大学概率论总深刻复习.ppt

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1、,概率论 总复习,第一章 随机事件,第一节 样本空间和随机事件,第二节 事件关系和运算,第一章 基本知识点,1. 概率论,概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科,2. 确定性现象与随机现象,3. 随机试验,(1) 试验在相同的条件下可重复进行,(2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前 可以确定试验的所有可能结果,(3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果,在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件,4. 随机事件,5. 样本点,6. 样本空间,随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为 这个试验的一个样本点，记

2、作 ,全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间， 记作即,仅含一个样本点的随机事件称为基本事件,7. 随机事件,含有多个样本点的随机事件称为复合事件,8. 必然事件,一次随机试验中，必然会发生的随机事件.,9. 不可能事件,一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.,给定一个随机试验，设为其样本空间，则：,事件,事件之间的关系,集合,集合之间的关系,10. 事件关系和运算,事件的运算,集合的运算,概率论,集合论,随机事件A，B，.,的子集A，B，.,随机事件间的关系,各种集合间的关系,概率论与集合论之间的关系,样本空间,全集,必然事件,全集,不可能事件,空集,子事件,子集,并事件,并集,交事件

3、,交集,差事件,差集,对立事件,补集,第二章 事件的概率,第一节 概率的概念,第二节 古典概型,第三节 几何概型,第四节 概率的公理化定义,第二章 基本知识点,1. 随机事件的频率,设随机事件A在n次随机试验中出现了r次， 则称这n次试验中事件A出现的频率为：,随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显.,2. 频率的稳定性,对任意事件A，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动,那么称p为事件A的概率，记为,事件A的频率,3. 概率的统计定义,事件A的概率,当试验次

4、数足够大时,近似地代替,事件A的概率,准确的数值,频率的稳定值,概率,事件A,(1) 有限性：,各个可能结果出现是等可能的.,试验的可能结果只有有限个；,(2) 等可能性：,4. 古典概型：,古典概型的基本特征：,样本空间是个有限集,基本事件的概率均相同,5. 概率的古典定义,对于古典概型：,(1) 设所有可能的试验结果构成的样本空间为：,(2) 事件,其中 为1, 2, , n中的r个不同的数,则定义事件A的概率为：,6. 几何概型,古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性,事件A“随机点落在中的子区域SA中”,长度、面积或体积,1. 基本特征：,(1) 有一个可度量的几何图形,(2)

5、 试验E看成在中随机的一点,设随机试验的样本空间为，若对任一 事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应， 满足如下公理：,(1) 非负性：,(2) 规范性：,(3) 完全可加性：,7. 概率的公理化定义,则称P(A)为事件A的概率,8. 概率的性质,不可能事件的概率为零,性质1,性质2,逆事件的概率,性质3,对任意有限个互斥事件A1，A2， An ， 有：,互不相容事件概率的有限可加性,性质4,加法定理,性质5,若 ，则：,且,差事件的概率,性质6,加法定理的推广形式,第三章 条件概率与事件的独立性,第一节 条件概率,第二节 全概率公式,第三节 贝叶斯公式,第四节 事件的独立性,第五节 伯努利

6、试验和二项概率,第六节 主观概率,第三章 基本知识点,设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为,1. 条件概率的定义,2. 乘法定理,设A1 ，A2 ，.，An 构成一个完备事件组， 且P(Ai )0 (i1，2，.，n)，则对任一随机 事件B，有:,3. 全概率公式,设A1，A2，, An构成完备事件组，且每个 P(Ai)0，B为样本空间的任意事件且P(B) 0 , 则有：,4. 贝叶斯公式,P(BA) = P(B),5. 事件独立的定义,A与B相互独立的 充要条件,如果事件A，B，C满足:,(a) P(AB) =

7、 P(A)P(B) (b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C),则称事件A，B，C两两独立.,6. 事件的独立性的推广,(1) 事件A，B，C两两独立：,如果事件A，B，C满足:,(a) P(AB) = P(A)P(B) (b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C) (d) P(ABC) = P(A)P(B)P(C),则称事件A，B，C相互独立.,(2) 事件A，B，C相互独立：,在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可 能的结果：A及 ，且A在每次试验中发生的概 率为p，则称其为n重贝努利试验，简称贝努利 试验.

8、,7. 贝努利试验,8. 二项概率：,设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0p1) ， 则A在n次贝努利试验中恰好发生 k次的概率为,贝努利定理,第四章 随机变量及其分布,第一节 随机变量及其分布函数,第二节 离散型随机变量,第三节 连续型随机变量,第四章 基本知识点,1. 随机变量,用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化,2. 随机变量的类型,(1) 离散型随机变量,(2) 非离散型随机变量,3. 随机变量的分布函数,随机试验,试验结果,集合论,函数论,样本空间,样本点i,若干样本点构成事件A,事件A的概率P(A),实数集,实数,随机变量X表示事件A,随机变量X的分布函数F(x),数

