7.4数学归纳法.ppt

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1、数学归纳法 情景情景2：某人看到树上乌鸦是黑的，深某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境问题情境我是白的哦！情景情景1：粉笔盒粉笔颜色：粉笔盒粉笔颜色如果一个数列的通项公式为 ，求它的前四项 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法论的推理方法 结论一定可靠结论一定可靠结论结论不不一定可靠一定可靠考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推理方法考察考察部分部分对象对象,得到一般结论的得到一般结论的推理方法推理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法

2、完全归纳法归纳法归纳法 的公差的公差为为d，则则设等差数列设等差数列依此类推依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式通过观察可以得到等差数列的通项公式等差数列的通项公式等差数列的通项公式 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：们的正确性：（1）证明当）证明当n取第一个值取第一个值n0(例如例如n0=1)时命题时命题成立成立;（2）假设当）假设当n=k(kN*,k n0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.最后由（最后由（1）（）

3、（2）得出结论全体自然）得出结论全体自然数成立数成立 数学归纳法数学归纳法【命题成立的连命题成立的连续性续性】【命题成立的必要性命题成立的必要性】这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学归纳法验证验证n=n0 时时 命题成立命题成立 若若n=k(k n 0)时命题成时命题成立立 n=k+1 n=k+1时命题也成立时命题也成立 命题对所有的正整数命题对所有的正整数n(n n 0)都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推两个步骤，两个步骤，一个结论。一个结论。结论结论证明证明：（1）当当n=1时时，等式是成立的等式是成立的（2）假设当假设当n=k时等式成立，就是时等式成立，就是那么

4、那么这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何 都成立都成立 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 公差为公差为 ，那么，那么对一切对一切 都成立都成立例例1：试用数学归纳法证明试用数学归纳法证明练习：练习：用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明：证明：当当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk(k N*)时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，时，(n N*)左边左边=等比数列求和！等比数列求和！=右边，右边，即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据根据(1)和和(2)

5、可知，等式可知，等式对对任何任何n N*成立。成立。错解错解！错因错因:没有没有用到假设！用到假设！练习练习左边左边1，右边右边1，等式成立。等式成立。注意：注意：在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起取起,证证明应根据具体情况而定明应根据具体情况而定.猜想：猜想：用数学归纳法证明，用数学归纳法证明，问题探讨问题探讨问题：问题：初始值初始值从从 取起取起.5计算：计算：例例2求证求证：证明：证明：命题成立。命题成立。命题成立，命题成立，命题成立。命题成立。大于大于?证明目标证明目标问题探讨问题探讨 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2

6、n+1)(n N*)1.当当n1时，左边时，左边=；1+2+31+2+3+4+5 3.当当nk时，左边时，左边=.2.当当n2时，左边时，左边=.1+2+(2k+1)4.当当nk+1时，此时左边时，此时左边比比n=k时时多了几多了几项项？.1+2+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)当当nk+1时，左边时，左边=.(2k+2)，(2k+3)练习：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)证明：n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等 式成立。假设当n=k(kN）时有：(k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3(2n-1),当n=k+1时：左边=(k

7、+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2k 1 3(2k-1)(2k+1)2 =2k+11 3(2k-1)2(k+1)-1=右边，当n=k+1时等式也成立。由、可知，对一切nN,原等式均成立。课堂小结布置作业：布置作业：辅导训练辅导训练7.41.数学数学归纳归纳法能法能够够解决哪一解决哪一类问题类问题？用于证明某些用于证明某些与正整数有关的与正整数有关的数学命题。数学命题。2.数学数学归纳归纳法法证证明命明命题题的步的步骤骤？(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值(初始值初始值)时结论正确时结论正确；(2)假设当假设当n取取k时结论正确，推导时结论正确，推导n取取k的下一个的下一个 值时结论也正确值时结论也正确.3.数学数学归纳归纳法法证证明命明命题题的关的关键键？在第二步在第二步推导中推导中归纳假设要用到归纳假设要用到。4.数学数学归纳归纳法体法体现现的核心思想？的核心思想？递推思想递推思想，用，用“有限有限”的推理，解决的推理，解决“无限无限”的问题。的问题。