高数函数的极值与最大最小值课件.ppt

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1、第五节第五节 函数的极值与最大函数的极值与最大最小值最小值一、函数极值的定义一、函数极值的定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法三、最大值最小值问题三、最大值最小值问题四、小结四、小结 作业作业1一、函数极值的定义一、函数极值的定义2函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.定义定义 设函数设函数 f(x0)在点在点 x0 的某邻域的某邻域 U(x0)内内有定义有定义,如果对于去心邻域如果对于去心邻域 U(x0)内的任一内的任一x,有有f(x)f(x0),那么就称那么就称 f(x0)是函数是函数 f(x)的一个的一

2、个极大值极大值(或或极极小值小值).o3 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的.在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的4二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,5定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)设设 f(x)在在 x0 处处 连续连续,且且在在 x0 的某去心邻域内可导的某去心邻域内可导.(是极值点情形是极值点情形)6(不是极值点情形不是极值点情形)注意

3、注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.例例 y=|x|极小值点极小值点x=0但但x=0是是y=|x|的不可导点的不可导点.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为可疑极值点可疑极值点7求极值的步骤求极值的步骤:以及不可导点；以及不可导点；(4)求出各极值点的函数值求出各极值点的函数值,就得函数就得函数 f(x)的全部极的全部极值值.8例例解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值9例例.求函数求函数的极值.解解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为10例例解解11定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件

4、)证证同理可证同理可证(2).12例例解解13注注仍用第一充分条件仍用第一充分条件定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)不能应用不能应用.事实上事实上,可能有极大值可能有极大值,也可能有极小值也可能有极小值,也可能没有极值也可能没有极值.如如,在在x=0处处分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况.14例例2.求函数的极值.解解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故 为极小值;又故需用第一判别法判别.15定理定理4(判别法的推广判别法的推广)若函数 在的邻域内，存在且有界,则:1)当 为偶数时,是极小点;是极大点.2)当 为奇数时,为极值点,且不是极值点.当 充分接近 时,上式左端正负

5、号由右端第一项确定,故结论正确.证证:利用 在 点的泰勒公式,可得16例如例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理2 定理4)都是充分的.说明说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如例如:为极大值,但不满足定理1 定理3 的条件.17三、最大值最小值问题三、最大值最小值问题18求最大值最小值的步骤求最大值最小值的步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,其中最大的就是其中最大的就是 f(x)在区间在区间 a,b上上的的最大值最大值,最小的就是最小值最小的就是最小值.19特别注意特别注

6、意:当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大 值,则也是最大 值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)20解解例例求函数求函数在闭区间在闭区间0,3上的上的最大值与最小值最大值与最小值.先求出驻点与不可导点先求出驻点与不可导点不可导点：不可导点：令令得驻点得驻点比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值：比较不可导点，驻点以及区间端点的函数值：最大值为：最大值为：最小值：最小值：21实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;22(k 为某一常数)例例4

7、.铁路上 AB 段的距离为100 km,工厂C 距 A 处20AC AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货D 点应如何选取?20解解:设则令得 又所以 为唯一的极小点,故 AD=15 km 时运费最省.总运费物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小值点,问Km,公路,23例例5.光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播.一束光线由空气中A点经过水面到达B点,已知光在空气中和水中的传播速度分别为和试确定光线传播的路径.解解:建立坐标系(如图),光从A点到B点所需的时间为24又在0,l上连续,由介值定理,在(0,l)内存在唯一的零点且是

8、在(0,l)内的唯一极小值点,从而也是0,l上的最小值点.而由得于是（折射定律折射定律）25例例6.把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择.26用开始移动,例例7.设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作解解:克服摩擦的水平分力正压力即令则问题转化为求的最大值问题.为多少时才可使力设摩擦系数问力与水平面夹角的大小最小?27令解得而因而 F 取最小值.解解:即令则问题转化为求的最大值问题.28清楚(视角 最

9、大)?观察者的眼睛1.8 m,例例8.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于解解:设观察者与墙的距离为 x m,则令得驻点根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最29四、小结四、小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为可疑

10、极值点可疑极值点.函数的极值必在函数的极值必在可疑极值点可疑极值点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)30思考与练习思考与练习1.设则在点 a 处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.312.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.323.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:A33作业作业P162 1(4),(5);2;3;4；5 ;15 34