高等数学第二章导数与微分.ppt

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1、第二章微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节机动机动 目录目录 上页上

2、页 下页下页 返回返回 结束结束 导数的概念 第二章第二章 1.求曲线上一点处切线的斜率求曲线上一点处切线的斜率 在初等数学中我们已经在初等数学中我们已经知道，曲线知道，曲线y=f(x)上的两点上的两点M0(x0，y0)和和M(x，y)的连线的连线M0 M是该曲线的一条割线。是该曲线的一条割线。当点当点M沿曲线无限趋近于点沿曲线无限趋近于点M0时，割线绕点时，割线绕点M0转动，其转动，其极限位置极限位置M0T就是曲线在点就是曲线在点M0处的切线，如图处的切线，如图2.2所示。所示。图2.2o y x y=f(x)MM0Ty0 yy0 x0 x0 xy2.1导数的概念导数的概念2.1.1 导数的

3、概念导数的概念 曲线上的点由曲线上的点由M0(x0，y0)变到变到M0(x0 x，y0 y),当当 t很很小时可用割线小时可用割线M0 M的斜率近似代替切线的斜率近似代替切线M0T的斜率。割线的斜率即的斜率。割线的斜率即为增量比为增量比 (3)求极限求极限 当当 时，点时，点M沿曲线无限趋近于点沿曲线无限趋近于点M0，割线，割线M0 M的极限的极限为切线为切线M0T，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即，因而割线斜率的极限就是切线的斜率，即 我们分三步来解决。我们分三步来解决。(1)求增量求增量 给给x0一个增量一个增量 x，自变量由，自变量由x0变到变到x0 x，曲线上点的纵，曲线上点的纵坐

4、标有相应的增量坐标有相应的增量 y=f(x0 x)f(x0).(2)求增量比，即求割线求增量比，即求割线M0 M的斜率的斜率其中其中 是切线是切线M0T与与x轴正向的夹角。轴正向的夹角。用用s表示质点运动的路程，以表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建为原点，沿质点运动的方向建立数轴立数轴s轴，如图轴，如图2.1，显然路程，显然路程s是时间是时间t的函数，记作的函数，记作 s=f(t),t0,T，现求，现求t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度v0=v(t0).分三步来解决这一问题。分三步来解决这一问题。(1)求增量求增量 给给t0一个增量一个增量 t，时间，时间t0从变到从变到t1 t

5、0 t，质点，质点M从从M0运运动到动到M1，路程的增量为，路程的增量为 s=f(t1)f(t0)=f(t0 t)f(t0)(2)求增量比，即求求增量比，即求 t内的平均速度内的平均速度 当当 t 很小时，可把质点在很小时，可把质点在 t间隔内的运动近似看成匀速运动间隔内的运动近似看成匀速运动（以不变代变），则（以不变代变），则 t内的平均速度内的平均速度 图图2.1OMM0M1Ps s2 求变速直线运动的瞬时速度求变速直线运动的瞬时速度 (3)求极限求极限 当当 t 越来越小时，平均速度便越来越接近于越来越小时，平均速度便越来越接近于t0时刻的瞬时速时刻的瞬时速度度v0，于是当，于是当 时，

6、平均速度的极限就是瞬时速度时，平均速度的极限就是瞬时速度v0，即，即两个问题的共性两个问题的共性两个问题的共性两个问题的共性:瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变变化化率率问问题题机动机动 目录目录 上页上

7、页 下页下页 返回返回 结束结束 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1.设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限为并称此极限为记作记作:即即则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点处可导处可导,在点在点的导数的导数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为曲线在点曲线在点处的处的切线方程切线方程:法线方程法线方程:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点的某个右的某个右 邻域内邻域内左右导数左右导数若极限若极限则称此极限值为则称此极限值为在在 处的右处的右 导数导数,记作记作即即(左

