充作业：三条输电线位于同一水平面上，导体半径均为三条输电线位于同一水平面上，导体半径均为r=4mmr=4mm，距地面高度为距地面高度为h=14mh=14m，线间距离线间距离d=2md=2m，其中其中导线导线1 1接电源，对地电压为接电源，对地电压为 ，如图所示。，如图所示。导线导线2 2、3 3未接电源，问其电压各为多少？未接电源，问其电压各为多少？1 2 3