19 参数估计.ppt

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1、（ch7ch7ch7ch7）点估计问题的实际背景点估计问题的实际背景点估计问题的实际背景点估计问题的实际背景从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令从该批产品中任取一件，令该产品为次品该产品为次品该产品为次品该产品为次品该产品为好品该产品为好品该产品为好品该产品为好品由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有故可用故可用故可用故可用 作为未知参数作为未知参数作为未知参数作为未知参数 的估计。的估计。的估计。的估计。某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品某工厂生产了一大批产品,从中随机抽检了从中随机抽检了从中随机抽

2、检了从中随机抽检了 件产件产件产件产 品品品品,发现有发现有发现有发现有 件次品件次品件次品件次品,如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率如何估计整批产品的次品率？按题设，从总体按题设，从总体按题设，从总体按题设，从总体 抽取了容量为抽取了容量为抽取了容量为抽取了容量为 的样本的样本的样本的样本 某电子产品的寿命服从指数分布某电子产品的寿命服从指数分布某电子产品的寿命服从指数分布某电子产品的寿命服从指数分布 其其其其 概率密度是概率密度是概率密度是概率密度是现从这批产品中随机抽取现从这批产品中随机抽取现从这批产品中随机抽取现从这批产品中随机抽取10101010

3、件，测得其寿命值分别为件，测得其寿命值分别为件，测得其寿命值分别为件，测得其寿命值分别为试问怎样估计该批电子产品的平均寿命？试问怎样估计该批电子产品的平均寿命？试问怎样估计该批电子产品的平均寿命？试问怎样估计该批电子产品的平均寿命？产品的平均寿命为产品的平均寿命为产品的平均寿命为产品的平均寿命为因为因为因为因为故可用样本均值故可用样本均值故可用样本均值故可用样本均值 作为总体均值作为总体均值作为总体均值作为总体均值 的估计。的估计。的估计。的估计。设总体设总体设总体设总体 ；，其中，其中，其中，其中 的函数形式为已知，的函数形式为已知，的函数形式为已知，的函数形式为已知，为为为为 未知参数，未

4、知参数，未知参数，未知参数，为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本。的样本。的样本。的样本。二重性二重性二重性二重性依据什么原理求未知参数的点估计？依据什么原理求未知参数的点估计？依据什么原理求未知参数的点估计？依据什么原理求未知参数的点估计？构造一个统计量构造一个统计量构造一个统计量构造一个统计量作为未知参数作为未知参数作为未知参数作为未知参数 的估计值的估计值的估计值的估计值.用统计用统计用统计用统计量观察值量观察值量观察值量观察值估计量估计量估计量估计量称称称称为为为为 的的的的为为为为 的的的的称称称称估计值估计值估计值估计值设下列总体矩都存在：设下列总体矩都存在：设下列总体

5、矩都存在：设下列总体矩都存在：设总体设总体设总体设总体 ,为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数,为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样本。的样本。的样本。的样本。由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有由辛钦大数定律有故当故当故当故当 很大时，可认为很大时，可认为很大时，可认为很大时，可认为注意到注意到注意到注意到 是通过是通过是通过是通过 的分布计算的的分布计算的的分布计算的的分布计算的，故，故，故，故令令令令这是一个包含这是一个包含这是一个包含这是一个包含 k k 个变量个变量个变量个变量 的方程组的方程组的方程组的方程组，解得，解得，解得，解得称称称称矩估计量矩估计量

6、矩估计量矩估计量.的的的的为为为为 设设设设 为为为为 Poisson Poisson 分布分布分布分布总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的矩估计。的矩估计。的矩估计。的矩估计。总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体设设设设的的的的 样本，求未知参数样本，求未知参数样本，求未知参数样本，求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计.总体一阶矩和样本一阶矩分别为

7、总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为总体一阶矩和样本一阶矩分别为令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为样本均值样本均值样本均值样本均值 是总体均值是总体均值是总体均值是总体均值 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计矩的阶数等于矩的阶数等于矩的阶数等于矩的阶数等于未知参数个数未知参数个数未知参数个数未知参数个数故令故令故令故令解得解得解得解得 的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为为总体的样本，求未知参数为总体的样本，求未知参数为总体的样本，求未知参数为总体的样本，求未知参数 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计.设设设设总体总体总体总体

