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1、- 1 -高二第二学期承智班第高二第二学期承智班第 2 2 次考试数学试题次考试数学试题一、单选题一、单选题1已知直线与椭圆交于 、 两点,与圆交于 、 两点若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围是A. B. C. D. 2定义在上的函数满足(其中为的导函数) ,若,则下列各式成立的是( )A. B. C. D. 3设实数,若对任意的,不等式恒成立,则的最大值是( )A. B. C. D. 4已知抛物线()与双曲线(,)有相同的焦点 ,点 是两条曲线的一个交点,且轴,则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是( )A. B. C. D. 5我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理:
2、“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所载,若截得的两个截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等(任何一个平面所载的两个截面面积都相等).将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体,类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )- 2 -A. B. C. D. 6已知抛物线,过点的直线与抛物线交于 , 两点,交 轴于点 ,若,则实数 的取值是( )A. B. C. D.
3、 与有关7若函数有两个极值点,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 8在三棱锥中,是边长为 2 的等边三角形,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 9己知函数,关于 的方程恰好有三个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D. 10若函数在区间有一个极大值和一个极小值,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 11如图,在中, 、 分别是、的中点,若( ,) ,且点- 3 -落在四边形内(含边界) ,则的取值范围是( )A. B. C. D. 12已知,分别是双曲线 :(,)的左、右焦点,若 上存在一点 使得,则 的离心率的取值范围是( )A.
4、B. C. D. 二、填空二、填空题题13若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则_14已知 是双曲线(,)的右焦点, 是双曲线上位于第一象限内的一点,直线的方程为,则双曲线的离心率为_15已知数列的前 项和为,若数列是公差为 2 的等差数列,则数列的通项公式为_16已知等比数列的首项是 1,公比为 3,等差数列的首项是,公差为 1,把中的各项按如下规则依次插入到的每相邻两项之间,构成新数列:,- 4 -,即在和两项之间依次插入中 个项,则_ (用数字作答)三、解答题三、解答题17已知函数.(1)若,求函数的极值点; (2)若,函数有两个极值点,且,求证: .18已知抛物线,且,三点中恰有两点在
5、抛物线 上,另一点是抛物线 的焦点(1)求证: 、 三点共线;(2)若直线 过抛物线 的焦点且与抛物线 交于 、 两点,点 到 轴的距离为,点 到 轴的距离为,求的最小值19已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求 , 的值;(2)证明:. - 5 -参考答案参考答案CDDDC BBABA 11C12C13 或14151617 (1)见解析;(2)见解析(1)的定义域为, 若,则,所以当时,所以在上单调递增,所以无极值点若,则,由得,.当 的值变化时,的值的变化情况如下:+0-0+极大值极小值- 6 -所以有极大值点,极小值点 (2)由(1)及条件可知, 且,即,,所以 ,记,,因为当时, ,所以在上单调递减, 因为,所以,即.18 (1)见解析;(2)8.(1)由条件,可知,在抛物线 上,是抛物线 的焦点所以 解得 所以,所以,所以,所以 、 三点共线 - 7 -(2)由条件可知,可设,代入,得, ,解得设,则,所以 , 当且仅当,即或时,19 (1)(2)见解析(1)解:由已知得,因为,所以.(2)证明:由(1)知,所以.设,要证,即要证在恒成立.因为,所以在上为增函数,在上为减函数,所以.又,所以在上为减函数,在上为增函数,所以.由于不等式,不能同时取等号,故,- 8 -所以,成立.