学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其运算课件新人教B版选择性必修第一册.pptx

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1、1.1.11.1.1空间向量及其运算空间向量及其运算第一章第一章2021第一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。内容索引课前篇课前篇 自主预习自主预习课堂篇课堂篇 探究学习探究学习第二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。核心素养思维脉络1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的表示方法.(数学抽象)2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.(数学运算)3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.(逻辑推理)4.理解空间向量夹角的概念,并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.(数学抽象)5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.(逻辑推理)第三页，编辑于星期五：二十三点

2、四十二分。课前篇课前篇 自主预习自主预习第四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。激趣诱思一天,梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车,上面装满了好吃的东西,于是就想把车子从路上拖下来,三个家伙一齐铆足了劲,使出了平生的力气一起拖车,可是,无论它们怎样用力,小车还是在老地方一步也动不了.原来,天鹅使劲往天上提,虾一步步向后倒拖,梭子鱼又朝着池塘拉去.同学们,你们知道这样拉车,车子为什么不动吗?第五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。知识点拨1.空间向量的概念 空间向量空间中既有大小,又有方向的量零向量、单位向量始点和终点相同的向量称为零向量,记为0.模等于1的向量称为单位向量,一般记为e向量的模(

3、或长度)表示向量a的有向线段的长度,记作|a|相等向量大小相等、方向相同的向量平行向量(或共线向量)方向相同或者相反的两个非零向量共面向量空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段通过平移之后,都能在同一平面内第六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微判断(1)两个有共同始点且相等的向量,其终点必相同.()(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量.()(3)在空间中,任意一个向量都可以进行平移.()(4)模相等的向量不一定是相等向量.()(5)表示两个平行向量的有向线段所在的直线一定不重合.()答案 (1)(2)(3)(4)(5)第七页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微练习在平行六面体A

4、BCD-A1B1C1D1中,与向量 相等的向量共有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个答案 C 第八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。2.空间向量的线性运算及其运算律 (3)数乘:a,当0,a0时,|a|=|a|,而且a的方向:当0时,a与a方向相同;当0时,a与a方向相反;当=0或a=0时,a=0.第九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。(4)线性运算律 加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+b.第十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。名师点析空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形法则,减法

5、满足三角形法则.(2)以向量a,b对应的有向线段为邻边的平行四边形中,a+b与a-b对应的有向线段所表示的是两条对角线,|a+b|与|a-b|为两条对角线的长度.(3)三个不共面的向量和,等于以这三个向量对应的有向线段为邻边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.第十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微判断(1)空间中两个非零向量相加时,可以在空间中任取一点作为它们的共同始点.()(2)实数与空间向量a相乘的结果可以是0.()(3)若a=b(b0),则= .()答案 (1)(2)(3)第十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微练习1 A.a+b+cB.a+b-c

6、C.a-b-c D.-a+b+c答案 C 第十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微练习2 第十四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微思考首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和向量有什么特点?提示 和向量为0.第十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。3.空间向量的夹角 第十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微判断 答案 微思考两个非零向量共线时,其夹角分别是多少?提示 两个非零向量共线且同向时,=0;两个非零向量共线且反向时,=.第十七页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。4.空间向量的数量积(1)定义:空间中已知两个非零向量a,b,则|a|b|cos叫做a,b的数量

7、积(也称为内积),记作ab.即ab=|a|b|cos.(2)规定零向量与任意向量的数量积为0.第十八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微判断若非零向量a,b为共线且同向的向量,则ab=|a|b|.()答案 第十九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微思考两个向量的数量积与数乘向量有何不同?提示 两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积,其结果是实数;数乘向量是一个数与一个向量的乘积,其结果仍是一个向量,如0a=0,而0a=0.第二十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。5.空间向量的数量积的性质(1)abab=0(a,b均是非零向量);(2)aa=|a|2=a2;(3)|ab|a

8、|b|;(4)(a)b=(ab);(5)ab=ba(交换律);(6)(a+b)c=ac+bc(分配律).第二十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。名师点析(1)空间向量的数量积的运算符号是“”,不能省略,更不能写成“”;(2)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量,它有别于数乘向量;(3)若ab=k,不能得出(4)ab的充要条件是ab=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,同时也说明了命题“ab=0a=0或b=0”是错误的.第二十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微判断(1)对于非零向量b,由ab=bc,可得a=c.()(2)对于向量a,b,c,有(ab)c=a(bc