8、 的均值和方差分别为的均值和方差分别为的均值和方差分别为的均值和方差分别为 一阶矩的一阶矩的一阶矩的一阶矩的平方对应平方对应平方对应平方对应本，则未知参数本，则未知参数本，则未知参数本，则未知参数 的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为设设设设为来自总体为来自总体为来自总体为来自总体 的样的样的样的样二阶矩对应二阶矩对应二阶矩对应二阶矩对应故令故令故令故令求得求得求得求得 的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为的矩估计分别为从直观上看该结果是否合理？从直观上看该结果是否合理？从直观上看该结果是否合理？从直观上看该结果是否合理？从直观看更好的估计应该是什么？从直观看更好的估

9、计应该是什么？从直观看更好的估计应该是什么？从直观看更好的估计应该是什么？总体二阶总体二阶总体二阶总体二阶中心矩中心矩中心矩中心矩样本二阶样本二阶样本二阶样本二阶中心矩中心矩中心矩中心矩为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布总体总体总体总体设设设设的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计.设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的矩估计。的矩估计。的矩估计。的矩估计。总体一阶矩为总体一阶矩为总体一阶矩为总体一阶矩为样本一阶矩为样

10、本一阶矩为样本一阶矩为样本一阶矩为令令令令求得求得求得求得 的矩估计为的矩估计为的矩估计为的矩估计为 .如果如果如果如果 都未知，怎样求都未知，怎样求都未知，怎样求都未知，怎样求 的矩估计的矩估计的矩估计的矩估计？原理直观，是一种古老的参数估计方法；原理直观，是一种古老的参数估计方法；原理直观，是一种古老的参数估计方法；原理直观，是一种古老的参数估计方法；只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存只用到总体矩，用法简单，如果总体矩不存 在，则无法求参数的点估计；在，则无法求参数的点估计；在，则无法求参数的点估计；在，则无法

11、求参数的点估计；由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布由于没有用到总体的分布形式，所以总体分布 包含的参数信息没有加以利用；包含的参数信息没有加以利用；包含的参数信息没有加以利用；包含的参数信息没有加以利用；由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩由于矩估计基于大数定律，所以在大样本下矩 估计才有较好的效果。估计才有较好的效果。估计才有较好的效果。估计才有较好的效果。设设设设总体总体总体总体 X X 服从服从服从服从CauchyCau

12、chyCauchyCauchy分布分布分布分布，其密度函数为，其密度函数为，其密度函数为，其密度函数为则未知参数则未知参数则未知参数则未知参数 的矩估计不存在。的矩估计不存在。的矩估计不存在。的矩估计不存在。一个随机试验有很多可能结一个随机试验有很多可能结一个随机试验有很多可能结一个随机试验有很多可能结 果，如果在一次试验中，某事件发生了，则认为该果，如果在一次试验中，某事件发生了，则认为该果，如果在一次试验中，某事件发生了，则认为该果，如果在一次试验中，某事件发生了，则认为该 事件发生的概率最大。事件发生的概率最大。事件发生的概率最大。事件发生的概率最大。一老战士与一新同学一同进行射击训练，

13、每人打一老战士与一新同学一同进行射击训练，每人打一老战士与一新同学一同进行射击训练，每人打一老战士与一新同学一同进行射击训练，每人打 了一枪，结果有一枪中靶。试问这一枪是谁打中的？了一枪，结果有一枪中靶。试问这一枪是谁打中的？了一枪，结果有一枪中靶。试问这一枪是谁打中的？了一枪，结果有一枪中靶。试问这一枪是谁打中的？按照按照按照按照 Fisher Fisher 的极大似然思想，应该认的极大似然思想，应该认的极大似然思想，应该认的极大似然思想，应该认为是老为是老为是老为是老 战士打中的较合理。战士打中的较合理。战士打中的较合理。战士打中的较合理。一袋中有红、白两颜色的球若干，只知道两种球一袋中有

