问题引导思维动态演绎精彩——一道习题探究教学案例设计.pdf

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1、教材教法案例点评2 0 1 4 年4 月问题引导思维，动态演绎精彩一道习题探究教学案例设计宁夏彭阳县第三中学王伯龙“数学是思维的体操，问题是数学的心脏”问题是引发学生思维与探究活动的向导，是学生课堂学习活动的载体，能有效地激发学生的好奇心和求知欲通过问题，可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构通过问题，能使学生主动探究发现数学的内在规律，认识与理解数学的本质新课标指出：“动手实践，探索交流是学生学习数学的重要而有效的方式，学生的数学学习活动是一个动态的、活泼的、富有个性的再创造过程”叶澜教授曾提倡：“用动态生成的观念，重新全面地认识课堂教学，构

2、建新的课堂教学观，使课堂焕发生命活力”因此，在数学教学，特别是习题探究课的教学中，要注重问题设计的整体性、层次性和探究性，通过问题串的设计来体现低起点、小坡度、密台阶，符合学生的认知规律让学生在问题串的引导下，可以自主学习，同时，问题间的适度思维差又能激发学生合作探究的兴趣笔者在每一单元授课结束后，都安排一节习题探究课，让学生在低起点、小坡度、密台阶的问题串下自然地探究学习下面的案例是笔者在教学椭圆单元后的一节习题课探究的教学设计一、教学简述题目设点A，曰的坐标分别为(一5，0)，(5，0)，直线A M，脚z 相交于点M，且它们的斜率之积为一，求点M 的9轨迹方程题目给出后，全班学生几乎都不屑

3、一顾，这不是前面已做过的一道例题吗?答案我们都没忘记，点肘的轨迹方程是1 2 5+旨=1(戈5)是的，不过老师今天不是9让你们去重复昨天的故事，而是想通过这道题目带着大家去继续探索研究，发现更多更有价值的问题，弄清试7 般7 高中版题的本质，从中感悟数学的真谛(同学们都笑了)教师：你能通过观察从试题的条件和所求出的结果中，提出一般性的问题吗?学生1：设点A，B 的坐标分别为(一n，0)，(口，0)，直线A M，嗍交于点M，且它们的斜率之积为一之，求点M 的旷轨迹方程众生：点M 的轨迹方程为冬+善：1(D 6 o)(算口)旷b 教师：把上述试题看作命题，从逆向思考问题的视角出发，你能提出一个新的

4、问题并且会验证它成立吗?学生2：(口述)设点A，B 分别为椭圆E：等+丢=l(口6 0)长轴的左右顶点，点M(不同于点A，鳓为椭圆E 上一点，则|j 埘后肋F 一之旷学生共同完成证明过程如下：，2由已知易得A(一n，0)，B(a，0)，设点M(x。，Y o)，则竺+旷鲁=1，即y：=一芒(戈：一a 2)于是后埘后脚=L j 生=善之D c gx o+ax o-a聋和矿=一之，从而命题是真命题矿教师：上面的问题中，点A，B 是椭圆E 长轴的两个顶点时成立，那么，换成短轴的两个顶点时，是否有同样的结论呢?众生：我们通过验证，也有同样的结论此时，同学们激情高昂，渴望更多，更有价值的新问题，新结论出现

5、，教师趁热打铁教师：结合上面的问题，谁还能提出新的问题或猜想?同学们积极思考，同桌交流，组内合作探讨，大约过了3 分钟的时间，便有同学举手发言学生3：我由学生2 和您刚提出的问题受到启发，提万方数据2 0 1 4 年4 月案例点评出一个猜想(口述)：点A，B，肘是椭圆E：等+丢=l(口 6 o)上不同的三点，若k 胁|舻一芝，则点A，曰的连线过椭矿圆的中一o o 学生4：受学生3 提出的猜想的启发，从逆向思维的视角思考问题的方法，我也提出一个猜想(口述)：过原点D 的直线z 交椭圆E：等+丢：l(6 o)于点A，B，M(不同于点A，B)为椭圆E 上一点，贝l J k,g 矗埘B=一之教师：很好

