稳定性控制幻灯片.ppt

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1、稳定性控制第1页，共30页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法）线性系统、非线性不很严重的系统，将其适当的线性化。可以按线性系统的稳定条件去线性系统、非线性不很严重的系统，将其适当的线性化。可以按线性系统的稳定条件去分析其稳定性。分析其稳定性。内容内容第一方法（间接法）第一方法（间接法）、对于线性系统；）、对于线性系统；（1已知已知,=AXX&非奇异，则非奇异，则A0=eX为其平衡点。为其平衡点。、内容、内容)2(的特征根全部具有负的的特征根全部具有负的、1A实部，系统是渐进稳定的。实部，系统是渐进稳定的。中有一个实部为正的特中有一个实部为正的特、2

2、A征根，实际系统不稳定征根，实际系统不稳定（在复平面的左半面则稳定）（在复平面的左半面则稳定）解微分方程解微分方程第2页，共30页，编辑于2022年，星期一第3页，共30页，编辑于2022年，星期一单级倒立摆系统单级倒立摆系统第4页，共30页，编辑于2022年，星期一在水平方向，应用牛顿第二定律：在水平方向，应用牛顿第二定律：第5页，共30页，编辑于2022年，星期一在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：第6页，共30页，编辑于2022年，星期一而有：而有：线性化：线性化：当当 和和 较小时较小时，有，有化简后，得化简后，得求解得：求解得：第7页，共30页，编

3、辑于2022年，星期一选择状态变量选择状态变量 ，为系统输入，为系统输入，为系统输出为系统输出选取四个研究对象作为状态变量，分别为：位移y、小车的速度y、摆角 及其角速度第8页，共30页，编辑于2022年，星期一为方便研究，假定系统的参数 M=4kg,m=0.2kg,l=1m,则系统状态方程中参数矩阵为：第9页，共30页，编辑于2022年，星期一此时倒置摆的状态空间模型表达式为：第10页，共30页，编辑于2022年，星期一由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：解得特征值为0,0，3.2078，-3.2078。四个特征值中存在一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系

4、统不稳定的。Lyapunov 第一法第一法A A的所有特征值均具有负实部的所有特征值均具有负实部第11页，共30页，编辑于2022年，星期一李亚普诺夫第二法（直接法）李亚普诺夫第二法（直接法）概述概述的能量的能量，使得一个具体的系统，使得一个具体的系统系统的复杂性和多样性系统的复杂性和多样性2函数不好直观的找出。函数不好直观的找出。正定的标量函数正定的标量函数李雅普诺夫定义了一个李雅普诺夫定义了一个构的广义能量函数。构的广义能量函数。，作为虚，作为虚)(XV然后，根据然后，根据的符号特征的符号特征来判断系统来判断系统的稳定性。的稳定性。如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，如

5、果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则的；反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；如果系统的储能既不增加，也不消耗，这个平衡状态是不稳定的；如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态则这个平衡状态1 1 从能量观点进行稳定性分析从能量观点进行稳定性分析正定的标量函数 判断 的正定性 第12页，共30页，编辑于2022年，星期一需注意问题需注意问题4应用李雅普诺夫第二法应用

6、李雅普诺夫第二法的寻找。的寻找。的关键问题是的关键问题是)(XV)(XV称李雅普诺夫函数称李雅普诺夫函数 已知系统已知系统)(XfX&=若能找到一个正定的若能找到一个正定的而而)(XV&进稳定的。进稳定的。是负定的，则系统是渐是负定的，则系统是渐)(XV33第13页，共30页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫稳定判据李雅普诺夫稳定判据第14页，共30页，编辑于2022年，星期一第15页，共30页，编辑于2022年，星期一=+=渐进稳定的渐进稳定的 大范围渐进稳定的大范围渐进稳定的第16页，共30页，编辑于2022年，星期一=第17页，共30页，编辑于2022年，星期一大范围渐进稳定大范围渐进

7、稳定第18页，共30页，编辑于2022年，星期一对李雅普诺夫函数的再认识对李雅普诺夫函数的再认识简单，应用不便。简单，应用不便。的一般方法，原理尽管的一般方法，原理尽管导数。导数。应具有连续的一阶偏应具有连续的一阶偏且对且对标量函数标量函数正定正定)(XXV而结论的一致性一致。而结论的一致性一致。可以找到，但并不唯一可以找到，但并不唯一对于一个给定的系统，对于一个给定的系统，)(XV，最简单的形式为二次型最简单的形式为二次型)()(PXXXVXVT=可定常或时变的。可定常或时变的。为实对称方阵，其元素为实对称方阵，其元素其中其中P李雅普诺夫判据本身并没有提供构造李雅普诺夫函数李雅普诺夫判据本身

8、并没有提供构造李雅普诺夫函数第19页，共30页，编辑于2022年，星期一李雅普诺夫方法在线性系统中的应用李雅普诺夫方法在线性系统中的应用1 1 线性系统包括线性系统包括线性定常线性定常1线性时变线性时变2离散系统离散系统3线性定常连续系统渐进稳定判据线性定常连续系统渐进稳定判据2已知已知AXX=&Xe=0结论结论必要条件是必要条件是为大范围渐进稳定的充为大范围渐进稳定的充平衡状态平衡状态Xe=:0对任意给定的正定实对称矩阵对任意给定的正定实对称矩阵Q一般取一般取IQ=),(存在正定的实对称矩阵存在正定的实对称矩阵必必P,满足李雅普诺夫方程满足李雅普诺夫方程QPAPAT-=+PXXXVT=)(且

9、且是系统的李雅普诺夫函数是系统的李雅普诺夫函数且且第20页，共30页，编辑于2022年，星期一=第21页，共30页，编辑于2022年，星期一定理定理：线性时不变系统 渐近稳定的的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P，使得矩阵不等式成立ATP+PA0 0 的矩阵 W，下列线性矩阵不等式（LMILMI）存在可行解。如果可行解为（X,W）,则相应的状态反馈控制器增益矩阵为 第24页，共30页，编辑于2022年，星期一A=1 2;3 4;B=2 5;5 1;setlmis();X=lmivar(1,2,1);W=lmivar(1,2,1);lmiterm(-1 1 1 X,1,1);%LMI#1:X

10、lmiterm(2 1 1 X,A,1,s);%LMI#2:A*X+X*A lmiterm(2 1 1-W,.5*1,B,s);%LMI#2:W*B(NON SYMMETRIC?)lmiterm(2 1 1 W,.5*B,1,s);%LMI#2:B*W(NON SYMMETRIC?)A=getlmis;tmin,xfeas=feasp(A);X=dec2mat(A,xfeas,X);W=dec2mat(A,xfeas,W);K=W*inv(X)第25页，共30页，编辑于2022年，星期一Solver for LMI feasibility problems L(x)R(x)This solver minimizes t subject to L(x)0和矩阵W，下列线性矩阵不等式（LMI），存在可行解。如果可行解为（X,W），则相应的状态反馈控制器增益矩阵为第29页，共30页，编辑于2022年，星期一谢谢 谢！谢！梁弘历梁弘历第30页，共30页，编辑于2022年，星期一