14、红、白两颜色的球若干，只知道两种球一袋中有红、白两颜色的球若干，只知道两种球一袋中有红、白两颜色的球若干，只知道两种球 的比例为的比例为的比例为的比例为4:14:14:14:1，但不知道那种颜色的球占多。现从中，但不知道那种颜色的球占多。现从中，但不知道那种颜色的球占多。现从中，但不知道那种颜色的球占多。现从中 任取一球，结果为白色。问袋中哪种颜色的球较多？任取一球，结果为白色。问袋中哪种颜色的球较多？任取一球，结果为白色。问袋中哪种颜色的球较多？任取一球，结果为白色。问袋中哪种颜色的球较多？按照按照按照按照FisherFisherFisherFisher的极大似然思想，应该认为袋中的极大似然

15、思想，应该认为袋中的极大似然思想，应该认为袋中的极大似然思想，应该认为袋中 白球较多。白球较多。白球较多。白球较多。总体总体总体总体观察值观察值观察值观察值怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释怎样从事件的角度解释：样本样本样本样本的观察值为的观察值为的观察值为的观察值为样本样本样本样本一般理解为一般理解为一般理解为一般理解为当当当当 为连续型总体时为连续型总体时为连续型总体时为连续型总体时 中随机点中随机点中随机点中随机点 落在以落在以落在以落在以 为中为中为中为中心的充分小的邻域心的充分小的邻域心的充分小的邻域心的充分小的邻域 内内内内若有若有若有若有 使得使得使得使

16、得则则则则 可作为可作为可作为可作为 的估计的估计的估计的估计设设设设 是总体是总体是总体是总体 的样本的样本的样本的样本,令令令令(Maximun Likelihood EstimationMaximun Likelihood Estimation ),若存在统计量若存在统计量若存在统计量若存在统计量 使得使得使得使得称称称称 为为为为似然函数似然函数似然函数似然函数则称则称则称则称 为为为为 的的的的极大似然估计极大似然估计极大似然估计极大似然估计,简记为简记为简记为简记为似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为设总体服从指数分布设总体服从指数分布设总体服从指数分布设总体服从指数分布 其密

17、度为其密度为其密度为其密度为因为因为因为因为 与与与与 有相同的极值点，故令有相同的极值点，故令有相同的极值点，故令有相同的极值点，故令解似然方程，求得解似然方程，求得解似然方程，求得解似然方程，求得 的的的的 MLEMLE 为为为为称为似然方程称为似然方程称为似然方程称为似然方程是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求是来自总体的样本，试求 的的的的求似然函数求似然函数求似然函数求似然函数设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本求似然方程求似然方程求似然方程求似然方程(组组组组)概率函数概率函数概率函数概率函数：密度或分布律密度或

18、分布律密度或分布律密度或分布律解似然方程解似然方程解似然方程解似然方程(组组组组)，则，则，则，则 的的的的 为为为为由由由由 解得解得解得解得似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样的样的样的样本本本本,试求未知参数试求未知参数试求未知参数试求未知参数 的的的的 MLEMLE .令令令令，代入，代入，代入，代入 解得解得解得解得故故故故 的的的的 MLEMLE 分别为分别为分别为分别为似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 设设设设 为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，

19、求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的的的的 MLEMLE .显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得显然从似然方程无法求得 MLEMLE.则有则有则有则有其中其中其中其中所以所以所以所以 的的的的 MLEMLE 是是是是思考：是否有其他方法求解？思考：是否有其他方法求解？思考：是否有其他方法求解？思考：是否有其他方法求解？似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为 设设设设 为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布为来自均匀分布总体总体总体总体 的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数的样本，求未知参数 的的的的 MLEMLE .其中其中其