8、左)(左左)定义定义2.设函数设函数有定义有定义,存在存在,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理定理定理.函数函数函数函数在点在点且且存在存在简写为简写为可导的充分必要条件可导的充分必要条件是是运动质点的位置函数运动质点的位置函数在在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度曲线曲线在在 M 点处的切线斜率点处的切线斜率机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若上述极限不存在若上述极限不存在,在点在点 不可导不可导.若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数.记作记作:注意

9、注意:就说函数就说函数就称函数在就称函数在 I 内可导内可导.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.证证:设设在点在点 x 处可导处可导,存在存在,因此必有因此必有其中其中故故所以函数所以函数在点在点 x 连续连续.注意注意:函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.即即而而 因左右极限不等，故极限因左右极限不等，故极限 不存在，不存在，即函数在点即函数在点 x0没有导数。没有导数。在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.例例例例1.1.求

10、函数求函数求函数求函数(C 为常数为常数)的导数的导数.解解:即即例例2.求函数求函数解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：说明：说明：对一般幂函数对一般幂函数(为常数为常数)例如，例如，（以后将证明）（以后将证明）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3.3.求函数求函数求函数求函数的导数的导数.解解:则则即即类似可证得类似可证得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设 y=loga x (a 0,a 1)，则，则于是于是所以所以即即 特别当特别当 a=e 时，我们有时，我们有例例4.对数函数的导数

11、对数函数的导数原式是否可按下述方法作:例例5.设存在,求极限解解:原式内容小结内容小结1.导数的实质导数的实质:3.导数的几何意义导数的几何意义:4.可导必连续可导必连续,但连续不一定可导但连续不一定可导;5.已学求导公式已学求导公式:6.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1.函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数区别区别:是函数是函数,是数值是数值;联系联系:

12、注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系?？与导函数与导函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.设设设设存在存在,则则3.已知已知则则4.4.设设设设,问问 a 取何值时取何值时,在在都存在都存在,并求出并求出解解:故故时时此时此时在在都存在都存在,显然该函数在显然该函数在 x=0 连续连续.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.22.2二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回

13、 结束 导数的运算法则 第二章 思路思路:(构造性定义构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.1 四则运算求导法则四则运算求导法则 定理定理1.的和、的和、差、差、积、积、商商(除分母除分母为为 0的点外的点外)都在点都在点 x 可导可导,且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页

14、下页 返回返回 结束结束 例如例如,(2)推论推论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (C为常数为常数)例例例例1.1.解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)推论推论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (C为常数为常数)例例例例2.2.求证求证求证求证证证:类似可证类似可证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 反函数的求导法则反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导,证证:在在 x 处给增量处给增量由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且

15、由反函数的连续性知 因此因此机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例3.3.求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设设则则类似可求得类似可求得利用利用,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)2)设设设设则则特别当特别当时时,小结小结:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在点在点 x 可导可导,复合函数求导法则（链式法则）复合函数求导法则（链式法则）定理定理3.在点在点可导可导复合函数复合函数且且在点在点 x 可导可导,证证:在点

16、在点 u 可导可导,故故（当（当 时时 )故有故有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例4.4.设设设设求求解解:思考思考:若若存在存在,如何求如何求的导数的导数?这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习:设设机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束

17、结束 例例例例5.5.设设设设解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.6.求由方程求由方程求由方程求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.7.求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程

18、两边对 x 求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)对幂指函数可用对数求导法求导:2.2.4 取对数求导法按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例8.8.求下列导数求下列导数求下列导数求下列导数:解解:(1)(2)例例9.9.求求求求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如

19、又如又如又如,对对 x 求导求导两边取对数两边取对数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数可导可导,且且则则时时,有有时时,有有(此时看成此时看成 x 是是 y 的函数的函数)关系关系,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例10.10.求求解解:例例11.设设解解:求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例12.12.求求解解:关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导

20、由外向内逐层求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内内 容容 小小 结结求导公式及求导法则求导公式及求导法则注意注意:1)2)搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.1.思考与练习思考与练习对吗对吗?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.设设设设其中其中在在因因故故正确解法正确解法:时时,下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.3.设设设设求求解解:方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.机动机动

