三角函数与解三角形专题训练.doc

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1、三角函数与解三角形专题训练三角求值与解三角形专项训练1 三角公式运用【通俗原理】1三角函数的定义:设，记，则.2基本公式：.3诱导公式：4两角和差公式：， , .5二倍角公式：，。6辅助角公式:，其中由及点所在象限确定。，其中由及点所在象限确定。【典型例题】1已知,证明：.2若，求的值.3已知,，求的值.4求的值.5证明：。【跟踪练习】1已知，求的值。2若，求的值.三角求值与解三角形专项训练2. 解三角形1三角形边角关系:在中，的对边分别为，；若，则；等边对等角，大边对大角。2正弦定理：(是外接圆的半径）。变形：，。3余弦定理:.变形：，其他同理可得.4三角形面积公式：.5与三角形有关的三角方

2、程:或；.6与三角形有关的不等式：.7解三角形的三种题型：知三个条件（知三个角除外），求其他(角、边、面积、周长等）； 知两个条件，求某个特定元素或范围； 知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.【典型例题】1在中，若，试判断的形状.2在中，证明：.3在中,，求角的大小。4在中，,求角的大小。5在中,，求角A的大小.6在中,.(I)求面积的最大值； （II）求周长的取值范围.【跟踪练习】1在中，求角.2在中,（I）求的大小;(II）求的最大值3在中，。(I)求边上的中线的长；(II）求的角平分线的长.参考答案OyP(x,y)Q(y,x)x5.1 三角公式【典型例题】1证明：如图,在单

3、位圆中,记，有，则,而，。2解法一:，,有，代入得,则，.解法二:，,又，有.3解：由,，得，则,.4解： ，.5证明： .【跟踪练习】1解：,且，。2解：由得，即,，即，解得。由得，即.由得，即,.5。3 解三角形【典型例题】1解：由及正弦定理得，即,又,有或,即或，是等腰三角形或直角三角形。2证明:，由及正弦定理得，而函数在上单调递减，有，.3解：由正弦定理得，得因为，所以，故或当时，当时,角为或.4解：， 由正弦定理有sinC=sinA又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA， 在ABC中,sinA0,于是cosA=， A=5解:由条件结合正弦定理得，从而，.

4、6解：（I)，由余弦定理得，仅当时等号成立，的面积，当时,面积的最大值为；（II)由（I)得，即，则,即，仅当时等号成立。的周长，仅当时等号成立,而，故,周长的取值范围是.【跟踪练习】1解：由已知以及正弦定理，得，即. ,，又，所以.2解:（I)由已知得:，,；（II)由（I)知：,故,所以，。3解：（I）由及余弦定理得，又，则，即,而,由得,即.是边上的中线，则，有，即边上的中线长为;（II）由(I）得，又是的平分线,由得,即，又，即的角平分线.5.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】1三个基本三角函数的图象与性质(1)奇偶性：偶函数，图象关于轴对称；(2)对称性：关于中心对称，关于轴对称；

5、(，下同)(3)周期性：周期为；(4)单调性：在上递减，在上递增；(5)最值性：当时，当时，；(6)有界性：当时，.(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于中心对称，关于轴对称；(，下同)(3)周期性：周期为；(4)单调性：在上递增，在上递减；(5)最值性：当时，当时，；(6)有界性：当时，.(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于中心对称，不是轴对称图形；(，下同)(3)周期性：周期为；(4)单调性：在上递增.(1)切线：曲线在处的切线为，曲线在处的切线也为；(2)不等式：当时，当时，当时，.2函数图象平移与伸缩变换(1）左右平移:；同理有如下结果：(2)

6、上下平移：，即；说明:当时，向右平移个单位得，当时，向左平移个单位得；当时,向上平移个单位得，即，当时,向下平移个单位得，即。(3)横向伸缩：；(4)纵向伸缩：，即。说明：当时，表示伸长，当时，表示缩短；当时，表示伸长,当时，表示缩短.【典型例题】1已知函数。 （1)求的对称轴及对称中心; （2）求的单调递增区间及在上的单调递增区间； (3)求在上的最大值与最小值，并求出相应的的值。3把函数的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数的图象？【跟踪练习】1函数的对称轴是 .2已知，函数，把的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象，把的图象向左平移个单位得到一个奇函数的图象，当取得最小值时，求在上的

7、单调递减区间。3若把函数的图象向左平移1个单位，再把横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图象，求函数的解析式.5。2 三角函数的图象与性质【典型例题】1解：（1）由得，即的对称轴为，由得，即的对称轴为，；(2）由得，的单调递增区间为，当时,，由或得或，在上的单调递增区间是；（3）由得，当,即时，当，即时，.2证明：锐角中，有,即，又函数在上单调递增,有，,同理，.3解：方法一(先平移再伸缩)：,把代换得，,把代换得，与对比得，即把的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍得的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得的图象，后向上平移1个单位得的图象。方法二（先伸缩再平移):,把代换得，再将代换得，与对比得,即把的图象横坐标伸长到原来的3倍，再向左平移个单位得的图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得的图象,后向上平移1个单位得的图象。【跟踪练习】1，.解：由得，即的对称轴是，。2解：可得为偶函数， 为奇函数，,则，又，当时，取得最小值，这时，即，由得，由得，在上的单调递减区间是。3解：把的图象向左平移1个单位得，再把横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得,。14