2021_2022学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2.2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册.pptx

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1、1.2.21.2.2空间中的平面与空间向量空间中的平面与空间向量第一章第一章2021内容索引0102课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习核心素养思维脉络1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平面的法向量.(数学运算)2.会用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系.(直观想象)3.理解并会用三垂线定理及其逆定理.(逻辑推理)课前篇课前篇 自主预习自主预习激趣诱思牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如

2、图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?知识点拨1.平面的法向量如果是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直,则称n为平面的一个法向量.此时,也称n与平面垂直,记作n.微思考一个平面的法向量是否唯一?提示 不唯一,一个平面的法向量有无数多个.2.平面的法向量的求法在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤:(1)设平面的法向量为n=(x,y,z);(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方

3、程组(4)解方程组,取其中的一组解,即得平面的一个法向量.微练习已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A.(bc,ac,ab)B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac)D.(ab,ac,bc)答案A 3.用空间向量处理平行或垂直关系(1)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面的一个法向量,则nvl;nvl,或l.(2)如果n1是平面1的一个法向量,n2是平面2的一个法向量,则n1n212;n1n212,或1与2重合.名师点析解答这类问题的关键:一是要清楚直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系;二是熟练掌握判断向

4、量共线、垂直的方法.在把向量问题转化为几何问题时,要注意两者的区别,直线的方向向量和平面平行,则直线可能在平面内,也可能与平面平行微练习设直线l的一个方向向量d=(6,2,3),平面的一个法向量n=(-1,3,0),则直线l与平面的位置关系是()A.垂直 B.平行C.直线l在平面内D.直线l在平面内或平行答案D微判断(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.()(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.()(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.()答案(1)(2)(3)4.三垂线定

5、理及三垂线定理的逆定理三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.微思考三垂线定理及其逆定理有何区别与联系?提示联系:都是一面四线,三种垂直关系.区别:从条件或结论上看,三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直”,而逆定理恰好相反;从作用上看,三垂线定理是“共面直线垂直异面直线垂直”,而逆定理恰好相反.课堂篇课堂篇 探究学习探究学习探究一探究一求平面的法向量求平面的法向量如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的

6、中点.AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.解因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.反思感悟通过此类例题的解答,在求平面的法向量时要注意:(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.(2)取特值:在求n的坐标时,可令x,y,z中一个为特殊值得另两个值,得到平面的一个法向量.(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.延伸探究本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.变式训练1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0),B(0,

7、2,3),C(1,1,3),试求出平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3),探究二探究二利用空利用空间向量向量证明平行明平行问题例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),令z2=2,得y2=-1,所以n2=(0,-1,2).因为n1=

8、n2,即n1n2,所以平面ADE平面B1C1F.反思感悟证明线面、面面平行问题的方法(1)用向量法证明线面平行:证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1平面ADE一定不能漏掉.(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=n2这一形式.变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=B

9、C=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.解存在点E使CE平面PAB.以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),(-1,y-1,z)(0,2,0)=0.y=1,代入得z=,E是PD的中点,当点E为PD中点时,CE平面PAB.探究三探究三证明明线面垂直面垂直问题例3如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以A

10、OBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,且平面ABC平面BCC1B1=BC,AO平面ABC,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,又因为BA1BD=B,所以AB1平面A1BD.反思感悟1.用坐标法证明线面垂直的常用方法:方法一:基向量法(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向量用坐标表示.(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量.(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.方法二:坐标法(1)建立空间直角坐标系.(2)将直线的方向向

11、量用坐标表示.(3)求出平面的法向量.(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.对于容易建系的几何载体要尽量用坐标法处理有关垂直问题,如果只用基向量法解决涉及的线性运算和数量积运算比较复杂.而建系后只需一切交给坐标即可.延伸探究本例中增加条件,E,F分别是BC,BB1的中点,求证:EF平面ADE.即EFEA,EFED,又EAED=E,EA,ED平面ADE,EF平面ADE.变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF平面B1AC.证明方法一设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1

12、(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).即EFAB1,EFAC.又AB1AC=A,AB1平面B1AC,AC平面B1AC,EF平面B1AC.同理,EFB1C.又AB1B1C=B1,AB1平面B1AC,B1C平面B1AC,EF平面B1AC.探究四探究四证明面面垂直明面面垂直问题例4如图,在四棱锥E-ABCD中,AB平面BCE,CD平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,BCE=120,求证:平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O,连接OC,又AB平面BCE,所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).又AB平面BCE,OC平面BCE,所以ABOC.因为BEOC,ABBE=

13、B,AB,BE平面ABE,所以OC平面ABE.要点笔记证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.本例就是用的向量法,关键是明确两个平面的法向量.变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.(1)求证:平面AED平面A1FD1;(2)在直线AE上求一点M,使得A1M平面AED.(1)证明以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0