6、，你们不负众望，老师为你们骄傲(掌声鼓励)为了研究问题的方便，把学生3，学生4 提出的猜想分别记为，冈0 才两位同学提出了两个猜想，既然是猜想，当然需要我们去验证教师用“几何画板”演示，给学生直观、动态的感受从动态的演示中，同学们欣喜若狂发现他们的猜想是成立的经过师生共同的参与研究，完成猜想的验证过程如下：为了方便，记k 埘=|，设M(x。，y o)，A(扎y。)，B(x：，y 2)，则直线删：y-y o=后(戈咄。)由方苇 i；j ll【Y 6-Y 2+。=口k 讧(x-扔x。)：消去y整理得菇的一元二次方程(6 2+矾2)菇2+2 a 2 k(y o k x o)茗+a 2 (y o-k

7、x。)2-b 2 =0，因为方程有一个根为X=X。，由根与系数间的关系得茗。慨-=2 a i 2 k(萨k x 矿o-y o)，所以茗l _a 2 k 2 x i-2 瓦a 2 k 矛y o 一-b 2 x o，代入得y-=b 2 y o-j a f 2 k 孬2 y 孑o-2-b 2 k x o 又由J j 埘I|庐一罢得知庐一要，所以将方程组中的后换成一要，解茁西K莲k得x 2=-a 2 k Z x 础o+2 4 a 2 k 6 y。o+b 2 x o-，y 1=-b 2 y o+i a 2 k 再2 y o 万+2 一b 2 k x o 于是x l 慨2=0，Y 1+y 2=O，所以点A

8、，B 关于原点0 对称，故A，B 的连线过椭圆的中心O 对于猜想学生求解的思路是：当f 为椭圆E 的长、短轴所在的直线时，前面已知这里只写出不是长、短轴的情形设M(x o，y o)，A(Y。)，B(x：，Y：)，直线l：y=k x 由方程组 意巍批消去y 得(群+6 2)x 2-a 2 b 2 _ 0 所机2 _o，茗z 一丽a 2 b 2 于是有y t 坳=。，戈牟z 一薹羞象所以晟埘材法l|一(y 2-y o)(y-y o)：!坚!竺!趟一堕篮二堕!：铀一瓦；而一磊了磊蕊i 一一a 2(y 2 0-k：x 2)一芒(注意到6 j+口粥=扔z)综上，猜想成立旷教师：大家已验证了猜想是成立的，

9、那么把我们的研究成果形成结论，不妨分别叫做结论1 和结论2 请大家仔细观察图1，老师过椭圆的中-O o 作O P f f M A 交M B于点P，结合结论1 和结论2，你有什么新的发现吗?V、B移展?￥乡。二、体验高考经过一番探究后，在大家都为自己的探究兴奋不已时，笔者顺势抛出了下面的三道练习题：题1(2 0 1 3 年全国高考大纲卷理科第8 题)椭圆c：等+等=l 的左、右顶点分别钟。、A：，点赃c 上，且直线尉：的斜率的取值范围是 一2，一1 ，那么直线P A。的斜率的取值范围是()A 吉，号 B 詈，寻 c ，D 寻，题2(2 0 1 3 年全国高考新课标I 卷理科第1 0 题)已知椭圆

10、E：等+等：1(痧6 o)的右焦点为只3，o)，过点瑚直线交E 于A，曰两点若A 曰的中点坐标为(1，一1)，则E 的方程为()A!+：1B 笙+：1c 兰+：1 D 兰+：14 5 3 63 62。72 71 81 89题3(2 0 1 0 年全国高考数学上海卷理科第2 3 题)已知椭圆丁：等+善=1(口 6 0)，点P 的坐标为(一口，b)(I)略()设直线2。：y=而傅+p 交椭圆吁C、D 两点，交直线1 2：y=南彬于点E 若I|函2=一-O-，证明：E 为c D 的中点高中版十。7 擞-7 l万方数据教材教法案例点评2 0 1 4 年4 月()略很快，有学生结合结论得出了题1，题2

