《高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课堂探究学案新人教B版必修.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理课堂探究学案新人教B版必修.pdf(6页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.1.1 正弦定理课堂探究一、判断三角形解的个数剖析:(1)代数法在ABC中,已知a,b,A,由正弦定理可得sin Bbasin Am当 sin B1 时,这样的B不存在,即三角形无解当 sin B1 时,B90,若A90,则三角形有一解,否则无解当 sin B180时,三角形无解;当A 180,且A 180时,有两解;当A180时有一解(2)几何法根据条件中A的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况作出已知A,以A为圆心,边长b为半径画弧交A的一边于C使未知的边AB水平,顶点C在边AB上方,以点C为圆心,边长a
2、为半径作圆,该圆与射线AB交点的个数,即为解的个数,如下表所示:A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aab bsin Aabab ab解的个数一解两解无解一解无解二、教材中的“探索与研究”在正弦定理中,设asin Absin Bcsin Ck请研究常数k与ABC外接圆的半径R的关系(提示:先考察直角三角形)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学剖析:(1)如图 1,当ABC为直角三角形时,直接得到asin Absin Bcsin C2R(a,b,c分别为ABC中角A,B,C的对边,R为外接圆半径)(2)如图 2,当ABC为锐角三角形时,连接BO并延长交圆O于点D,连接
3、CD因为AD,所以asin Aasin D2R,同理bsin Bcsin C2R,即asin Absin Bcsin C2R(3)如图 3,当ABC为钝角三角形且A为钝角时,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,A180D,所以asin Aasin(180D)asin D2R由(2)知bsin Bcsin C2R,即asin Absin Bcsin C2R综上所述,对于任意ABC,asin Absin Bcsin C2R恒成立归纳总结:根据上述关系式可得到正弦定理的常用变式:(1)asin Bbsin A;asin Ccsin A;bsin Ccsin B(2)absin Asin B;sin
4、 Bbsin Aa(3)asin Absin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C2R(R为ABC外接圆的半径)(4)abc sin Asin Bsin C(5)边化角公式:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C(6)角化边公式:sin Aa2R,sin Bb2R,sin Cc2R题型一解三角形小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【例 1】已知在ABC中,c10,A45,C30,求a,b和B分析:正弦定理中有三个等式,每个等式都含有四个未知量,可知三求一 当知道两个角时,即可知道第三个角,所以若再知道三边中任意一边,就可解这个三角形解:asin
5、Acsin C,A45,C30,acsin Asin C10sin 45 sin 30 102,B180(AC)180(4530)105又bsin Bcsin C,bcsin Bsin C10sin 105 sin 30 20sin 75 206245(62)反思:本题给出了解三角形第一类问题(即已知两角和一边,求另两边和一角)的方法步骤,即先由正弦定理求得已知角的对边,然后利用内角和公式求得第三角,再用正弦定理求第三边【例 2】在ABC中,已知a3,b2,B45,求A,C和c分析:已知两边和其中一边的对角的解三角形问题可运用正弦定理来求解,但应注意解的个数解:由正弦定理asin Absin
6、B,知 sin Aasin Bb32asin BbAC,得满足sin C32的角C有两个正解:由正弦定理,得sin CABsin BAC32因为ABAC,所以C60或 120 当C60时,A90,SABC12ABACsin A 23;当C120时,A30,SABC12ABACsin A3所以ABC的面积为23或3【例 6】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c62,C30,求ab的最大值错解:因为C30,所以AB150,即B150A由正弦定理,得asin Absin(150A)62sin 30 又因为 sin A1,sin(150 A)1,所以ab2(62)2(62)4(62)故ab的最大值为4(62)错因分析:上述解法错误的原因是未弄清A与 150A之间的关系,这里A与150A是相互制约的,不是相互独立的量,sin A与 sin(150 A)不能同时取最大值 1,因此所得的结果是错误的小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学正解:因为C30,所以AB150 由正弦定理,得asin Absin(150A)62sin 30 因此,ab2(62)sin Asin(150 A)(8 43)cos(A75)8 43故ab的最大值为843