9、).()答案 (1)(2)第二十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。微练习已知|a|=1,|b|= ,且a-b与a垂直,则a与b的夹角为()A.60B.30C.135D.45答案 D 解析 a-b与a垂直,(a-b)a=0, 0180,=45. 第二十四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。课堂篇课堂篇 探究学习探究学习第二十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。探究一探究一空间向量的概念空间向量的概念例1给出下列命题:两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;若空间向量m,n,p满足m=n

10、,n=p,则m=p;空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的个数为()A.4B.3C.2D.1第二十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 C 解析 当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故错;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但中向量a与b的方向不一定相同,故错;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量 的方向相同,模也相等,所以 ,故正确;命题显然正确;对于命题,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等,故错.所以正确的个数为2.第二十七页，

11、编辑于星期五：二十三点 四十二分。反思感悟解决有关向量概念的问题,要熟练掌握空间向量的有关概念,注意区分向量与向量的模以及数量.相等向量只需方向相同,长度相等,与向量的起点和终点没有必然的联系.尤其要注意解决此类概念问题时,要多结合几何图形进行分析,并要与平面向量中的结论进行类比.第二十八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。变式训练1下列关于空间向量的说法中正确的是()A.空间向量不满足加法结合律B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同 答案 D解析 A中,空间向量满足加法结合律;B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;C中,向量作为

12、矢量不能比较大小,故选D.第二十九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。探究二探究二空间向量的线性运算空间向量的线性运算例2如图,已知长方体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.第三十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第三十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第三十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。例3已知在平行六面体ABCD - ABCD中,M为CC的中点(如图).化简下列各表达式,并在图中标出化简结果的向量.第三十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第三十四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。反思感悟(1)对于借助几何图形的向量运算,应该在

13、线性运算的基础上挖掘好几何体中本身的特征,如平行、相等、垂直等.(2)化归与转化思想意识要加强,除借助向量的运算律外,还可以将已知向量转化为与之相等的向量以方便其运算,如例3中第(2)问将第三十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。A.B.C.D.第三十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 A 第三十七页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第三十八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第三十九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。探究三探究三求向量的数量积求向量的数量积例4已知长方体ABCD - ABCD,AB=AA=2,AD=4,E为侧面AB的中心,F为AD的中点,计算下列数量积:

14、第四十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第四十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。反思感悟求两个向量m,n的数量积一般分为两个层次:一是结合图形确定向量m,n的模及的大小,直接利用空间向量数量积的定义来求,此种情况下要注意向量夹角的正确性;二是选定一组基向量表示向量m,n,从而把m,n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求.当题目中没有明确基底的时候,合理选取基底是至关重要的,比如此题的基底选取既方便向量表示,又方便计算.第四十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。变式训练4已知正四面体OABC的棱长为1.求: 第四十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第四十四页，编辑于星

15、期五：二十三点 四十二分。第四十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。探究四探究四利用数量积证明垂直问题利用数量积证明垂直问题例5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.求证:PABD.第四十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。反思感悟(1)由数量积的性质abab=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,需将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直.第四十七页，编辑于

16、星期五：二十三点 四十二分。变式训练5如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O平面GBD.第四十八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第四十九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。又OGBD=O,OG平面GBD,BD平面GBD,A1O平面GBD.第五十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。探究五探究五利用数量积求解距离或长度问题利用数量积求解距离或长度问题例6平行四边形ABCD中,AB=2AC=2且ACD=90,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求B,D间的距离.第五十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。反思感悟利用向

17、量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= 求解.第五十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。变式训练6在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90,BAA1=DAA1=60,求AC1的长.第五十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。素养形成素养形成易错点易错点因将向量夹角与直线夹角混淆而致因将向量夹角与直线夹角混淆而致错错 案例如图,空间四边形ABCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M

18、,N分别是AB,AD的中点,计算第五十四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第五十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。【规范答题】 第五十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。当堂检测当堂检测1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 B第五十七页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 C 第五十八页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。3.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且 第五十九页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 C 第六十页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。4.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60,则AC1的长为()第六十一页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 C 第六十二页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。第六十三页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。答案 601 第六十四页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。6.已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PMQN. 第六十五页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。本本 课课 结结 束束第六十六页，编辑于星期五：二十三点 四十二分。