11、的选项分别为B 和D 对于题3，当大家正在激烈地进行代数运算时，平时爱思考的学生6 给出了简洁证法：证明：过。亡t c c c f：交椭圆盱点G，由“k 2=-芝得旷|函萨一芒，由结论1 知原点。为佃的中点，所以E 为c D 的矿中点课堂在一片热烈的掌声中落下了帷幕三、教后反思本节课迎合新课程理念，不仅圆满地完成了预期的课堂教学任务，更重要的是达到了以下的效果(1)给学生留出了时间，留出了空间，提供了体验和领悟的机会，通过问题串的引领，让学生经历了数学认知的过程，让学生大胆地猜想，感悟数学问题的产生原本就是那么的自然、合理、简单，自己通过努力也能发现和解决，从心理上消除了数学难学的困惑(2)调

12、动了学生探究学习的热情，激发了学生的求知欲和进取精神，学习潜力也得到了挖掘，正所谓“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”也增强了课堂教学活力，提高了教学效率教材凝聚了专家们的心智，教材中的例习题都具有很强的基础性、典范性和示范性，它是教师教学的基础和根本，也是高考命题的立足点因此对教材例习题的探究、拓展，能够引导学生重视教材，回归教材，夯实基础，培养学生学习数学的自信心数学的精髓在于探索和创新本节课通过教材中一道平常的例题，经过教师精心的设计，以问题串引领学生不断地发现新问题，获取新信息，得出新结论(对学生而言)调动学生通过探索交流的动态方式去参与探索、发现、解决问题的全过程这样，学生学到的不

13、单是知识本身，也经历了知识发生、形成的过程同时在分析、探索、发现的过程中领会到知识创新的思维过程和思维方法，从而提高他们的创新能力参考文献：1 人民教育出版社中学数学室普通高中课程标准实验教科书：选修2 1 M 北京：人民教育出版社，2 0 0 7 2 叶尧城高中数学课程标准教师读本 M 武汉：华中师范大学出版社，2 0 0 3 3 邵珍红自主探究、合作交流在课堂中的实际应用 J 数学通报，2 0 1 1(2)圃(上接第1 5 页)(1)求证：直线E 助面一C D；(2)求证：面E F C 上酗C D C图2在解题过程中，相同的，也有定义法和建立直角坐标系法两种，要证明两平面垂直，首先就得明白

14、：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如果一个平面垂直于两个平行面中的一个，那么，也垂直于另一个平面当然，也可以同样通过以D 为原点建立直角坐标系，通过求两个平面的法向量，当两个平面的法向量数量积为0 时，那么两个平面相互垂直4 复习课的设计要以学生为主体，引导学生进行有效复习与巩固在高中数学复习阶段，复习时更应该以学生为主体在讲授新课时，多以教师的讲授和学生的被动接受为主要方式，但是，在复习时就应该打破这样的模式，教师在这一过程中，应当以学生为主，尽可能地让学生自-十。?鼗?高中版己去回忆和思考以前所学的

15、知识，在学生想不起来时，再予以提醒和指点然后，在学生对知识有了印象之后，再将前后的知识连贯起来，突出新的知识点最后，再在新知识的基础上，出练习题，让学生练习这样，学生不仅不会觉得复习课无聊，相反，他们还会觉得复习课有新的知识点，更有乐趣，而且，综合的练习题对于学生而言，更有挑战性，更能激发学生学习和练习的积极性二、总结传统高中数学课的复习主要以题海战术和教师讲述为主，在目前的教育环境下，所取得的效果不是非常理想因为这样的复习课无法使学生拥有学习的兴趣和积极性，相反，还会打消他们学习数学的热情所以，高中数学复习课教学设计的创新是一个重要的环节，对学生复习效果有着举足轻重的影响只有创新的、新颖的复习课设计才能提高学生的积极性，复习效果才会更为理想参考文献：1 朱彤从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新 J 成功(教育)，2 0 1 2(3)3 吕增锋切口宜求小视角力求新数学复习课教学新思维 J 教学时空(论教谈学)，2 0 1 2(8)口田万方数据