21、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 高阶导数高阶导数速度速度即即加速度加速度即即引例：变速直线运动引例：变速直线运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义定义定义.若函数若函数的导数的导数可导可导,或或即即或或类似地类似地,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,或或的二阶导数的二阶导数,记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推,分别记作分别记作则称则称机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设设求求解解:依次类推依次类推,例例例例1.1.思考思考:设设问问可得可

22、得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例2 2 设设设设由方程由方程确定确定,解解:方程两边对方程两边对 x 求导求导,得得再求导再求导,得得当当时时,故由故由 得得再代入再代入 得得 求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用2.4一、微分的概念一、微分的概念 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数的微分 第二章第二章 2.4.1 微分的概念微分的概念 引例引例:一块正方形金属薄片

23、受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为设薄片边长为 x,面积为面积为 A,则则面积的增量为面积的增量为关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小时为时为故故称为函数在称为函数在 的微分的微分当当 x 在在取取得增量得增量时时,变到变到边长由边长由其其机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的微分的微分,定义定义定义定义:若函数若函数若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理:函数函数在点在点

24、可微的充要条件是可微的充要条件是即即在点在点可微可微,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理定理定理:函数函数函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 的可导的可导,且且在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理定理定理:函数函数函数函数在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性充分性”已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明

25、说明说明:时时,所以所以时时很小时很小时,有近似公式有近似公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义当当 很小时很小时,则有则有从而从而导数也叫作微商导数也叫作微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记作记记机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如例如例如,基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式又如又如,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.4.3 微分运算法则微分运算法则设设 u(x),v

26、(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)分别可微分别可微,的微分为的微分为微分形式不变微分形式不变5.复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.1.求 解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例2.2.设设设设求求 解解:利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性,有有例例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注意注意:数

27、学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.2.4.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当当很小时很小时,使用原则使用原则:得近似等式得近似等式:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别当特别当特别当特别当很小时很小时,常用近似公式常用近似公式:很小很小)证明证明:令令得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的近似值的近似值.解解:设设取取则则例例例例4.4.求求求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例例例5.5.有一批半径为有一批半径为有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球的球的球,

28、为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为镀铜体积为 V 在在时体积的增量时体积的增量因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克用铜多少克.估计一下估计一下,每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.4.5 微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用某量的精确值为某量的精确值为 A,其近似值为其近似值为 a,称为称为a 的绝对误差的绝对误差称为称为a 的相对误差的相对误差若若称为测量称为测量 A 的绝对误差限的绝对误差限称为测量称为测量 A

29、 的相对误差限的相对误差限机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 误差传递公式误差传递公式误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为已知测量误差限为按公式按公式计算计算 y 值时的误差值时的误差故故 y 的绝对误差限约为的绝对误差限约为相对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得若直接测量某量得 x,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1.微分概念微分概念 微分的定义及几何意义微分的定义及几何意义 可导可导可微可微2.微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量是自变量或中间变量)3.微分的应用微分的

30、应用近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1.设函数设函数的图形如下的图形如下,试在图中标出的点试在图中标出的点处的处的及及并说明其正负并说明其正负.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课习题课一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、导数和微分的求法导数和微分的求法 导数与微分 第二章 一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:当当时时,为右导数为右导数当当时时,为左导数为左导

31、数 微分微分:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 关系关系:可导可导可微可微 应用应用应用应用 :(1)利用导数定义解决的问题利用导数定义解决的问题 (3)(3)微分在近似计算与误差估计中的应用微分在近似计算与误差估计中的应用(2)(2)用导数定义求极限用导数定义求极限1)推出三个最基本的导数公式及求导法则推出三个最基本的导数公式及求导法则其他求导公式都可由它们及求导法则推出其他求导公式都可由它们及求导法则推出;2)求分段函数在分界点处的导数求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊及某些特殊函数在特殊点处的导数函数在特殊点处的导数;3)由导数定义证明一些命题由导数定义证明一些命题.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束