20、中其中所以所以所以所以 的的的的 MLEMLE 是是是是说明函数说明函数说明函数说明函数L L L L关于自变关于自变关于自变关于自变量量量量a,ba,ba,ba,b有什么性质？有什么性质？有什么性质？有什么性质？即似然函数即似然函数即似然函数即似然函数L L L L关于自变量关于自变量关于自变量关于自变量 是严格单调增加的是严格单调增加的是严格单调增加的是严格单调增加的 ；关于自变量关于自变量关于自变量关于自变量 是严格单调减少的是严格单调减少的是严格单调减少的是严格单调减少的.按矩估计法，求得按矩估计法，求得按矩估计法，求得按矩估计法，求得 的点估计分别为的点估计分别为的点估计分别为的点估

21、计分别为设设设设 为均匀分布为均匀分布为均匀分布为均匀分布总体总体总体总体 的样本的样本的样本的样本按按按按 MLEMLE 法，求得法，求得法，求得法，求得 的点估计分别为的点估计分别为的点估计分别为的点估计分别为设设设设 为来自为来自为来自为来自Poisson Poisson 分布分布分布分布总体总体总体总体所以所以所以所以 都可以作为未知参数都可以作为未知参数都可以作为未知参数都可以作为未知参数 的点估计。的点估计。的点估计。的点估计。样本样本样本样本,因为因为因为因为 对于同一参数，用不同的方法可能得对于同一参数，用不同的方法可能得对于同一参数，用不同的方法可能得对于同一参数，用不同的方

22、法可能得到不同的点估计，用什么标准来评价和选到不同的点估计，用什么标准来评价和选到不同的点估计，用什么标准来评价和选到不同的点估计，用什么标准来评价和选择这些点估计量？择这些点估计量？择这些点估计量？择这些点估计量？设总体设总体设总体设总体 ,其中其中其中其中 为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数 的取的取的取的取值范围值范围值范围值范围,称称称称 为参数空间。为参数空间。为参数空间。为参数空间。对于对于对于对于 Poisson Poisson 总体总体总体总体 其其其其参数空间为参数空间为参数空间为参数空间为设设设设总体总体总体总体 则则则则参数空间为参数空间为参数空间为参数空间为 设设

23、设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本，的样本，的样本，的样本，为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数 的点估计。的点估计。的点估计。的点估计。一个一个一个一个“好的好的好的好的”估计应该满足什么条件？估计应该满足什么条件？估计应该满足什么条件？估计应该满足什么条件？设总体设总体设总体设总体 ,其中其中其中其中 为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数 的取的取的取的取值范围值范围值范围值范围,称称称称 为参数空间。为参数空间。为参数空间。为参数空间。设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本，的样本，的样本，的样本，为未知参数为未知参数为未知参数为未知参数

24、的点估计。的点估计。的点估计。的点估计。若估计量若估计量若估计量若估计量的数学期望的数学期望的数学期望的数学期望存在存在存在存在,且且且且 有有有有则称则称则称则称 为为为为 的的的的否则称为否则称为否则称为否则称为无偏估计无偏估计无偏估计无偏估计,有偏估计有偏估计有偏估计有偏估计.称称称称为估计量为估计量为估计量为估计量 的的的的偏差偏差偏差偏差(偏偏偏偏).).).).无论无论无论无论总体总体总体总体 服从什么分布服从什么分布服从什么分布服从什么分布,若若若若故故故故 分别为分别为分别为分别为 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.都存在都存在都存在都存在,则则则则 分别是分别是分别是

25、分别是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.根据抽样分布定理的结论有根据抽样分布定理的结论有根据抽样分布定理的结论有根据抽样分布定理的结论有是是是是 的有偏估计的有偏估计的有偏估计的有偏估计是是是是 的的的的渐近无偏估计渐近无偏估计渐近无偏估计渐近无偏估计.设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本的样本的样本的样本,则则则则 的矩估计和的矩估计和的矩估计和的矩估计和 MLEMLE无论无论无论无论总体总体总体总体 服从什么分布服从什么分布服从什么分布服从什么分布,若若若若都存在都存在都存在都存在,则则则则 分别是分别是分别是分别是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计

