线性稳定性幻灯片.ppt

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1、线性稳定性第1页，共29页，编辑于2022年，星期一3-8 3-8 线性系统的稳定性线性系统的稳定性一、稳定性的概念一、稳定性的概念 定义定义：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定。否则，不稳定。上述稳定是上述稳定是“渐近稳定渐近稳定”的的“线性线性”系统通常是线性化的系统通常是线性化的因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论因此，稳定性通常也应

2、在小偏差范围中讨论第2页，共29页，编辑于2022年，星期一临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。第3页，共29页，编辑于2022年，星期一稳定的充要条件稳定的充要条件假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：系统（渐近）稳定。第4页，共29页，编辑于2022年，星期一理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳

3、定系统,t 时,输出量 c(t)=0。由上式知：如 果pi和 i均 为 负 值,当t时,c(t)0。第5页，共29页，编辑于2022年，星期一自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程系统特征方程第6页，共29页，编辑于2022年，星期一第7页，共29页，编辑于2022年，星期一稳定的必要条件稳定的必要条件系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。设系统 特征根为p1、p2、pn-1、pn则若系统稳定，必有pi 0,因此上式各项系数均大于零。但若系统特征方程满足稳定必要条

4、件，系统是但若系统特征方程满足稳定必要条件，系统是否稳定？劳斯与赫尔维茨分别给出了这方面的否稳定？劳斯与赫尔维茨分别给出了这方面的判据。判据。第8页，共29页，编辑于2022年，星期一s sn na0a2a4a6s sn n1 1a1a3a5a7s sn n2 2b1b2b3b4s sn n3 3c1c2c3c4s s2 2e1e2s s1 1f1s s0 0g1判据系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。特征方程特征方程劳斯表劳斯表第9页，共29页，编辑于2022年，星期一劳斯表的列法劳斯表的列法前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶；前两行为特征方程的系数，右移一

5、位降两阶；第三行起元素的计算为：分母为上一行第一个第三行起元素的计算为：分母为上一行第一个元素；元素；分子为一行列式，第一列为上两行的第一，第二列分子为一行列式，第一列为上两行的第一，第二列为所计算元素右肩上元素。次对角线减主对角线元为所计算元素右肩上元素。次对角线减主对角线元素。素。一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数第10页，共29页，编辑于2022年，星期一设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/

6、1=-8-82 41 2劳斯表介绍劳斯表介绍劳斯表特点劳斯表特点4 每两行个数相等每两行个数相等1 右移一位降两阶右移一位降两阶2 行列式第一列不动行列式第一列不动3 次对角线减主对角线次对角线减主对角线5 分母总是上一行第一个元素分母总是上一行第一个元素7 第一列出现零元素时，第一列出现零元素时，用正无穷小量用正无穷小量代替。代替。6 一行可同乘以或同除以某正数一行可同乘以或同除以某正数2+87-8(2 +8)-7271 2 7-8第11页，共29页，编辑于2022年，星期一控制系统稳定的充分必要条件：控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。劳思阵列第一列元素不改变符号。性

7、质：第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。若变号系统不稳定若变号系统不稳定!劳斯判据劳斯判据第12页，共29页，编辑于2022年，星期一三、劳斯判据的应用1.判定系统的稳定性例：D(s)=s4+2s3+3s2+4s+5=0s413524s3s2s1s0005 劳斯表第一列元素符号改变2次，表明系统有2个正实部的根，该系统是不稳定的。第13页，共29页，编辑于2022年，星期一计算劳斯表时可能出现的几种特殊情况如果劳斯表第1列中出现0，则可以用一个小的正数代替它，然后继续计算其它元素。D(s)=s4+3s3+3s2+3s+2=0s413233s3s2s1s002220在劳斯表中上面

8、一行的首列和下面行的首列符号相同，劳斯表第一列元素没有符号改变。有一对纯虚根存在。系统的特征根为j，1，2。系统稳定的定义，该系统是不稳定的。第14页，共29页，编辑于2022年，星期一设系统特征方程为：设系统特征方程为：s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0劳劳 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1=-8-82 41 2 第一列出现零元第一列出现零元素时，素时，用正无穷小量用正无穷小量 代替。代替。2+87-8(2 +8)-7271 2 7-8第15页，共29页，编辑于2022年，星期一劳

9、斯表出现零行劳斯表出现零行设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎么办出现零行怎么办?3 如何求对称的根如何求对称的根?由零行的上一行构成由零行的上一行构成辅助方程辅助方程:有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表继续计算劳斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系统稳定所以系统稳定错啦错啦!由综合除法可得另两个由综合除法可得另两个根为根为

10、s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根解辅助方程得对称根:s1,2=j劳斯表出现零行劳斯表出现零行系统系统一定一定不稳定不稳定第16页，共29页，编辑于2022年，星期一s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0设系统特征方程为：设系统特征方程为：s513213s4s3s2s122/34603/2第三行全部为零！由上一行构造辅助方程。Q(s)=s4+3s2+2=0求导得：4s3+6s=0由此方程得到s3行的各项系数2s02 劳斯表第一列元素符号没有改变，系统没有正实部的根，但该系统是不稳定的。原方程中关于原点对称的根可以通过解辅助方程Q(s)=s4+3s2+2=0求出。第17页，共29页，编辑于

11、2022年，星期一利用劳斯判据判断系统的稳定性的结论为：系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项，全部系数大于0，且劳斯表第一列所有元素也大于0。2分析系统参数对稳定性的影响已知系统的开环传递函数为确定稳定的开环放大倍数的取值范围，和临界放大系数KP。特征方程为：第18页，共29页，编辑于2022年，星期一s3s2s1144040K14001440Ks040K稳定条件为K0144040K0解得使系统稳定的K值范围0K143.确定系统的相对稳定性 具体做法是：sz-a代入原系统的特征方程，得出以z为变量的方程。应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件。则该系统的特征根都落在s平面中s-

12、a直线的左半部分，即只有a以上的稳定裕度。ajS平面0第19页，共29页，编辑于2022年，星期一第20页，共29页，编辑于2022年，星期一第21页，共29页，编辑于2022年，星期一赫尔维茨行列式赫尔维茨行列式系统的n阶赫尔维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列式第22页，共29页，编辑于2022年，星期一赫尔维茨赫尔维茨(Hurwitz)判据判据控制系统稳定的充分必要条件是：当控制系统稳定的充分必要条件是：当a00时，时，各阶赫尔各阶赫尔维茨行列式维茨行列式 1、2、n均大于零。均大于零。一阶系统二阶系统a00时,a10(全部系数数同号)a00时,a10,a20(全部

13、系数数同号)a00时a00时第23页，共29页，编辑于2022年，星期一三阶系统a00时,a10,a20,a30(全部系数数同号)a00时 a1a2 a0 a3第24页，共29页，编辑于2022年，星期一四阶系统a00时,a10,a20,a30,a40(全部系数数同号)a00时第25页，共29页，编辑于2022年，星期一一阶系统a10(全部系数数同号)a10,a20(全部系数数同号)a10,a20,a30(全部系数数同号)a1a2 a0 a3a10,a20,a30,a40(全部系数数同号)归纳：a00时二阶系统三阶系统四阶系统第26页，共29页，编辑于2022年，星期一例例a10,a20,a30,a40K值的稳定范围各项系数均为正数a00时,第27页，共29页，编辑于2022年，星期一单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。第28页，共29页，编辑于2022年，星期一系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。第29页，共29页，编辑于2022年，星期一