(精品)7.4数学归纳法 (2).ppt

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1、17.4 数学归纳法数学归纳法2回顾：我们是怎样求出首项为回顾：我们是怎样求出首项为a1，公差，公差为为d的等差数列的等差数列an的通项公式的通项公式?归纳：由此得到，等差数列归纳：由此得到，等差数列an的通项的通项公式是公式是3归纳法：归纳法：由特殊到一般的由特殊到一般的推理方法推理方法,叫做叫做归纳法。归纳法。（1）不完全归纳法）不完全归纳法 根据事物的部分根据事物的部分(不是全部不是全部)特例得出特例得出一般结论的推理方法。一般结论的推理方法。(得出的结论得出的结论不不一一定正确定正确)（2）完全归纳法）完全归纳法(枚举法枚举法)研究了事物的全部研究了事物的全部(有限种有限种)特殊情况特

2、殊情况后后,得出一般结论的推理方法。得出一般结论的推理方法。(得出的结得出的结论正确论正确).4已知数列已知数列an通项公式为通项公式为an=(n2-5n+5)2验证可知：验证可知：a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，由此推知对任何由此推知对任何nN*都有都有an=1，对吗，对吗?答：答：不对，因为不对，因为a5=25.5归纳法的分类：归纳法的分类：不不完完全全归归纳纳法法对考察对象一一对考察对象一一考察后得出结论考察后得出结论完完全全归归纳纳法法某些与正整数有关的数学命题某些与正整数有关的数学命题数学归纳法数学归纳法考察部分特例考察部分特例得出一般结论得出一般结论67只要满足以下两个条件

3、，所有多米诺只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：骨牌就能全部倒下：（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下;（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下下一定导致后一块倒下.事实上，条件（事实上，条件（2）给出了一个递）给出了一个递推关系：推关系：当第当第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也倒下块也倒下.请思考：要满足怎样的条件才能使请思考：要满足怎样的条件才能使骨牌全部倒下呢？骨牌全部倒下呢？8数学建模：证明与正整数数学建模：证明与正整数n有关的命题有关的命题 （与多米诺骨牌类比与多米诺骨牌类比）骨牌全部倒下骨牌全部倒下命题对于从

4、命题对于从n0开始的开始的所有正整数所有正整数n都成立都成立结论结论第第k张牌倒下张牌倒下时，第时，第k+1张张牌也随后倒下牌也随后倒下假设假设n=k时命题成立，时命题成立，证明证明n=k+1时命题也时命题也成立成立第二步第二步第第1张牌倒下张牌倒下证明证明n=no时命题成立时命题成立第一步第一步多米诺骨牌多米诺骨牌数学归纳法数学归纳法9下面用数学归纳法来证明命题下面用数学归纳法来证明命题:对一切对一切 nN*都成立都成立.如果数列如果数列an是一个等差数列，那么是一个等差数列，那么10注意：注意：第一步中第一步中n可取的第一个值不一定是可取的第一个值不一定是1；第二步是证明一个命题，必须要利

5、用第二步是证明一个命题，必须要利用假设假设的结论来证明的结论来证明n=k+1时结论正确时结论正确.总结：总结：数学归纳法证题步骤：数学归纳法证题步骤：(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n0（如（如n0=1或或2等等）等等）时结论正确；时结论正确；(2)假设假设n=k(kN*且且k n0)时结论正确，证明时结论正确，证明n=k+1 时结论也正确时结论也正确 递推基础递推基础递推依递推依据据由由(1)和和(2)可知命题对于从可知命题对于从n0开始的所有正整开始的所有正整数数n都成立都成立.“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”11例例1.用数学归纳法

6、证明：用数学归纳法证明：12例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:1314（1）数学归纳法是一种严密的数学证明方法）数学归纳法是一种严密的数学证明方法(基础正确；可传递基础正确；可传递)，它适用于证明与正整数，它适用于证明与正整数有关的数学命题有关的数学命题;小结：小结：（2）两个步骤，缺一不可，否则结论不能成）两个步骤，缺一不可，否则结论不能成立；立；（3）在证明）在证明n=k+1时命题成立，必须利用归时命题成立，必须利用归纳假设的结论（即假设纳假设的结论（即假设n=k时命题成立），必时命题成立），必须进行恒等变形须进行恒等变形.（4）数学归纳法的基本思想：）数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运运用用“有限有限”的手段来解决的手段来解决“无限无限”的问题的问题.