26、.是是是是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计,而而而而 的矩估计和的矩估计和的矩估计和的矩估计和 MLEMLE是是是是 的有偏估计或渐近无偏估计的有偏估计或渐近无偏估计的有偏估计或渐近无偏估计的有偏估计或渐近无偏估计.的无偏估计是的无偏估计是的无偏估计是的无偏估计是无无无无偏性反映了商业行为的公平性偏性反映了商业行为的公平性偏性反映了商业行为的公平性偏性反映了商业行为的公平性在工程技术中在工程技术中在工程技术中在工程技术中称称称称 为系统误差为系统误差为系统误差为系统误差在经济活动中在经济活动中在经济活动中在经济活动中在竞技评分中在竞技评分中在竞技评分中在竞技评分中无无无无偏性反映了评

27、分的公正性偏性反映了评分的公正性偏性反映了评分的公正性偏性反映了评分的公正性在什么情况下，无在什么情况下，无在什么情况下，无在什么情况下，无偏性才有意义偏性才有意义偏性才有意义偏性才有意义是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的点估计的点估计的点估计的点估计设设设设一个一个一个一个“好好好好”的点估计的点估计的点估计的点估计,其估计的绝对误差其估计的绝对误差其估计的绝对误差其估计的绝对误差应该较小应该较小应该较小应该较小.绝对值运算不方便绝对值运算不方便绝对值运算不方便绝对值运算不方便为为为为估计量估计量估计量估计量 的的的的均方误差均方误差均方误差均方误差.设设设设为为为为 的估计量，称

28、的估计量，称的估计量，称的估计量，称 若存在若存在若存在若存在 的一个估计量的一个估计量的一个估计量的一个估计量 使得对使得对使得对使得对 的任意一个估的任意一个估的任意一个估的任意一个估计量计量计量计量 都有都有都有都有 则称则称则称则称 是是是是 的的的的最小均方误差估计最小均方误差估计最小均方误差估计最小均方误差估计.随机变量随机变量随机变量随机变量描述估计量描述估计量描述估计量描述估计量“偏差偏差偏差偏差”大小的三个量大小的三个量大小的三个量大小的三个量三者之间关系三者之间关系三者之间关系三者之间关系设设设设 是是是是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计,若对若对若对若对 的任一

29、个无偏的任一个无偏的任一个无偏的任一个无偏估计估计估计估计 都有都有都有都有最小方差无偏估计最小方差无偏估计最小方差无偏估计最小方差无偏估计.则称则称则称则称 是是是是 的的的的设设设设 是是是是 的两个无偏估计的两个无偏估计的两个无偏估计的两个无偏估计,若若若若则称则称则称则称 较较较较 有效有效有效有效.其中其中其中其中 是是是是 上的上的上的上的设总体设总体设总体设总体是是是是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.若若若若一个开区间一个开区间一个开区间一个开区间 是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的待估计函数的待估计函数的待估计函数的待估计函数,是总体是总体是总体是总体 的

30、样本的样本的样本的样本,存在存在存在存在,且且且且存在存在存在存在,且且且且则有则有则有则有存在存在存在存在,且且且且存在存在存在存在,且且且且则有则有则有则有是总体是总体是总体是总体 的样本的样本的样本的样本,其中其中其中其中 是是是是 上的上的上的上的设总体设总体设总体设总体是是是是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.若若若若一个开区间一个开区间一个开区间一个开区间 是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的待估计函数的待估计函数的待估计函数的待估计函数,存在存在存在存在,且且且且存在存在存在存在,且且且且则有则有则有则有是总体是总体是总体是总体 的样本的样本的样本的样本,其中其

31、中其中其中 是是是是 上的上的上的上的设总体设总体设总体设总体是是是是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.若若若若一个开区间一个开区间一个开区间一个开区间 是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的待估计函数的待估计函数的待估计函数的待估计函数,存在存在存在存在,且且且且存在存在存在存在,且且且且则有则有则有则有特别当特别当特别当特别当 有有有有称为称为称为称为 的的的的 下下下下界界界界无偏估计的方差下界无偏估计的方差下界无偏估计的方差下界无偏估计的方差下界是总体是总体是总体是总体 的样本的样本的样本的样本,其中其中其中其中 是是是是 上的上的上的上的设总体设总体设总体设总体是是是