14、,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),同理,平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1).n1n2=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1n2,平面AED平面A1FD1.探究五探究五三垂三垂线定理及其逆定理定理及其逆定理例5如图,空间四边形ABCD中,点A在平面BCD内的射影O1是BCD的垂心,求证:点B在平面ACD内的射影O2必是ACD的垂心.分析应用三垂线定理一定要分清斜线与射影,并注意第三条垂线要与射影在同一平面内.证明连接DO1,BO1,AO2,CO2.O1是BCD的垂心,DO1BC.又AO1平面BCD,BCAD(三垂线定理).BC是平面ACD的斜线,BO2平面AC

15、D,CO2是BC在平面ACD内的射影,CO2AD(三垂线定理的逆定理).同理,AO2CD.O2是ACD的垂心.反思感悟1.三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直,在应用时要清楚以下问题:(1)从条件上看,三垂线定理的条件是“和射影垂直”;其逆定理的条件是“和斜线垂直”.显然本例中三垂线定理和三垂线定理的逆定理都充分利用了.(2)从功能上看,三垂线定理用于解决已知共面垂直,证明异面垂直的问题;逆定理正好相反.解决垂心问题需要两次垂直的证明,都能用上定理和其逆定理的框架结构.2.三垂线定理及其逆定理应用中的三个环节用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的关键在于构造三垂线定理的基本图形,创设应

16、用定理的环境.构造三垂线定理基本图形时要抓住下面三个环节:(1)确定投影面;(2)作出垂线;(3)确定射影.变式训练5如图,BC是RtABC的斜边,过点A作ABC所在平面的垂线AP,连接PB,PC,过点A作ADBC于点D,连接PD,那么图中的直角三角形共有()A.4个B.6个C.7个D.8个答案D 解析AP平面,PD在平面内的射影为AD,ADBC,由三垂线定理可得,PDBC,ABC,ABD,ACD,PBD,PCD,PAB,PAD,PAC均为直角三角形,共8个.故选D.变式训练6如图,已知BAC在平面内,点P在外,PEAB,PFAC,PO,垂足分别是E,F,O,PE=PF.求证:BAO=CAO.

17、证明连接PA,OE,OF.PEAB,PFAC,PO,ABOE,ACOF(三垂线定理的逆定理),PE=PF,PA=PA,RtPAERtPAF.AE=AF.又AO=AO,RtAOERtAOF.BAO=CAO.素养形成素养形成平行或垂直证明中的探索类问题平行或垂直证明中的探索类问题一、平行证明中的探索类问题案例1如图所示,在正方体AC1中,O为底面ABCD中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO.【规范答题】解如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体棱长为1,即APBQ

18、,又APOP=P,BQBD1=B,则有平面PAO平面D1BQ,当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.归纳提升(1)求点的坐标:可设出相应点的坐标,根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线,进而建立与所求点的坐标有关的等式.(2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式,通过应用推理的方式与方法,能较好地培养学生的合乎逻辑的思维品质.二、垂直证明中的探索类问题案例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE.【规范答题】解 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴

19、,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,D(0,0,0),P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),x1=(a-1)z1,y1=0.令z1=1,得x1=a-1,n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),令y2=1,得x2=-2,z2=-1,n2=(-2,1,-1).平面A1B1P平面C1DE,n1n2=0,即-2(a-1)-1=0,得a=.当P为CC1的中点时,平面A1B1P平面C1DE.归纳提升立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高,分析时应特别注意.本例由题意设

20、出探求点的坐标,利用两平面垂直时法向量的位置关系及严密的逻辑推理,从而得出点P的坐标.当堂当堂检测1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面的法向量为n=(-2,0,-4),则()A.l B.lC.lD.l与斜交答案B解析n=-2a,an,即l.2.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为(1,2),若直线l,则m的值为()A.-4B.-6C.-8D.8答案C 3.若平面,的法向量分别为a=(2,-1,0),b=(-1,-2,0),则与的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定答案B解析ab=-2+2+0=0,ab,.4.如图,在ABC中,ACB=90,直

21、线l过点A且垂直于平面ABC,动点Pl,当点P逐渐远离点A时,PCB的度数()A.逐渐变大B.逐渐变小C.不变D.先变大再变小答案C解析由题意可得,ACBC.PA平面ABC,由三垂线定理的逆定理可得,BCPC.PCB=90,即PCB的度数保持不变.故选C.答案 6.如图所示,在空间图形P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,CDAB,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,且PB=4PM,PBC=30,求证:CM平面PAD.证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,PBC=30,PC=2,7.在四面体ABCD中,AB平面BCD,BC=CD,BCD=90,ADB=30,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF平面ABC.BCD=90,CDBC.又AB平面BCD,ABCD.又ABBC=B,CD平面ABC.本 课 结 束