(精品)概率论总复习.ppt

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1、概率论与数理统计复习引言1/9/2023第一章 随机事件与概率1.1 样本空间与随机事件样本空间与随机事件一一 .随机试验随机试验:对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。随机实验简称为实验，用随机实验简称为实验，用E E 表示表示 特点特点:（1 1）实验可以在相同的条件下重复进行；（）实验可以在相同的条件下重复进行；（2 2）实）实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明确验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明确知道所有的可能结果知道所有的可能结果;（3 3）每次实验必发生全部可能结）每次实验必发生全部可能结果中的一个且仅发

2、生一个果中的一个且仅发生一个1/9/2023二二 样本空间与随机事件样本空间与随机事件 1.1.样本空间样本空间 实实验验E的的所所有有可可能能结结果果构构成成的的集集合合，称称为为E的的样样本空间，用本空间，用S表示表示.样本空间的元素，即样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点的每个结果，称为样本点.1/9/2023定义定义 一一般般将将样样本本空空间间的的子子集集称称为为随随机机事事件件。随机事件用大写字母随机事件用大写字母A A，B B，C C表示表示.在在一一次次试试验验中中，事事件件A A发发生生的的含含义义是是，当当且且仅仅当当A A中中一一个个样样本本点点(或或基基本本事事件

3、件)发发生生（或或出现）。事件出现）。事件A A发生也称为事件发生也称为事件A A出现。出现。事件的发事件的发生生2.2.随机事件随机事件1/9/2023其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度观察某地区每天的最高温度与最低温度观察总机每天9:0010:00接到的电话次数有限样本空间无限样本空间投一枚硬币3次，观察正面出现的次数例例 给出一组随机试验及相应的样本空间可列样本空间1/9/2023一一.古典概型古典概型1-2 事件的概率事件的概率 定义定义1 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样

4、本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为古典型试验，简称古典概型称这种试验为古典型试验，简称古典概型.1/9/2023定义定义2 设试验设试验E是古典概型是古典概型,其样本空间其样本空间S由由n个样个样本点组成本点组成,事件事件A由由k个样本点组成个样本点组成.则定义事件则定义事件A的概率为：的概率为：称此概率为古典概率称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古这种确定概率的方法称为古典方法典方法.A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具.1/9/2023三三.概率的频率

5、定义概率的频率定义例例2 2：从从同同一一型型号号同同一一批批次次的的反反坦坦克克弹弹中中任任抽抽一一发发反反坦坦克克弹弹射射击击目目标标，观观测测命命中中情情况况。设设A代代表表“命命中中”这一事件，求这一事件，求P(A)?1.1.事件的频率事件的频率 在一组不变的条件下，重复作在一组不变的条件下，重复作n次试验，记次试验，记m是是n次试验中事件次试验中事件A发生的次数。发生的次数。频率频率 f =m/n 2.2.频率的稳定性频率的稳定性 掷掷一一枚枚均均匀匀硬硬币币，记记录录前前400400次次掷掷硬硬币币试试验验中中频率频率P*P*的波动情况。的波动情况。（正面出现频率的趋势，横轴为对数

6、尺度）（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）1/9/20233概率的频率定义概率的频率定义 在在一一组组不不变变的的条条件件下下，重重复复作作n次次试试验验，记记m是是n次次试试验验中中事事件件A发发生生的的次次数数。当当试试验验次次数数n很很大大时时，如如果果频频率率m/n稳稳定定地地在在某某数数值值p附附近近摆摆动动，而而且且一一般般地地说说，随随着着试试验验次次数数的的增增加加，这这种种摆摆动动的的幅幅度度越越来来越越小小，称称数数值值p为为事事件件A在在这这一一组组不不变变的条件下发生的概率，记作的条件下发生的概率，记作P(A)=)=p.1/9/2023定义定义 设A、B为两事件,P(

7、A)0,则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.1.3 条件概率条件概率 1/9/2023例例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解解 令 A 灯泡能用到1000小时,B 灯泡能用到1500小时所求概率为 1/9/2023三全概率公式三全概率公式 定义定义 若事件组若事件组B B1 1,B Bn n,满足：满足：（1）B1,Bn互不相容且互不相容且P(Bi)0，i=1,n （2）则称事件则称事件B B1 1,B Bn n为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分1/9/2023三全概率公式

8、三全概率公式 事事件件B B1 1,B Bn n,为为样样本本空空间间的的一一个个划划分分则则对对任任何事件何事件A A，均有均有上式称为全概率公式上式称为全概率公式.定理定理1/9/20231.4 事件的独立性事件的独立性例例 已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai (i =1,2).求解解一一事件的独立性事件的独立性1/9/2023事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响定义定义设 A,B 为两事件，若则称事件 A 与事件 B 相互独立 可视为事件A1与A2相互独立1/9/2023三事件三事件 A,B,C 相互独立相互独立是指下面的关