32、是 的无偏估计的无偏估计的无偏估计的无偏估计.若若若若一个开区间一个开区间一个开区间一个开区间 是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的待估计函数的待估计函数的待估计函数的待估计函数,设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样的样的样的样 本本本本,试求未知参数试求未知参数试求未知参数试求未知参数 的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计 .的无偏估计分别是的无偏估计分别是的无偏估计分别是的无偏估计分别是 的的的的 Fisher Fisher 信息量为信息量为信息量为信息量为即即即即 达达达达 下界下界下界下界,故故故故 是是是是 的最小方差无

33、偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计 因为因为因为因为的的的的 Fisher Fisher 信息量为信息量为信息量为信息量为可见可见可见可见 的方差达不到的方差达不到的方差达不到的方差达不到 下界下界下界下界 ,但可证明但可证明但可证明但可证明 是是是是 的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计 .是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的点估计的点估计的点估计的点估计设设设设依概率收敛依概率收敛依概率收敛依概率收敛设设设设为为为为 的估计量的估计量的估计量的估计量,若若若若则称则称则称则称 是是是是 的的的的相合估计相合估计相合估计相

34、合估计.若若若若 增大增大增大增大,一个一个一个一个“好好好好”的点估计应具有什么特性的点估计应具有什么特性的点估计应具有什么特性的点估计应具有什么特性？当当当当 增大时增大时增大时增大时,样本包含样本包含样本包含样本包含 的信息增多的信息增多的信息增多的信息增多,估计应更精确估计应更精确估计应更精确估计应更精确或或或或是是是是 的相合估计的相合估计的相合估计的相合估计 随随随随 的增加的增加的增加的增加,估估估估计量计量计量计量 与参数真值与参数真值与参数真值与参数真值 的绝对偏差较大的绝对偏差较大的绝对偏差较大的绝对偏差较大的可能性越来越小的可能性越来越小的可能性越来越小的可能性越来越小无

35、论无论无论无论总体总体总体总体 服从什么分布服从什么分布服从什么分布服从什么分布,若若若若故故故故 分别为分别为分别为分别为 的相合估计的相合估计的相合估计的相合估计.都存在都存在都存在都存在,则则则则 分别是分别是分别是分别是 的相合估计的相合估计的相合估计的相合估计.矩估计通矩估计通矩估计通矩估计通常具有相合性常具有相合性常具有相合性常具有相合性分布大数定律知分布大数定律知分布大数定律知分布大数定律知是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本设设设设,由独立同由独立同由独立同由独立同故修正的样本方差故修正的样本方差故修正的样本方差故修正的样本方差 是是是是 的相合估

36、计的相合估计的相合估计的相合估计.又因为又因为又因为又因为故故故故 是是是是 的相合估计的相合估计的相合估计的相合估计.其中其中其中其中 为已知为已知为已知为已知.设设设设总体总体总体总体令令令令似然函数为似然函数为似然函数为似然函数为并证并证并证并证 是是是是 的最小方差无偏估计和相合估计的最小方差无偏估计和相合估计的最小方差无偏估计和相合估计的最小方差无偏估计和相合估计.是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本.试求试求试求试求 的的的的设设设设求得求得求得求得 的的的的 为为为为故故故故 是是是是 的的的的无偏估计无偏估计无偏估计无偏估计.又又又又的的的的 Fi

37、sher Fisher 信息量为信息量为信息量为信息量为达到达到达到达到 下界下界下界下界，故，故，故，故 是是是是 的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计的最小方差无偏估计.设设设设 是未知参数是未知参数是未知参数是未知参数 的点估计的点估计的点估计的点估计未知参数未知参数未知参数未知参数 落在什么范围内？落在什么范围内？落在什么范围内？落在什么范围内？用用用用 估计估计估计估计 有多高的精度？有多高的精度？有多高的精度？有多高的精度？则随机区间则随机区间则随机区间则随机区间 可作为未知参数可作为未知参数可作为未知参数可作为未知参数 的的的的“估计估计估计估计”.设有两个统计