9、量化,对应,4. 离散型随机变量分布律的表示方法：,(1) 公式法：,(2) 表格法：,概率,其中,且,5. 常用离散型分布,(1) 0-1分布(二点分布 ),(2) 二项分布,概率,(3) 泊松分布,6. 连续型随机变量的概率密度函数,(1) 数学符号：,随机变量X的分布函数,随机变量X的概率密度函数,(2) 连续型随机变量的分布函数表示事件：,(a) 事件,(b) 事件,(c) 事件,7. 事件的概率与概率密度函数的关系：,(a) 事件,(b) 事件,(c) 事件,(1) 均匀分布,X R (a, b),8. 常用连续型分布：,(2) 指数分布,(3) 正态分布,(4) 标准正态分布,X

10、N(0, 1),第五章 二维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量及分布函数,第二节 二维离散型随机变量,第三节 二维连续型随机变量,第四节 边缘分布,第五节 随机变量的独立性,第六节 条件分布,第五章 基本知识点,1. 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数,2. 联合分布函数表示矩形域概率,3. 二维离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布：,4. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数,(1) 二维均匀分布,5. 常见的二维连续型随机变量的联合密度函数,(2) 二维正态分布,6. 边缘分布函数,设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，,X的边缘分布函数,Y的边缘分布函数,若二

11、维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为,则,(1) X的边缘分布律为：,(2) Y的边缘分布律为：,7. 二维离散型随机变量的边缘分布律,二维离散型随机变量的边缘分布律 (表格形式),(1) X的边缘分布：,(2) Y的边缘分布：,概率,概率,第i行之和,第j列之和,8. 二维连续型随机变量的边缘分布,X的边缘(概率)密度函数：,(1) X的边缘分布函数为,设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度 函数为f(x, y)，则：,(2) Y的边缘分布函数为,Y的边缘(概率)密度函数：,9. 随机变量X，Y相互独立的判定方法,(1) 依据随机事件概率的特征判定：,P(X x, Y y) = P

12、(X x) P(Y y),(2) 依据随机变量的联合分布函数及边缘分布函数的特征判定：,F(x, y) = FX(x) FY(y),(3) 依据离散型随机变量的分布律及边缘分布律的特征判定：,(4) 依据连续型随机变量的联合密度函数及边缘密度函数的特征判定：,(1) 设(X, Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知. 假设P(Y = yj) 0, 则在条件Y = yj下X = xi的条件概率为：,10. 离散型随机变量的条件分布律:,称这个分布为在给定的Y = yj条件下X的条件分布律.,表格形式：,概率,(2) 设(X, Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知. 假设P(X = xi) 0,

13、 则在条件X = xi下Y = yj的 条件概率为：,称这个分布为在给定的X = xi条件下Y的条件分布律.,表格形式：,概率,(1) 对于二维连续型随机变量(X, Y)，其分布已知. 规定在给定的Y = y条件下X的条件分布为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：,11. 连续型随机变量的条件分布律:,(2) 对于二维连续型随机变量(X, Y)，其分布已知. 规定在给定的X = x条件下Y的条件分布为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：,第六章 随机变量的函数及其分布,第一节 一维随机变量的函数及其分布,第二节 二维随机变量的函数的分布,第六章 基本知识点,若X为离散型随机变量, 其分布律

14、为,则随机变量X的函数Y = g(X)的分布律为,1. 离散型随机变量的函数的分布,概率,设X为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x). y = g(x)是一个连续函数，则：,(1) 求随机变量Y = g(X)的分布函数 FY (y)为：,(2) 随机变量Y = g(X)的概率密度函数 fY (y)为：,2. 连续型随机变量的函数的分布,3. 二维离散型随机变量的函数的分布,设(X, Y)是二维离散型随机变量，其联合 分布律为,g(x, y)是一个二元函数，Z = g(X, Y)是二 维随机变量(X, Y)的函数，则随机变量Z 的分布律为：,4. 二维连续型随机变量的函数的分布,Z的分布密

15、度函数为：,(1) (X, Y)是二维随机变量,Z的分布函数为：,假设：,(2) (X, Y)的联合分布函数为F(x, y),(3) Z = g(X, Y)是随机变量X, Y的二元函数,第七章 随机变量的数字特征,第七章 基本知识点,设离散型随机变量的概率分布律为,1. 离散型随机变量的数学期望,则随机变量X的数学期望为：,定义：,即,2. 连续型随机变量的数学期望E(X),3. 二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(1) (X, Y)为二维离散型随机变量,(2) (X, Y)为二维连续型随机变量,4. 随机变量的函数的数学期望,定理1：,设Y = g(X)是随机变量X的函数，,离散型,连续型,概率密度为,一维情形,定理2：,联合概率密度为,设Z = g(X, Y)是随机变量 X, Y的函数，,连续型,离散型,二维情形,5. 方差,6. 标准差(均方差),注：,方差的计算方法,(1),(2),常用的简便方法,描述数据分散程度的指标,7. 一维随机变量的方差,设离散型随机变量X的概率分布为,(1) 离散型,(2) 连续型,设连续型随机变量X的分布密度为 f(x),0-1分布,3. 常见分布及其期望和方差,方差D(X),数学期望E(X),常见分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布,8. 二维随机变量的方差,9. 随机变量X和Y的协方差的定义：,