9、系式同时成立：(1)(2)定义定义1/9/2023 n 个事件 A1,A2,An 相互独立 是指下面的关系式同时成立定义定义常由实际问题的意义常由实际问题的意义 判断事件的独立性判断事件的独立性1/9/2023第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果.例例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述例例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述1/9/2023这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.e.X(e)R

10、 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样。不一样。1/9/2023 有了随机变量，随机试验中的各种事件，就有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的取值来表达可以通过随机变量的取值来表达.二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量.事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0 1/9/20232.1 随机变量的概念随机变量的概念定义 设E是一随机试验，S 是

11、它的样本空间，若则称 S 上的单值实值函数 X()为随机变量随机变量一般用 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示.随机变量的概念随机变量的概念1/9/2023随机变量是上的映射，这个映射具有如下的特点：定义域:S 随机性:随机变量X 的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值 概率特性:X 以一定的概率取某个值或某些 值 1/9/2023 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件 在同一个样本空间可以同时定义多个随机 变量 随机变量的函数一般也是随机变量1/9/2023随机变量的分类随机变量的分类离散型随机变量非离散型随机变量 其中一种重要的类型为 连续性随

12、机变量1/9/2023定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量X 的分布函数，记为F(x),即定义定义 设 X 为随机变量,对每个实数 x,随机事件的概率随机变量的分布函数随机变量的分布函数1/9/2023分布函数的性质分布函数的性质q F(x)单调不减，即q 且q F(x)右连续，即1/9/2023利用分布函数可以计算（ab（请填空1/9/20232.2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即概率分布的性质概率分布的性质离散型随机变量的概

13、念离散型随机变量的概念q 非负性q 规范性1/9/2023 F(x)是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数1/9/2023(1)0 1 分布分布X=xk 1 0Pk p 1-p0 p 0 为常数1/9/20231xF(x)0 xf(x)01/9/2023对于任意的 0 a b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似1/9/2023(3)正态分布正态分布若X 的密度函数为则称 X

14、 服从参数为 ,2 的正态分布记作 X N(,2)为常数，1/9/2023N(-3,1.2)1/9/2023f(x)的性质的性质：q 图形关于直线 x=对称：f(+x)=f(-x)在 x=时,f(x)取得最大值在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点曲线 y=f(x)以x轴为渐近线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状1/9/2023q f(x)的两个参数：位置参数即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的，f(x)的形状不同.若 11,G(y)=1;对对y 0,-1 0,则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布

15、律的条件分布律.1/9/2023同样同样,对于固定的对于固定的 i,若若P(X=xi)0,则称则称为在为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量 Y 的条件分布律的条件分布律.条件分布律的性质条件分布律的性质1/9/2023设设(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为f(x,y),(X,Y)关于关于Y 的边缘密度为的边缘密度为 fY(y).若对于固定的若对于固定的 y,fY(y)0,则称则称为在为在Y=y条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件概率密度的条件概率密度.称为在称为在Y=y条件下条件下X 的条件分布函数的条件分布函数.1/9/2023类似地类似地,

16、设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于关于X 的边缘密度为的边缘密度为 fX(x).若对于固定的若对于固定的 x,fX(x)0,则则称称为在为在X=x条件下随机变量条件下随机变量 Y 的条件概率密度的条件概率密度.称为在称为在Y=y条件下条件下X 的条件分布函数的条件分布函数.1/9/2023条件概率密度的性质条件概率密度的性质（1 1）对于对于(x,y),fY(y)0,有有（1 1）*对于对于(x,y),fX(x)0,有有1/9/2023条件概率密度的性质条件概率密度的性质1/9/2023随机变量的平均取值 数学期望 随机变量取值平均偏离数学期望的情况 方差第四章

17、第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1/9/2023定义定义1 1 设设X是离散型随机变量，它的概率函是离散型随机变量，它的概率函数是数是:P(X=Xk)=pk,k=1,2,如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望1/9/2023定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f(x),如果如果有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望为二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望1/9/2023一、方差的定义一、方差的定义 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为标准差称为标准差设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(

18、X)2，则称则称D(X)=EX-E(X)2 为为X的方差的方差.4.2 方差方差1/9/2023若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.若方差若方差D(X)=0,则则r.v X 以概率以概率1取常数值取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度期望的离散程度.若若X的取值比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)21/9/2023X为离散型，为离散型，P(X=xk)=pk方差的计算公式方差的计算公式X为连续型，为连续型，Xf(x)二、计算方差的一个简化公式二、计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 1/9/2023常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p 的 0-1分布pB(n,p)npP()1/9/2023分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)1/9/2023 常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()1/9/2023分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)1/9/2023作业：作业：1/9/2023