38、量设有两个统计量设有两个统计量设有两个统计量若若若若小，则估计精度高、可信度低小，则估计精度高、可信度低小，则估计精度高、可信度低小，则估计精度高、可信度低大，则可信度高、估计精度低大，则可信度高、估计精度低大，则可信度高、估计精度低大，则可信度高、估计精度低对于连续型总体对于连续型总体对于连续型总体对于连续型总体,则取则取则取则取对于离散型总体对于离散型总体对于离散型总体对于离散型总体,则取则取则取则取 尽可能接近尽可能接近尽可能接近尽可能接近两个统计量两个统计量两个统计量两个统计量设总体设总体设总体设总体若存在两若存在两若存在两若存在两满足满足满足满足 使得使得使得使得 有有有有则称随机区

39、间则称随机区间则称随机区间则称随机区间 为为为为 的的的的 为为为为 的的的的 分别称为分别称为分别称为分别称为 和和和和 置信水平置信水平置信水平置信水平 置信区间置信区间置信区间置信区间,置信下限置信下限置信下限置信下限置信上限置信上限置信上限置信上限 .置信水平也称为置信水平也称为置信水平也称为置信水平也称为 ,通常通常通常通常 较小，较小，较小，较小，较大较大较大较大置信度置信度置信度置信度双侧置信区间双侧置信区间双侧置信区间双侧置信区间，且，且，且，且 设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本的样本的样本的样本,试求未知参数试求未知参数试求未知参数试求未知参数 的置

40、信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间。的置信区间。的置信区间。的置信区间。故对于给定的故对于给定的故对于给定的故对于给定的置信水平置信水平置信水平置信水平 查表可求得查表可求得查表可求得查表可求得 使得使得使得使得等价地有等价地有等价地有等价地有故故故故 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的的的的 为为为为特别取特别取特别取特别取 则则则则只给出了只给出了只给出了只给出了 的点估计的点估计的点估计的点估计给出了给出了给出了给出了 所在的一个范围所在的一个范围所在的一个范围所在的一个范围，都可以作为都可以作为都可

41、以作为都可以作为 的点估计的点估计的点估计的点估计其估计误差其估计误差其估计误差其估计误差置信度置信度置信度置信度 的实际含意是什么的实际含意是什么的实际含意是什么的实际含意是什么是否一定包含真值是否一定包含真值是否一定包含真值是否一定包含真值于是于是于是于是 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的一个置信区间为的一个置信区间为的一个置信区间为的一个置信区间为 以上分析的可信度为以上分析的可信度为以上分析的可信度为以上分析的可信度为 即若反复抽样即若反复抽样即若反复抽样即若反复抽样 次，则包次，则包次，则包次，则包 含真值含真值含真值含真值 的区间的区间的区间的区间 约有约有约有

42、约有 个，不包含个，不包含个，不包含个，不包含 的区间大约只有的区间大约只有的区间大约只有的区间大约只有 个个个个.的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间满足的置信区间满足的置信区间满足的置信区间满足的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间也可由下式确定的置信区间也可由下式确定的置信区间也可由下式确定的置信区间也可由下式确定面积为面积为面积为面积为可见置信区间不唯一！可见置信区间不唯一！可见置信区间不唯一！可见置信区间不唯一！怎样选择？怎样选择？怎样选择？怎样选择？短短短短长长长长采用面积对称原则确定分位点采用面积对称原则确定分位点采用面积对称原则确定

43、分位点采用面积对称原则确定分位点求未知参数求未知参数求未知参数求未知参数 的置信区间的一般方法的置信区间的一般方法的置信区间的一般方法的置信区间的一般方法构造样本函数构造样本函数构造样本函数构造样本函数设设设设 是待估计的未知参数是待估计的未知参数是待估计的未知参数是待估计的未知参数 求求求求 的较好的点估计的较好的点估计的较好的点估计的较好的点估计 .对于给定的置信水平对于给定的置信水平对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，由，由，由，由 确定两个分确定两个分确定两个分确定两个分位点位点位点位点 ，使得，使得，使得，使得 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 .等价地等价地等价

44、地等价地 只包含未知参只包含未知参只包含未知参只包含未知参数数数数 ,而不含其它而不含其它而不含其它而不含其它未知参数未知参数未知参数未知参数 分布密度已知分布密度已知分布密度已知分布密度已知,且且且且不含任何未知参数不含任何未知参数不含任何未知参数不含任何未知参数，且，且，且，且 设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本的样本的样本的样本,试求未知参数试求未知参数试求未知参数试求未知参数 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间。的置信区间。的置信区间。的置信区间。故对于给定的故对于给定的故对于给定的故对于给定的置信水平置信水平置信水平置信水平 查表可求

45、得查表可求得查表可求得查表可求得 使得使得使得使得等价地有等价地有等价地有等价地有故故故故 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的的的的 分别分别分别分别为为为为，且，且，且，且设设设设 为来自为来自为来自为来自总体总体总体总体 的样本的样本的样本的样本,怎样直接写出置信区间怎样直接写出置信区间怎样直接写出置信区间怎样直接写出置信区间的的的的 分别分别分别分别为为为为均未知均未知均未知均未知,求求求求 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间.视为可运算符视为可运算符视为可运算符视为

46、可运算符改为不等号改为不等号改为不等号改为不等号改为分位数改为分位数改为分位数改为分位数故故故故 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为若若若若 已知已知已知已知,的置信区间是什么的置信区间是什么的置信区间是什么的置信区间是什么的的的的 为为为为,且且且且的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本,是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本,两样本独立两样本独立两样本独立两样本独立.且且且且 均未知均未知均未知均未知,求求求求 的

47、置信度为的置信度为的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间.的点估计分别为的点估计分别为的点估计分别为的点估计分别为故故故故 的置信度为的置信度为的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 的置信水平为的置信水平为的置信水平为的置信水平为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为方差已知方差已知方差已知方差已知方差未知方差未知方差未知方差未知 的置信度为的置信度为的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为设设设设 是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本

48、的样本的样本的样本,是来自总体是来自总体是来自总体是来自总体 的样本的样本的样本的样本,两样本独立两样本独立两样本独立两样本独立.且且且且 均未知均未知均未知均未知,求求求求 的置信度为的置信度为的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间.的无偏估计分别为的无偏估计分别为的无偏估计分别为的无偏估计分别为故故故故 的置信度为的置信度为的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为或或或或随机地从随机地从随机地从随机地从 两批导线中各抽取两批导线中各抽取两批导线中各抽取两批导线中各抽取 根和根和根和根和 根根根根,分分分分别测得电阻别测得电阻别测得电阻别

49、测得电阻 为为为为批批批批批批批批设设设设 两批导线的电阻分别为两批导线的电阻分别为两批导线的电阻分别为两批导线的电阻分别为试求试求试求试求 的的的的 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间,并问两批导线电阻是否并问两批导线电阻是否并问两批导线电阻是否并问两批导线电阻是否有显著差异？有显著差异？有显著差异？有显著差异？的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为的的的的 置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为具体计算得具体计算得具体计算得具体计算得故故故故 的的的的 的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为因该置信区间包含因该置信区间包含因该置信区间包含因该置信区间包含 故两批

50、导线电阻没有显著差异故两批导线电阻没有显著差异故两批导线电阻没有显著差异故两批导线电阻没有显著差异.寿命、收入、生产率等越大越好寿命、收入、生产率等越大越好寿命、收入、生产率等越大越好寿命、收入、生产率等越大越好次品率、杂质含量、事故次数等越少越好次品率、杂质含量、事故次数等越少越好次品率、杂质含量、事故次数等越少越好次品率、杂质含量、事故次数等越少越好若存在统计量若存在统计量若存在统计量若存在统计量满足满足满足满足 有有有有若存在统计量若存在统计量若存在统计量若存在统计量满足满足满足满足 有有有有 对这类对这类对这类对这类“好好好好”指标关心下限指标关心下限指标关心下限指标关心下限则称则称则